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2014年高一数学竞赛辅导练习【一】

2014 年高一数学竞赛辅导练习【一】
?学习目标:集合 集合的划分反映了集合与子集之间的关系,这既是一类数学问题,也是数学中的解题策略——分类思 想的基础,在近几年来的数学竞赛中经常出现,日益受到重视,本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理 集合、子集与划分问题的方法。 1. 集合的概念 集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征: (1) 确定性:设

A 是一个给定的集合, a 是某一具体对象,则 a 或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素, 两者必居其一,即 a ∈ A 与 a ? A 仅有一种情况成立。

(2) 互异性:一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素。 (3) 无序性 2. 集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如: N , Z , Q, R 应熟记。 3. 实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于 方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义。 4. 子集、真子集及相等集

A ? B ? A ? B 或A=B ; (2) A ? B ? A ? B 且 A ≠ B ; (3) A = B ? A ? B 且 A ? B 。
(1) 5. 一个 n 阶集合(即由个元素组成的集合)有 2 个不同的子集,其中有 2 -1 个非空子集,也有 2 - 1 个真子集。 6. 集合的交、并、补运算
n n n

A ? B ={ x | x ? A 且 x ? B }; A ? B ={ x | x ? A 或 x ? B }; A ? {x | x ? I
要掌握有关集合的几个运算律: (1) 交换律

且x? A}

A ? B =B ? A,A ? B =B ? A; A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C , A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C ; (2) 结合律 (3) 分配律 A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? ( A ? C ) , A ? ( B ? C )= ( A ? B ) ? ( A ? C )
(4)0—1 律 (5)等幂律 (6)吸收律 (7)求补律

A ? ?=A,A ? I



A,A ? I

=I ,

A ? ? =?

A ? A=A,A ? A=A A ? ( A ? B )= A , A ? ( A ? B )= A

A ? C A= I
I



A ? C A= ? (8)反演律
I

A ? B ? A ? B, A ? B ? A ? B

7. 有限集合所含元素个数的几个简单性质 设 n ( X ) 表示集合 X 所含元素的个数,(1) n( A ? B)

? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ,当

n( A ? B) ? ? 时, n( A ? B) ? n( A) ? n( B) (2) n( A ? B ? C ) ? n( A) ? n( B) ? n(C ) - n( A ? B) ? n( A ? C ) ? n( B ? C ) ? n( A ? B ? C )

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元素与集合的关系 1. 设

A ={ a | a = x 2 ? y 2 , x, y ? Z

},求证: (1) 2k

?1∈ A ( k ? Z

); (2)

4k ? 2 ? A (k ? Z )
2. 以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质:① P 中的元素有正数,有负数;② P 中的元素有奇数, 有偶数;③-1 ?

P ;④若 x , y ∈ P ,则 x + y ∈ P 试判断实数 0 和 2 与集合 P 的关系。

3. 设 S 为满足下列条件的有理数的集合:①若 a ∈ S , b ∈ S ,则 a + b ∈ S , ab ? S ;②对任一 个有理数 r ,三个关系 r ∈ S ,- r ∈ S , r =0 有且仅有一个成立。证明: S 是由全体正有理数 组成的集合。 两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中,我们感兴趣的是“子集” 、 “真子集” 、 “相等”这三种特殊关系。这些关系 是通过元素与集合的关系来揭示的,因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系 入手。 4. 设函数

f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a, b ? R) ,集合 A ? {x | x ? f ( x), x ? R} ,

B ? {x | x ? f [ f ( x)], x ? R} 。
(1) 证明: (2) 当 (3) 当

A ? B;

A ? {?1,3} 时,求 B ;
A 只有一个元素时,求证: A ? B .

5. S1 , S 2 , S 3 为非空集合,对于 1,2,3 的任意一个排列 i , (1) 证明:三个集合中至少有两个相等。 (2) 三个集合中是否可能有两个集无公共元素?

j , k ,若 x ? Si , y ? S j ,则 x ? y ? S k

6. 已知集合:A ? {( x, y) | ax ?

y ? 1}, B ? {( x, y) | x ? ay ? 1}, C ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1} 问

(1) 当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有两个元素的集合? (2) 当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有三个元素的集合?

7.设 n ? N 且 n ≥15, A, B 都是{1,2,3,?, n }真子集, A ? B

? ? ,且 A ? B ={1,2,3,?,

n }。证明: A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数。

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2014 年高一数学竞赛辅导练习【一】答案
1.分析:如果集合 验 a 是否具有性质 解: (1)∵ k , k

A ={ a | a 具有性质 p },那么判断对象 a 是否是集合 A 的元素的基本方法就是检

p。
且 2k

?1∈ Z

? 1 = k 2 ? (k ? 1) 2 ,故 2k ? 1 ∈ A ; (2)假设

4k ? 2 ? A (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 = x 2 ? y 2
即 (x ?

y)(x ? y) ? 2(2k ? 1)

(*)由于 x

? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以(*)式左边有且仅

有两种可能:奇数或 4 的倍数,另一方面, (*)式右边只能被 4 除余 2 的数,故(*)式不能成立。由此,

4k ? 2 ? A (k ? Z ) 。
2.解:由④若 x ,

y ∈ P ,则 x + y ∈ P 可知,若 x ∈ P ,则 kx ? P (k ? N ) y ∈ P ,且 x >0, y <0,则- y x =| y | x
(|

(1) 由①可设 x , 故x

y |∈ N

)

y ,- y x ∈ P ,由④,0=(- y x )+ x y ∈ P 。 (2)2 ? P 。 若 2∈ P , 则 P 中的负数全为偶数,

不然的话,当-( 2k

? 1 )∈ P ( k ? N )时,-1=(- 2k ? 1 )+ 2 k ∈ P ,与③矛盾。于是,

由②知 P 中必有正奇数。设 ? 2m,2n ? 1 ? P

(m, n ? N ) ,我们取适当正整数 q ,使

q? | ?2m |? 2n ? 1 ,则负奇数 ? 2qm ? (2n ? 1) ? P 。前后矛盾。
3. 证明: 设任意的 r ∈ Q ,r ≠0,由②知 r ∈ S , 或- r ∈ S 之一成立。 再由①, 若 若- r ∈ S ,则 r
2

r ∈ S ,则 r

2

?S ;

? (?r ) ? (?r ) ? S 。总之, r 2 ? S 。取 r =1,则 1∈ S 。再由①,2=1+1∈ S ,
p, q ? S ,由① pq ? S ,又由前证知

3=1+2∈ S ,?,可知全体正整数都属于 S 。设

1 ?S q2

,所以

p 1 ? pq ? 2 q q

∈ S 。因此, S 含有全体正有理数。再由①知,0 及全体负有理数不属于 S 。即 S 是由

全体正有理数组成的集合。 4.解: (1)设任意

x0 ∈ A ,则 x0 = f ( x0 ) .而 f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ? x0
解得

故 x0 ∈ B ,所以

?( ?1) 2 ? a ? ( ?1) ? b ? ?1 A ? B .(2)因 A ? {?1,3} ,所以 ? 2 ? 3 ? a ?3? b ? 3

a ? ?1, b ? ?3 故 f ( x) ? x 2 ? x ? 3 。由 x ? f [ f ( x)] 得

( x 2 ? x ? 3) 2 ? ( x 2 ? x ? 3) ? x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1, 3, ? 3 B ={ ? 1,3,? 3, 3}。

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5. 证明: (1)若 x ? Si , y ? S j ,则

y ? x ? S k , ( y ? x) ? y ? ? x ? Si 所以每个集合中均有非负

元素。当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立。否则,设 S1 , S 2 , S 3 中的最小正元素为 a ,不 妨设 a ? S1 ,设 b 为 S 2 , S 3 中最小的非负元素,不妨设 b ? S 2 , 则 b - a ∈ S 3 。若 b >0,则 0≤

b - a < b ,与 b 的取法矛盾。所以 b =0。任取 x ? S1 , 因 0∈ S 2 ,故 x -0= x ∈ S 3 。所以
(2)可能。例如 S1 = S 2 ={奇数}, S 3 ={偶数}显然满足 S1 ? S 3 ,同理 S 3 ? S1 。所以 S1 = S 3 。 条件, S1 和 S 2 与 S 3 都无公共元素。 6. 解: ( A ? B) ? C = ( A ? C ) ? ( B ? C ) 。

A ? C 与 B ? C 分别为方程组


(Ⅰ)?

? ax ? y ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

(Ⅱ)?

2a ? x ? ay ? 1 的解集。 由 (Ⅰ) 解得 ( x, y ) = (0, 1) = ( 2 2 1? a2 ?x ? y ? 1

1? a2 1? a2

) ;由(Ⅱ)解得( x, y )=(1,0) , (

1? a2 1? a2



2a 1? a2



(1) 使 ( A ? B) ? C 恰有两个元素的情况只有两种可能:

? 2a ?0 ? ?1 ? a 2 ①? 2 ?1 ? a ? 1 ? ?1 ? a 2

? 2a ?1 ? ?1 ? a 2 ②? 2 ?1 ? a ? 0 ? ?1 ? a 2

由①解得 a =0;由②解得 a =1。故 a =0 或 1 时, ( A ? B) ? C 恰有两个元素。

(2)

2a 1 ? a 2 使 ( A ? B) ? C 恰有三个元素的情况是: = 1? a2 1? a2

解得 a

? ?1 ? 2 ,故当

a ? ?1 ? 2 时, ( A ? B) ? C 恰有三个元素。
7. 证明:由题设,{1,2,3,?, n }的任何元素必属于且只属于它的真子集 则存在如题设的{1,2,3,?, n }的真子集

A, B 之一。假设结论不真,

A, B ,使得无论是 A 还是 B 中的任两个不同的数的和

都不是完全平方数。 不妨设 1∈ 所以 6∈

2 A, 则 3? A , 否则 1+3= 2 , 与假设矛盾, 所以 3∈ B 。 同样 6 ? B ,

A ,这时 10 ? A , ,即 10∈ B 。因 n ≥15,而 15 或者在 A 中,或者在 B 中,但当 15∈ A A ,1+15= 4 2 ,矛盾;当 15∈ B 时,因 10∈ B ,于是有 10+15= 5 2 ,仍然矛盾。因此假

时,因 1∈

设不真。即结论成立。

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2014 年数学竞赛辅导练习【一】 集合
1.下列八个关系式:①{0}= ? ② ? =0 ③ ? ? {? } ④? ? ⑧?

? { ? }⑤{0} ? ?

⑥0 ? ? ⑦ ?

? {0}

? {? }

其中正确的个数( (C)6

) (D)7 )

(A)4

(B)5

2.设 A、B 是全集 U 的两个子集,且 A ? B,则下列式子成立的是( (A)CUA ? CUB (B)CUA ? CUB=U (C)A ? CUB= ? (D)CUA ? B= ?

3.已知 M= {x | x ? 3n, n ? Z }, N ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z }, P ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z } ,且

a ? M , b ? N , c ? P ,设 d ? a ? b ? c ,则 d ? (
(A)M (B)N (C)P (D) M ? P



4.设集合 M ? {x | x ? (A) M ? N (C) M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z}, N ? {x | x ? ? , k ? Z} ,则( 2 4 4 2



(B) N ? M (D) M ? N ? ?

5.设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件: 当 x∈A 时,15x ? A,则 A 中元素的个数最多是 _______________. 6.集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当且仅当 A≠B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的 个数有________. 7.若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? A∩B 成立的 a 的取值范围是 _______________. 8.若 A={x|0≤x +ax+5≤4}为单元素集合,则实数 a 的值为___________________. 9.设 A={n|100≤n≤600,n∈N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为______________. 10.己知集合 A={x|x=f(x)},B={x|x=f(f(x))},其中 f(x)=x +ax+b (a,b∈R), 证明: (1)A ? B; (2)若 A 只含有一个元素,则 A=B . 11.集合 A={(x,y) x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 },集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ? x ? 2 },又 A ? B ? ? , 求实数 m 的取值范围.
2 2

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2014 年数学竞赛辅导练习【一】答案
1-4 C C B A 5.解:由于 1995=15?133,所以,只要 n>133,就有 15n>1995.故取出所有大于 133 而不超过 1995 的整 数. 由于这时己取出了 15?9=135, ? 15?133=1995. 故 9 至 133 的整数都不能再取,还可取 1 至 8 这 8 个数,即共取出 1995—133+8=1870 个数, 这说明所求数≥1870。 另一方面,把 k 与 15k 配对, (k 不是 15 的倍数,且 1≤k≤133)共得 133—8=125 对,每对数中至 多能取 1 个数为 A 的元素,这说明所求数≤1870,综上可知应填 1870 6.解:A=φ时,有 1 种可能;A 为一元集时,B 必须含有其余 2 元,共有 6 种可能;A 为二元集时,B 必 须含有另一元.共有 12 种可能;A 为三元集时,B 可为其任一子集.共 8 种可能.故共有 1+6+12+8=27 个. 7.解:由 A 非空知 2a+1≤3a-5,故 a≥6. 由 A?A?B 知 A?B. 即 3≤2a+1 且 3a-5≤22, 解之,得 1≤a ≤9. 于是知 6≤a≤9 8.解:由 x

2

? ax ? 5 ? ( x ? 1 a) 2 ? 5 ? 1 a 2 .若 5 ? 1 a 2 ? 4 ,则 A 有无数个元,若
2 4 4 4

5 ? 1 a 2 ? 4 ,则 A 为空集,只有当 5 ? 1 a 2 ? 4 即 a ? ?2 时,A 为单元素集 {?1} 或 {1} .所以
4

a ? ?2
9.解:被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100≤7k+2≤600.知 14≤k≤85. 又若某个 k 使 7k+2 能被 57 整 除,则可设 7k+2=57n. 即 k

? 57n ? 2 ? 56n ? n ? 2 ? 8n ? n ? 2 .
7 7 7

即 n-2 应为 7 的倍数. 设 n=7m+2

? x ?∴ A ? f ( x) ≤ ?85. x, m=0,1.于是所求的个数为 85-(14-1)-2=70 代入,得 k=57m+16. 14 ≤57m+16
10.证明: (1)?
2

f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ? x ? B (2)设 A={c} ,即二次方程 ? A ? B f(x)-x=0 有惟一解 c,即 c 为
2 2

f(x)-x=0 的重根.

∴ f(x)-x=(x-c) 即 f(x)=(x-c) +x,于是 f(f(x))=(f(x)-c) +f(x),

f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0
∴?

? ?( x ? c) 2 ? x ? c ? 0 ? ?x ? c
? ?x 2 ? m x ? y ? 2 ? 0 2 得 x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0
2

故 f(f(x))=x 也只有惟一解 x=c,即 B={c}. 所以 A=B 11.解:由 ?



?0 ? ? m ?1 ? 2 ? 2 或 f ( 2) ? 0 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 由数形结合得: ? 2 ? ?? ? (m ? 1) ? 4 ? 0
? ?1

解得: m

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