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一道数列题目的研究性学习

对一道数列习题的研究性学习
俞新龙 浙江省绍兴县越崎中学 1. 背景 <<普通高中数学课程标准>>对研究性学习有这样的描述:学会自主学习,独立探究问题;能对知 识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控,对知识进行系统整理;会对已有的知识经验 进行反思、质疑,有发散思维的习惯和求异思维的心向,敢于提出自己独立的见解;…… .作为高考命 题改革的领头雁,上海高考在 2006 年春季和夏季高考中各出了一道研究性问题的考题,进行了研究 性问题进高考的有益尝试,值得全国各地的教育工作者重视!高考中原来可以考查研究性问题! 既然高考要考研究性问题,那么提高学生的研究性学习能力就自然摆在了数学教师的面前,如何 在教学中开展研究性学习显得较为迫切;当研究性试题成为高考一道亮丽的风景线时,研究性学习 也成了教学的热点!郝老师在<<中数参>>2003 年 1~2 期<<”研究性学习”的教学研究>>中说:随着教 学改革的深入…….如何使用课本的教学内容,使用”研究性学习”的方法,在日常教学的过程中进行 学生创新意识和应用意识的培养,就成了课堂教学改革的方向.那么如何用”研究性学习”的理念来改 造、挖掘教材内容中适合学生研究和探索的素材?如何研究?研究什么?本文试就人教版高一教材第 一册(上)<<数列>>一章中的一道习题的研究性学习为例来谈谈笔者的一点探索,是否合适请批评指 正. 2. 原始问题:一道数列习题 119 页习题 3.3 第 9 题:由数列 1 , 1 ? 2 ? 1 , 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ,…前 4 项的值,推测 第 n 项 an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1的结果,并给出证明. 3. 对习题的研究性学习过程 3.1 解法研究 可以从代数和几何意义两方面展开研究. 3.1.1 代数方面 一般有下面两种常见方法. 解法 1: a n ? [1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n] ? [( n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1] ? 解法 2: a n ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n] ? n ? 2 ? 注:还可联系组合数有关性质来寻求解题途径. 3.1.2 几何意义方面 一般也有下面两种几何意义可供参考. 几何意义 1:如图 1 中(1)、(2)、(3)、(4)、 (5)正方形的个数分别代表 a1 、a2 、a3 、a4 、
(1) (2) …… (3) …

n(1 ? n) (n ? 1)[( n ? 1) ? 1] ? ? n2 . 2 2

n(1 ? n) ? n ? n2 . 2

an 的值,且图中每一列小正方形的个数分别
代表项 an 中对应的数,将右边黑线框小正方 形倒置于左边虚线框小正方形,则分别得到 1 ? 1 ? 1 、 2 ? 2 ? 4 、 3 ? 3 ? 9 、 4 ? 4 ? 16 、
(4)



….

1/5

图1

(5)

n ? n ? n 2 个正方形(虚线框圈中的大正方形),即有 an ? n 2 .

几何意义 2: 如图 2 (1)、(2)、 (3)、(4)、(5) 中 由数字 1 组成的 菱形中数字 1 的 个数分别代表

1 1 1 1 1 (1) 1 1 (2) 1 1 1 1 (3) 图2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …………… …….. … …………… 1 1 1 1 1 1 (5)

1

a1 、 2 、 3 、 4 、 a a a

an 的值,且图中
每一行(或列)数 字 1 的个数分别

代表项 an 中对应的数,因此其值显然就是菱形对角线上数字 1 的个数的平方,即分别为 1 2 、 2 2 、 32 、
4 2 、 n 2 ,所以有 an ? n 2 .

注:上述几何图形或数字也可以用其它较规则的图形代替,特别是图 2 中的数字 1 若用小圆圈表 示则几何意义也是非常明显的,但笔者认为数字的等分分拆更好,因为这是一种较有意义的解题方 法. 3.2 一般化研究 通过仔细观察,能注意到原问题 an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 中关于中间 项 n 成左右对称,且其前半部分 1,2,3,?, n ? 1 是等差数列,那么我们就可以思考原问题能推广到一般 的等差数列中吗?即可以提出 问题 1:试将原问题进行推广,使原问题成为推广后问题的一个特例. 参 考 答 案 : 设 数 列 {an } 是 首 项 为 a 、 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 则 数 列

a1

,

a1 ? a2 ? a1

,

a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? a1

,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ,?

,



n



bn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? a1 的结果为 bn ? (n ? 1) 2 d ? 2an ? a .
简证: bn ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ) ? an
? 2[na ? n(n ? 1) d ] ? [a ? (n ? 1)d ] ? (n ? 1) 2 d ? 2an ? a . 2

3.3 类比研究 等比数列与等差数列在许多方面有类似的性质,能否将上述问题推广到等比数列进行研究是顺 其自然的,这也是一种类比能力的具体体现. 问题 2:试写出问题 1 类比到等比数列的结论. 参 考 答 案 : 设 数 列 {an } 是 首 项 为 a 、 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 则 数 列
2/5

a1

,

a1 ? a2 ? a1

,

a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? a1

,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ,?

,



n



bn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? a1 的结果为 bn ? 2 ?
简证: bn ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ) ? an ? 2 ?

a(1 ? q n ) ? aqn?1 . 1? q

a(1 ? q n ) ? aqn ?1 . 1? q

注:①参考答案中的等比数列是公比不等于 1 的情况,若公比为 1,则 bn ? (2n ? 1)a . ②可根据教学时间和学生的实际情况进行调整,例如讲问题 2 之前可先要求学生考察一个特殊 的等比数列问题,不妨取首项为 1、公比为 2 的等比数列. 3.4 综合研究 单独研究了等差数列与等比数列中的有关问题,那么等差数列与等比数列结合会怎样呢?一般可 以考虑两者加、减、乘、除后所得数列中的类似问题.,即 问题 3: 设数列 {an } 是首项为 a 、公差为 d 的等差数列, 数列 {bn } 是首项为 b 、公比为 q 的等比 数列,则 (1) 数 列 , 项

a1 ? b1

,

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1

,

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1
, 第

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a4 ? b4 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ,?

n

cn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? ? ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 的
结果为 cn ? (n ? 1) 2 d ? 2an ? a ? 2 ?

b(1 ? q n ) ? bqn?1 . 1? q
数 列 , 项

(2)

a1 ? b1

,

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1

,

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1
, 第

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a4 ? b4 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ,?

n

cn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? ? ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 的结
果为 cn ? (n ? 1) 2 d ? 2an ? a ? 2 ? (3)

b(1 ? q n ) ? bqn ?1 . 1? q
数 列

a1b1 , a1b1 ? a2 b2 ? a1b1 , a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? a2b2 ? a1b1 , a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? a4b4 ? a3b3 ? a2b2 ? a1b1 ,? ,
第 n 项 cn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an?1bn?1 ? an bn ? an?1bn?1 ? ? ? a3b3 ? a2b2 ? a1b1 的 结 果 为
3/5

cn ?

2(a ? d )b ? 2[a ? (n ? 1)d ] ? bqn 2db(1 ? q n ) ? ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn?1 . 1? q (1 ? q) 2
数 , 列

(4)

a1 / b1

a1 / b1 ? a2 / b2 ? a1 / b1

,

a1 / b1 ? a2 / b2 ? a3 / b3 ? a2 / b2 ? a1 / b1
, 第

, 项

a1 / b1 ? a2 / b2 ? a3 / b3 ? a4 / b4 ? a3 / b3 ? a2 / b2 ? a1 / b1 ,?

n

cn ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a3 / b3 ? ? ? an?1 / bn?1 ? an / bn ? an?1 / bn?1 ? ? ? a3 / b3 ? a2 / b2 ? a1 / b1 的 结 果 为

cn ?

2(a ? d )q n ? 2a ? 2(n ? 1)d 2d (q n ? 1) a ? (n ? 1)d . ? n?2 ? n n ?1 2 b(q ? q ) bq (q ? 1) bqn?1

分析:该问题中(1)与(2)、 (3)与(4)分别是同类型的,因此弄清(1)(3)即可,而(1)是一个等差数列与一 个等比数列简单加法,由问题 1 和问题 2 结果马上就能得到结果,这是不难的,这里不多说了,对于(3), 问题的关键是掌握等差与等比乘积复合后前 n 项和的求法——错位相减法,即(3)可以这样求解:

cn ? 2(a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an?1bn?1 ? an bn ) ? an bn ,令 s ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an?1bn?1 ? an bn ①,则 qs ? a1b1q ? a2b2 q ? a3b3 q ? ? ? an?1bn?1q ? an bn q ? a1b2 ? a2b3 ? a3b4 ? ? ? an?1bn ? an bn q ② , ① - ②
得 (1 ? q)s ? a1b1 ? db2 ? db3 ? ? ? dbn?1 ? dbn ? an bn q ? ab ? d ? 然 这 里 的 公 比 q ? 1 , 若 q ? 1 则 问 题 较 简 单 ), 所 以 s ?

b(1 ? q n ) ? db ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn ( 当 1? q

(a ? d )b ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn db(1 ? q n ) ,则 ? 1? q (1 ? q) 2

cn ?

2(a ? d )b ? 2[a ? (n ? 1)d ] ? bqn 2db(1 ? q n ) ? ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn?1 .而对于(4),只要将(3)结果中 b 2 1? q (1 ? q)
1 b





q



1 q













,









(4)







1 1 1 1 1 2(a ? d ) ? 2[a ? (n ? 1)d ] ? 2d (1 ? n ) n b bq b 1 1 q cn ? ? ? [a ? (n ? 1)d ] ? 1 1 2 b q n ?1 1? (1 ? ) q q

,







cn ?

2(a ? d )q n ? 2a ? 2(n ? 1)d 2d (q n ? 1) a ? (n ? 1)d . ? n?2 ? n n ?1 2 b(q ? q ) bq (q ? 1) bqn?1

注:可供研究的问题还可以是上述数列的前 n 项和与其它一些问题. 为及时巩固和提高学生的研究性学习能力,笔者布置了一道作业题要求学生完成. 作业题:(1)求数列 1 , 3 ? 4 , 5 ? 6 ? 7 , 7 ? 8 ? 9 ? 10,? 的前 n 项和;(2)根据你对(1)中数列的理解,请
4/5

自己写出一个类似的问题,并使(1)是新问题的一个特例;(3)你还能写出其它类似的问题吗?要求简要 写出自己的思考过程. (1)是高三一轮数列复习中的一个习题,学生都能解决.(2)和(3)是基于对(1)中数列特点的把握,学 生能看出的特点有:①第 n 项有 n 个连续自然数相加;②各项第一个数为 2n ? 1 且成等差等.学生作业 中反映出几种可喜的研究性成果,仅摘录三位学生的部分成果如下: 学生 A:注意到连续的自然数成等差,我试着将各项的第一个数不变,改变等差的公差为 d ,有 n(n ? 1) d d a n ? (2n ? 1) ? [( 2n ? 1) ? d ] ? ? ? [( 2n ? 1) ? (n ? 1)d ] ? n(2n ? 1) ? d ? (2 ? )n 2 ? (1 ? )n , 所 2 2 2 d n(n ? 1)( 2n ? 1) d n(n ? 1) ? (1 ? ) 以 ? a n ? (2 ? ) . 2 6 2 2 学生 B:……按规律改变项的第一个数,后边仍取连续自然数有,……(这种比较简单,此处略) 学生 C:我发现(1)中数列有两个特点,即各项第一个数成等差和每一项又是一个有限等差数列 (原题中公差为 1),如果分别将这两处的等差数列改为等比数列情况怎样呢?如果将两者进行组合,共 有 2 ? 2 ? 4 种情形,情况又如何?真值得我好好思考啊!现在才发觉数学有时也挺好玩的!...... 4. 结束语 数学好玩.但学生却没有体会到多少, “现在才发觉数学有时也挺好玩的!”值得我们深思!看来这 种研究性学习课真是多多益善啊!通过这节课的教学,笔者认识到研究性学习就在我们的身边,教材 中的例题、习题和复习资料上的练习题只要肯研究,都能成为研究性学习极好的素材.看来研究性学 习想说爱你是容易的!

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