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【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 8-1合情推理与演绎推理检测试题(2)文


【状元之路】 (新课标,通用版)2015 届高考数学一轮复习 8-1 合情 推理与演绎推理检测试题(2)文
一、选择题 1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是 ( ) A.① C.③ B.② D.①和②

解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选 B. 答案:B 2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x +1)是奇函数,以上 推理( ) B.大前提不正确 D.全不正确
2 2 2

A.结论正确 C.小前提不正确

解析:因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 答案:C

S1 1 3.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 = , S2 4
推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P?ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则 = ( ) 1 A. 8 C. 1 64 B. D. 1 9 1 27

V1 V2

解析:正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = 答案:D

V1 1 . V2 27

4.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n≥2,n∈N )个圆点,第 n 个图案 中圆点的总数是 Sn.按此规律推断出 Sn 与 n 的关系式为( )

*

1

A.Sn=2n C.Sn=2
n

B.Sn=4n D.Sn=4n-4

解析:由 n=2,n=3,n=4 的图案,推断第 n 个图案是这样构成的:各个圆点排成正方形的四 条边,每条边上有 n 个圆点,则圆点的个数为 Sn=4n-4. 答案:D 5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
2 2 2 2

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:Sn=n B.由 f(x)=xcosx 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcosx 为奇函数 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N ,(n+1) >2
2 1 2 2 2 3 * 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

n

解析:选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前 n 项和等 于 Sn=

n?1+2n-1?
2

=n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.因此选 A.

2

答案:A 6.观察下式:1=1 2+3+4=3 3+4+5+6+7=5 4+5+6+7+8+9+10=7 ,?,则第 n 个式子是( )
2 2, 2, 2, 2

A.n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=n

B.n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=(2n-1) C.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1) D.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)

2

2

2

解析:方法一:由已知得第 n 个式子左边为 2n-1 项的和且首项为 n,以后是各项依次加 1,设 最后一项为 m,则 m-n+1=2n-1,∴m=3n-2. 方法二:特值验证法.n=2 时,2n-1=3,3n-1=5, 都不是 4,故只有 3n-2=4,故选 C. 答案:C 7.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;
2

②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b
) B. 2 个 D. 4 个

以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 个 C.3 个 解析:①②正确;③④⑤⑥错误. 答案:B

8.观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数

2

4

3

f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)等于(
A.f(x) C.g(x) B.-f(x) D.-g(x)

)

解析:由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数.因此当 f(x)是偶函数时,其导函数 应为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 答案:D 9.已知 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ =4 15 4 ,?,若 15 )

a+ =a t

7

7

t

(a,t 均为正实数),类比以上等式,可推测 a,t 的值,则 t-a=( A.31 C.55 解析: 观察所给的等式, 等号左边是 3 3 , ?, 则第 n 个式子的左边是 8
2

B.41 D.71 2 2+ , 3 3 3+ , 8 4 4+ , ?, 等号的右边是 2 15 2 , 3

n+1 ?n+1?+ , 右边是(n+1)· 2 ?n+1? -1

n+1 , 2 ?n+1? -1

故 a=7,t=7 -1=48.t-a=41,选 B. 答案:B 10.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( ) A.28 C.123 解析:记 a +b =f(n),则
n n
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

B.76 D.199

f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=
3

f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)
=f(8)+f(9)=123. 即 a +b =123. 答案:C 二、填空题 1 1 1 3 5 11.设 n 为正整数,f(n)=1+ + +?+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,观 2 3 n 2 2 察上述结果,可推测一般的结论为__________. 解析:由前四个式子可得,第 n 个不等式的左边应当为 f(2 ),右边应当为 结论为 f(2 )≥
n n
10 10

n+ 2
2

,即可得一般的

n+2
2

.

答案:f(2 )≥

n

n+2
2

12.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为__________. 解析:每行最左侧数分别为 1、2、3、?,所以第 n 行最左侧的数为 n;每行数的个数分别为 1、 3、5、?,则第 n 行的个数为 2n-1.所以第 n 行数依次是 n、n+1、n+2、?、3n-2.其和为 n+ (n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1) . 答案:n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)
2 2

13.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图 所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正 方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O?LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示截面面 积,那么类比得到的结论是__________.
2 2 2

4

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得 S1+
2 2 S2 2+S3=S4.

2

答案:S1+S2+S3=S4 → → → → 14. 对于命题: 若 O 是线段 AB 上一点, 则有|OB|·OA+|OA|·OB=0.将它类比到平面的情形是: → → → 若 O 是△ABC 内一点,则有 S△OBC·OA+S△OCA·OB+S△OBA·OC=0,将它类比到空间情形应该是: 若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有__________. 解析:将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体 → → → → 的体积, 因此依题意可知若 O 为四面体 ABCD 内一点, 则有 VO?BCD·OA+VO?ACD·OB+VO?ABD·OC+VO?ABC·OD =0. → → → → 答案:VO?BCD·OA+VO?ACD·OB+VO?ABD·OC+VO?ABC·OD=0 三、解答题 15.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; ②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解析:方法一: (1)选择②式,计算如下: 1 1 3 2 2 sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1- sin30°=1- = . 2 4 4 (2)三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) - sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 3 2 3 1 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - 4 2 4 3 1 2 sinα cosα - sin α 2 2
5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

3 2 3 3 2 = sin α + cos α = . 4 4 4 方法二: (1)同解法一. (2)三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) 1-cos2α 1+cos?60°-2α ? = + -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 2 2 1 1 1 1 3 1 2 = - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos2α - + cos2α = . 4 4 4 4 3 3 2 2 答案:(1) ;(2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= ,证明略. 4 4 16.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案, 这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多,刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆 放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.
2 2









(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你得到的 关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1

f?1? f?2?-1 f?3?-1



1



1

+?+

1

f?n?-1

的值.

6

解析:(1)f(5)=41. (2)f(2)-f(1)=4=4×1,

f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4,
? 由上式规律,得 f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(n+1)=f(n)+4n,

f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n -2n+1. (3)当 n≥2 时, ∴ 1 1 1 1? 1 - ? = = ? ?, f?n?-1 2n?n-1? 2?n-1 n?
2

1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1?? 1? ?1 1? ?1 1? =1+ ??1- ?+? - ?+? - ?+? 2?? 2? ?2 3? ?3 4? +?

? 1 -1?? ?? ?n-1 n??

1? 1? 3 1 =1+ ?1- ?= - . 2? n? 2 2n 3 1 2 答案:(1)f(5)=41;(2)f(n+1)=f(n)+4n,f(n)=2n -2n+1;(3) - . 2 2n

创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具 1.某同学在电脑上打上了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○?,按这种规 律往下排,那么第 36 个圆的颜色应是( A.白色 C.白色可能性大 ) B.黑色 D.黑色可能性大

解析:由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为 5 的三白二黑的圆

7

列,因为 36÷5=7 余 1,所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同,即白色. 答案:A 2.观察下列各式:5 =3125,5 =15625,5 =78125,?,则 5 A.3125 C.0625
n
5 6 7 2011

的末四位数字为(

)

B.5625 D.8125
5 6

解析:5 (n≥5 且 n∈Z)的后两位数字一定为 25,区别在于通过对其后三四位数的观察,5 、5 、 5 的后三四位数 31、56、81 为等差数列,公差为 25,由此推{5 }的后两位前的数是以 25 为公差的 等差数列.由公式 d= 答案:D 3.[2014·广西月考]下列推理是归纳推理的是( )
7

n

an-am a-31 2011 得 =25(其中 a 为 5 的后两位前的数),∴a=50181.故选 D. n-m 2011-5

A.由于 f(x)=xcosx 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断 f(x)=xcosx 为奇函数 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜出数列{an}的前 n 项和的表达式 C.由圆 x +y =1 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 解析:由特殊到一般的推理过程,符合归纳推理的定义;由特殊到与它类似的另一个特殊的推 理过程,符合类比推理的定义;由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义.A 是演绎推理,C、D 为 类比推理,只有 B,从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn 是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推 理. 答案:B 1 4 x x ?2?2 4.[2014·银川质检]当 x∈(0,+∞)时可得到不等式 x+ ≥2,x+ 2= + +? ? ≥3,由此 x x 2 2 ?x? 可以推广为 x+ n≥n+1,取值 p 等于( A.n C.n
n
2 2 2

x2 y2 a b

p x

) B. n
2

D.n+1

1 4 x x ?2?2 解析:∵x∈(0,+∞)时可得到不等式 x+ ≥2,x+ 2= + +? ? ≥3,∴在 p 位置出现的数 x x 2 2 ?x? 恰好是不等式左边分母 x 的指数 n 的指数次方,即 p=n . 答案:A 5.[2014·宝鸡检测]考察下列一组不等式:
n n

8

? ?2 +5 >2 ×5+2×5 , 5 1 1 ?25 +5 >2 ×5 +2 ×5 , 2 2 2 2 ? ??
2 +5 >2 ×5+2×5 ,
4 4 3 3 2 2

3

3

2

2

将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的 特例,则推广的不等式为__________. 解析:依题意得,推广的不等式为 a 答案:a
m+n m+n

+b

m+n

>a b +a b (a>0,b>0,a≠b,m>0,n>0).

m n

n m

+b

m+n

>a b +a b (a>0,b>0,a≠b,m>0,n>0) 1 1 1 * + +?+ (n∈N )”时,某同学学到了如下 1×2 2×3 n?n+1?

m n

n m

6.[2014·淮北模拟]在计算“ 一种方法:先改写第 k 项:

1 1 1 = - , k?k+1? k k+1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 由此得 = - , = - ,?, = - , 1×2 1 2 2×3 2 3 n?n+1? n n+1 1 1 1 1 n 相加,得 + +?+ =1- = . 1×2 2×3 n?n+1? n+1 n+1 1 1 1 * 类比上述方法,请你计算“ + +?+ (n∈N )”,其结果为 1×2×3 2×3×4 n?n+1?? n+2? __________. 解析:先改写第 n 项, ×? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ?1 - = × = × ? ?= n?n+1??n+2? n+1 n?n+2? 2 n+1 ?n n+2? 2

1 1 ? ?, - ? ?n?n+1? ?n+1??n+2?? 1 1 1 所以 + +?+ 1×2×3 2×3×4 n?n+1??n+2? 1 1 1 1 1? 1 - + - +?+ - = ? n?n+1? 2?1×2 2×3 2×3 3×4 1 ? ?n+1??n+2?? ? 1 1? 1 n?n+3? ?= - = ? . ? 2?1×2 ?n+1??n+2?? 4?n+1??n+2?

n?n+3? 答案: 4?n+1??n+2?
3 2 2 7.[2014·张家界模拟]观察:①sin 10°+cos 40°+sin10°cos40°= ; 4 3 2 2 ②sin 6°+cos 36°+sin6°cos36°= . 4
9

由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想. 3 2 2 解析:猜想:sin α +cos (α +30°)+sinα cos(α +30°)= . 4 证明:左边=sin α +cos(α +30°)[cos(α +30°)+sinα ]=sin α +?
2 2

1 ? 3 ? cosα - sinα ? 2 ?2 ?

1 ? 3 ? cosα + sinα 2 ?2

3 2 1 2 3 ? 2 ?=sin α +4cos α -4sin α =4=右边. ?

所以,猜想是正确的. 1 8.[2013·广东中山模拟]设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+ 3+ 3

f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.
解析:f(0)+f(1)= = 1 + 1+ 3 3+ 3 3-1 3- 3 + 2 6 3 , 3 3 , 3 1 1 + 1 3+ 3 3+ 3
0

1

= =

同理可得:f(-1)+f(2)=

f(-2)+f(3)=

3 ,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于 1. 3 3 . 3

归纳猜想得:当 x1+x2=1 时,均有 f(x1)+f(x2)= 证明:设 x1+x2=1,

f(x1)+f(x2)=

1 + 3x1+ 3 3x2+ 3

1



?3x1+ 3?+?3x2+ 3? ?3x1+ 3??3x2+ 3?

3x1+3x2+2 3 = 3x1+x2+ 3?3x1+3x2?+3 = 3x1+3x2+2 3 3?3x1+3x2?+2×3 3x1+3x2+2 3 3?3x1+3x2+2 3?



10



3 . 3

11


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