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数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题(含详细答案)


数学选修 2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
2 x 2 ? y ?1 与曲线 25 9 2 x 2 ? y ?1 <k<9) (0 25? k 9 ? k

1.曲线

具有(



A、相等的长、短轴

B、相等的焦距

C、相等的离心率

D、相同的准线 D.抛物线

2、若 k 可以取任意实数,则方程 x2+ky2=1 所表示的曲线不可能是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 3、如果抛物线 y 2= ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为( A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) ( )

4、平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x



5、双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为





A.

3

B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3

6、若椭圆的中心及两个焦点将两条准线之间的距离四等分,则椭圆的离心 率为( )

A、

1 2

B、

2 2

C、

3 2

D、

3 3

x2 7、过点 P(2,-2)且与 2
A.

-y 2=1 有相同渐近线的双曲线方程是(



y2 x2 ? ?1 2 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 2

C.

y2 x2 ? ?1 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 2 4

8、抛物线

1 x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是( ) 4 1 1 ,0) ) A、 (1,0) B、 ( C、 (0,0) D、 (0, 16 16 y2 ?

9、中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率 ( )

e? 3

,一条准线方程为

3x ? 6 ? 0

的双曲线方程是

(A)

x2 y 2 ? ?1 3 4

(B)

y 2 x2 ? ?1 5 3

(C)

x2 y 2 ? ?1 2 4

(D)

y 2 x2 ? ?1 4 2

10、椭圆上一点 P 到一个焦点的距离恰好等于短半轴的长 b ,且它的离心率 e

?

3 ,则 P 到另一焦点的对应准线的距离 2







(A)

3 b 6

(B)

2 3 b 3

(C)

3 b 2

(D) 2

3b

-1-

11、已知双曲线

2 x 2 ? y ?1 和椭圆 a2 b2

2 x 2 ? y ?(a>0, m>b>0)的离心率互为 1 m2 b2

倒数,那么以 a、b、m 为边长的三角形是(



A、锐角三角形
2

B、直角三角形 C、钝角三角形

D、等腰三角形

12、过抛物线 y =4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= ( A.8 ) B.10 C.6 D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。 x2 y2 13、椭圆 + =1(x?0,y?0)与直线 x-y-5=0 的距离的最小值为__________ 9 4 14、过双曲线

x 2 ? y 2 ?1 的两焦点作实轴的垂线,分别与渐近线交于 3
x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中 9 4
.

A、B、C、D 四点,则矩形 ABCD 的面积为 15、抛物线的焦点为椭圆

心,则抛物线方程为

16、 动点到直线x=6的距离是它到点A(1,0)的距离的2倍,那么动点的轨迹方程是_________________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17.(本小题满分 12 分)已知点

A(? 3,0) 和 B( 3,0), 动点 C 引 A、B 两点的距离之差
y ? x ? 2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长。

的绝对值为 2,点 C 的轨迹与直线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率的一半, 18 本小题满分 12 分) ( 已知抛物线的顶点为椭圆 a 2 b2
且它们的准线互相平行。又抛物线与椭圆交于点 M (

2 2 6 ,? ) ,求抛物 3 3

线与椭圆的方程.

19.(本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点 双曲线 a2 b2

(a,0)和(0,b) ,且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和

s?

4 c. 求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

-2-

20.(本小题满分 12 分)已知双曲线经过点 M(

. 6, 6 )

(1)如果此双曲线的右焦点为 F(3,0) ,右准线为直线 x= 1,求双曲线方程; (2)如果此双曲线的离心率 e=2,求双曲线标准方程.

21.、 (本小题满分 12 分).如图, 直线 y= 点. (1) 求点 Q 的坐标; (2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方

1 2

x 与抛物线 y=

1 2 x -4 交于 A、B 两点, 8

线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q

(含 A、B) 的动点时, 求 ΔOPQ 面积的最大值.

22、 (本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b



(1)

若圆(x-2) +(y-1) =

2

2

20 3

与椭圆相交于 A、B 两点且线段 AB 恰为圆的直径,求椭圆方程;

(2)

设 L 为过椭圆右焦点 F 的直线,交椭圆于 M、N 两点,且 L 的倾斜角为 600。求

MF NF

的值。

-3-

-4-

数学选修 2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题参考答案 一、选择题 1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、C 10、D 11、B 12、A

二、填空题 13、 -8 14、

16 3 3

15 、

y 2 ? ?4 5x

16、 3x2+4y2+4x?32=0

三、解答题

17.解:设点 C ( x,

y ) ,则 CA ? CB ? ?2. 根据双曲线定义,可知 C 的轨迹是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1, 由 2a ? 2, 2c ? AB ? 2 3, 得 a2 ? 1, b2 ? 2, 2 a b
故点 C 的轨迹方程是

x2 ?

y2 ? 1. 2

? 2 y2 ?1 2 ?x ? 由? 得 x ? 4 x ? 6 ? 0,? ? ? 0,?直线与双曲线有两个交点,设 2 ? y ? x?2 ?

D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? ?4, x1x2 ? ?6,


DE ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 5.

18. 因为椭圆的准线垂直于 所以抛物线的焦点在

x 轴且它与抛物线的准线互相平行

x 轴上,可设抛物线的方程为 y 2 ? ax(a ? 0)

2 2 6 ? M ( ,? ) 在抛物线上 3 3 ? (? 2 6 2 2 ) ? a ?a ? 4 3 3

? 抛物线的方程为 y 2 ? 4 x

4 24 2 2 6 ? M ( ,? ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 9a 9b 3 3
又e



?

c ? a
2

a2 ? b2 1 ? a 2



由①②可得 a

? 4, b 2 ? 3
x2 y2 ? ?1 4 3
-5-

?

椭圆的方程是

19. 解:直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0. a b 由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离

d1 ?

b(a ? 1) a2 ? b2



同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2

?

b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?
由s

2ab a2 ? b2

?

2ab . c

?

4 2ab 4 c, 得 ? c, 5 c 5



5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .

于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,
5 ? e 2 ? 5. 4

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.
由于 e

解不等式,得

? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是

5 ? e ? 5. 2
20 解: (1)∵双曲线经过点 M( , 6, 6 )

且双曲线的右准线为直线 x= 1,右焦点为 F(3,0)

∴由双曲线定义得:离心率 e

?

MF 6 ?1

?

( 6 ? 3) 2 ? ( 6 ? 0) 2 6 ?1

=

3

设 P(x,y)为所求曲线上任意一点,

∴由双曲线定义得:

PF ( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 ? x ?1 x ?1

=

3

化简整理得

x2 y2 ? ?1 3 6

(2)

?e ?

c ? 2 ? c ? 2a , a

又 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? b ? 3a
x2 y2 ? ?1, ①当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线标准方程为 a 2 3a 2
∵点 M(

6 , 6 )在双曲线上,∴

6 6 ? 2 ?1, 2 a 3a
-6-

解得 a

2

? 4 , b 2 ? 12 ,

则所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? ?1 4 12
x2 3a
2

②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线标准方程为

y2 a
2

?

? 1,

∵点 M(

6 , 6 )在双曲线上,∴

6 6 ? 2 ?1, 2 a 3a

解得

a 2 ? 4 , b 2 ? 12 ,


x2 y2 ? ?1 故所求双曲线方程为 4 12

y2 x2 ? ?1 4 12
X1=-4, 得 y1=-2, y2=4 x2=8

21.【解】(1) 解方程组

1 x 2 1 y= x2-4 8
y=

即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1). 由 kAB==

1 2

,直线 AB 的垂直平分线方程 y-1=

1 2

(x-2).

令 y=-5, 得 x=5, ∴ Q(5,-5) (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x,

1 2 x -4). 8

∵ P 到直线 OQ 的距离 d= 点

1 x ? x2 ? 4 1 8 x 2 ? 8 x ? 32 , = 8 2 2

OQ ? 5 2 ,∴SΔOPQ=

1 5 OQ d = x 2 ? 8 x ? 32 . 2 16

∵ 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, P ∴ -4≤x<4

3 -4 或 4 3 -4<x≤8.

∵ 函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴ x=8 时, ΔOPQ 的面积取到最大值 30. 当

22.解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),AB 的方程为 y-1=k(x-2) 即 y=kx+1-2k①

∵离心率 e=

2 2

∴椭圆方程可化为

x2 y2 ? 2 ?1② 2b 2 b
2 2

将①代入②得(1+2k )x +4(1-2k)·kx+2(1-2k) -2b =0

2

2

-7-

∵x1+x2=

4(2k ? 1)k ?4 1 ? 2k 2

∴k=-1

∴x1x2=

18 ? 2b 2 2 ? 6 ? b2 1? 2 3



AB ? 2 ?

20 3



1 ? 1 x1 ? x2 ? 2

20 3

即 ( x1

? x2 ) 2 ?

40 3

∴b =8

2



x2 y2 ? ?1 16 8
n m 1 ? ? ? ( m ? n) e e 2

(2)设

MF ? m, NF ? n (不妨设 m<n)则由第二定义知



m 2 2 ?1 9 ? 4 2 ? ? n 2 2 ?1 7




m 9?4 2 ? n 7


MF NF

?

9?4 2 7

MF NF

?

9?4 2 7

-8-


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