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2011届高考数学第一轮考点复习测试题36


解读点、线、面间的位置关系
安徽 李庆社 一、知识点精析 1、平面的概念 (1)“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念,它与点、线一样,都是从实际生活中抽象出来的数 学概念. (2)平面的无限延展性 平面内包含着无数条直线,而直线是可以无限延伸的,因此平面也必然具有无限延展的性质.日常接触到的 很多平面的实例都只是平面的一部分,用平行四边形来表示平面,也只能画出平面的一部分. 2.平面的基本性质 (1)“有且只有一个”的含义: “有”说明图形是存在的,“只有一个”说明图形是唯一的.数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图 形一定存在,所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”,符合某一条件的图形既存在,而且只能有一个, 就说明这个图形完全是确定的,因此“有且只有一个”和“确定”是同义词. (2)公理 1 是判定直线在平面内或点在平面内的工具. 例如: A ? ? 、 B ? ? ? AB ? ? ,又如 A ? a , a ? ? ? A ? ? . (3)公理 2 给出了确定两个相交平面的交线的方法.根据公理 2 要找到两个平面的交线,只要找出它们的 两个公共点,经过这两点的直线就是它们的交线,同时公理 2 还可以用来证明点在直线上,即如果 ? ? ? ? a ,

A ? ? 且 A ? ? ,则 A ? a ,进而可证明三点共线.
(4)公理 3 及其推论是确定平面和判定平面重要的依据. 在立体几何中,常常需将空间图形问题转化为平面图形的问题,进而利用平面几何知识来求解,因此要确定 诸元素是否在同一个平面内,而公理 3 及其推论正是起着确定平面的作用. 3.两条直线的位置关系 (1)两条直线的三种位置关系: a.相交:共面,有且只有一个公共点. b.平行:共面,没有公共点. c.异面:不同在任何一个平面内,没有公共点. (2)异面直线的判定方法: a.定义:不同在任何一个平面内的两条直线,称为异面直线. b.判定定理:若 l ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? l ,则直线 AB 和 l 是异面直线. (3)公理 4(平行公理)、等角定理及推论 公理 4 是论证平行问题的主要根据, 也是确定平面的基础. 等角定理及其推论是证明空间两角相等的重要理 论依据. (4)异面直线所成的角的概念及其取值范围 a.异面直线所成的角的定义中,异面直线 a 和 b 所成的角和 a? 与 b ? 所成的锐角(或直角)相等,但与点 O 的位置无关,因此在解具体问题时,可将点 O 取在 a 或 b 上,或者取几何体中具有特殊性的点. b.要明确过空间一点 O ,引直线 a 的平行线的方法和依据.因为 O ? a ,所以点 O 和 a 确定一个平面 ? , 在面 ? 内过点 O 作 a ∥ a? ,作 b ∥ b? . c.两条异面直线互相垂直,它们所成的角为 90°,今后再说两条直线互相垂直,它们可能相交,也可能异 面. d.异面直线所成的角 ? 的范围是 0 ≤? ≤ 90
? ?

二、典例解析

D , A B ∥ D C 例 1 已 知 四 边 形 A B C 中 , AB,BC,DC,AD 所 在 直 线 分 别 与 平 面 ? 交 于 点 证: E,F,G,H 必共线. 证明:如图 1,∵ AB ∥ CD , ∴ AB,CD 共面.
设 A,B,C,D 确定平面 ? , ∵点 E,F,G,H 分别在直线 AB,CD,BC,AD 上, ∴ E,F,G,H 都在 ? 内, 又∵点 E,F,G,H 在平面 ? 内, ∴点 E,F,G,H 在 ? 和 ? 的交线上,即 E,F,G,H 共线.

E,G,F,H , 求

说明:要证明多点共线,只需证这些点同在两个相交平面的交线上,这是证点共线的常用方法之一,其理论 依据是公理 2. 例 2

E,F 分别是棱 已知:正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,

A1 B1,B1C1 的 中

点,求异面直线 EF 与 AD1 所成角的大小.

AC . 解:如图 2,分别连结 AC 1 1,
∵ E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点,∴ EF ∥ AC 1 1. 又∵在正方体中,

A1 A ∥C1C ,
EF ∥ AC . ∴ AC 1 1 ∥ AC .∴
∴ ?D1 AC 的大小即为所求,连结 CD1 , ∵ △ACD1 为正三角形, ∴ ?D1 AC ? 60? , 故 EF 与 AD1 所成角为 60°. 说明:求异面直线所成的角的问题,关键是抓住平移,将三维空间两直线所成的角的问题转化为二维平面两 相交直线所成角问题来研究. 三、应注意的几个问题 1.注意公理的复习 公理是人们经过长期观察与实践总结出来的, 因此我们在学习公理时, 要对图形进行认真的观察并动手进行 验证;同时公理是几何推理的基本依据,也是我们进一步学习和研究空间图形的基础,所以我们不但要熟记公理 的内容,还要知道每个公理的用途和如何用.例如,公理 1 是用来判断直线是否在平面内的依据,如果要判断一 直线 l 在平面 ? 内,就要想办法在直线 l 上找出不重合的两点 A,B ,证明 A,B 两点均在平面 ? 内. 在这里提醒同学们注意,公理 3 是确定一个平面的依据,我们对公理 3 进一步探究发现, “两条相交直线可 以确定一个平面”、“两条平行线可以确定一个平面”、“一条直线和直线外一点可以确定一个平面”这些推论

都可以作为确定一个平面的依据,而且应用很广. 2.注意数学语言和图形语言的复习 数学语言我们并不陌生,在集合中我们学习过很多.学好立体几何的数学语言,能使立体几何语言的表达方 法简明扼要、清楚明白、符合逻辑;在这里提醒同学们注意:①点 A 在立体几何中永远是元素,直线 l 和平面 ? 均是集合,因此,有 A ? l , A ? ? , l ? ? 或 A ? l , A ? ? , l ? ? ;②直线 l 与平面 ? 相交记作 l ? ? ? A , 它是 l ? ? ? ? A? 的简记并没错误. 图形语言的学习就是如何快速准确地作出空间图形的学习. 空间图形是画在一个平面内的, 因此识图和画图 的技巧就十分重要.如何根据题目的条件画出图形,需要用实物模型参考,更需要多观察、多比较、多分析,逐 步积累一些画法技巧,同时要注意图形的合理性、美观性和直观性.有些性质的判定和长度的计算及点的位置的 确定,往往借助图形就可以估算一个大概,这有利于最后经过计算或论证得到结果的验证. 3.注意空间点、线、面之间位置关系的自主探究 学习本节课前, 请同学们准备好一个长方体的几何模型. 现在拿出你的长方体几何模型, 再拿出一支铅笔 (权 当直线)或一本书(权当平面),通过比划你会很快得出直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系. 4.注意与平面几何的比较 对平面图形的研究是讨论立体图形的基础; 立体图形的问题常常转化为平面图形的问题来解决. 将立体几何 与平面几何的“同类问题”进行比较学习有助于我们学好立体几何.例如,在平面几何中,两直线的位置关系只 有两种,但在立体几何中两直线的位置关系却有三种;四边相等的四边形在平面几何中的图形是菱形,但在立体 几何中的图形是菱形或空间四边形. 5.立体几何中,通常画平行四边形表示平面,但应注意以下几点: (1)所画的平行四边形是表示它所在的整个平面,需要时我们可以把它扩展出去,这同画直线一样,直线 是可以无限延伸的,但在画图时也只能画一段来表示直线. (2)加“通常”两字的意思,是因为有时根据需要也可用其他的平面图形,如菱形、封闭的曲线图形等来 表示平面. (3)画表示水平平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成 45°,横边画成邻边的两倍,也可根据图形的 不同需要来画,并不强求一律.画相交平画时,一定要画出它们的交线. 6.立体几何中,被遮住的部分可画成虚线或不画,为了不产生混淆,立体图形的直观图中,辅助线和图形 中原有的线同样处理,可见部分不画成虚线. 7.对异面直线的概念要着重明确如下几点: (1)两条直线若异面则必不能同在任何一个平面内,因此它们不相交也不平行. (2)分别在某两个平面内的两条直线,不一定是异面直线,如图 3.

(3)画异面直线时,以辅助平面作衬托,更为直观,如图4.

8.注意“降维”思想的应用,将空间的问题转化为平面内的问题,将已知条件与所求结论集中到同一个平 面内,很多关系就容易发现了. 9.要注意培养空间意识

同学们在复习立体几何时要有一个意识,即立体几何是平面几何的“升级”.在复习中要有意识地将平面几 何中的“点、线、面”问题“升级”为立体几何中的“线、面、体”问题,养成这种意识,对以后的空间意识的 学习习惯的养成是很有帮助的.


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