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【金版教程】2014届高考数学总复习 第2讲 参数方程课件 理 新人教A版选修4-4


第2讲 参数方程

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解参数方程,了解参数的意义.

2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

1个重要策略 参数方程是新课标新增的选学内容,对该部分知识的复 习,只需要掌握好参数方程与普通方程的互化、常见曲线参数 方程中参数的几何意义,会解与教材例题、习题难度相当的题

目即可.

2种必会方法 1. 参数方程化为普通方程:化参数方程为普通方程的基本 思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去

法、恒等式(三角的或代数的)消去法.
2. 普通方程化为参数方程:化普通方程为参数方程的基本 思路是引入参数,即选定合适的参数t,先确定一个关系x= f(t)(或y=φ(t)),再代入普通方程F(x,y)=0,求得另一关系y= φ(t)(或x=f(t)).

3点必须注意 1. 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方 程,要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致.

2. 普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不
同,所得的参数方程也不一样.一般地,常选择的参数有角、 有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标). 3. 常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义,注意利用 几何意义常能够给解题带来方便.

课前自主导学

1. 参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都
?x=f?x? ? 是某个变数t的函数 ? ?y=g?t? ?

(*),如果对于t的每一个允许值,

由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组 (*)就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参数.

平面直角坐标系中,同一曲线的参数方程唯一吗?

已知O为原点,参数方程 一点为A,则|OA|=________.

?x=cosθ, ? ? ?y=sinθ ?

(θ为参数)上的任意

2.直线、圆、椭圆的参数方程
曲线 过点M(x0,y0),倾斜角为 α的直线l 圆心在点M0(x0,y0),半 径为R的圆 圆心在原点,半径为R的 圆 x2 y2 椭圆a2+b2=1(a>b>0) 参数方程
?x=x +tcosα, ? 0 ? ?y=y0+tsinα ? ?x=x +Rcosθ, ? 0 ? ?y=y0+Rsinθ ? ?x=Rcosθ, ? ? ?y=Rsinθ ? ?x=acosφ, ? ? ?y=bsinφ ?

(t为参数) (θ为参数)

(θ为参数) (φ为参数)

?x=1+2t, ? (1)若直线的参数方程为 ? ?y=2-3t ?

(t为参数),则直线的

斜率为________.

?x=2+3cosα, ? (2)若圆的参数方程为? ?y=-1+3sinα ?

(α 为参数),则圆心

为________,半径为________.
?x=2 ? (3)曲线 ? ?y=3 ?

3cosθ, (θ 为参数)中两焦点间的距离是 2sinθ

________.

1.

想一想:提示:平面直角坐标系中,对于同一曲线来

说,由于选择的参数不同,得到的曲线的参数方程也不同. 填一填:1 3 2.填一填:(1)-2 (2)(2,-1) 3 (3)2 6

核心要点研究

例1 [2012· 北京高考]直线
?x=3cosα, ? ? ?y=3sinα ?

?x=2+t ? ? ?y=-1-t ?

(t为参数)与曲线

(α为参数)的交点个数为________.

[审题视点] 的运用.

本题主要考查直线和圆的位置关系,考查参

数方程和普通方程之间的转化等基础知识,考查数形结合思想

[解] =9,

方程转化为普通方程,直线为x+y=1,圆为x2+y2

|1| 1 法一:圆心到直线的距离为d= = <3,所以直线与圆 2 2 相交,答案为2.
?x2+y2=9, ? 法二:联立方程组 ? ?x+y=1, ?

消去y可得x2-x-4=0,

Δ>0,所以直线和圆相交,答案为2.
[答案] 2

1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构 特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参 法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方 程,常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ+cos2θ=1等. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价 性,不要增解.

[变式探究] [2012· 湖北高考]在直角坐标系xOy中,以原 点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线θ=
?x=t+1, ? π ? 4 与曲线 ?y=?t-1?2 ?

(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB的

中点的直角坐标为________.
?5 5? 答案:?2,2? ? ?

π 解析:由极坐标方程可知,θ= 4 表示直线y=x(y≥0),而
?x=t+1, ? ? ?y=?t-1?2 ?

表示y=(x-2)2.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点 可得,x2-5x+4=0,可得x1+x2

?y=x, ? M(x0,y0).联立 ? ?y=?x-2?2 ?

?5 5? x1+x2 5 =5.即x0=y0= 2 =2,故M?2,2?. ? ?

例2 [2012· 湖南高考]在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:
?x=t+1, ? ? ?y=1-2t ? ?x=asinθ ? (t为参数)与曲线C2: ? ?y=3cosθ ?

(θ为参数,a>0)有

一个公共点在x轴上,则a=________.
[审题视点] 值. 通过消参化为普通方程,联立方程组确定a的

[解析]

?x=t+1, ? ∵C1:? ?y=1-2t, ?

∴C1的方程为2x+y-3=0.

?x=asinθ, ? ∵C2:? ?y=3cosθ, ?

x2 y2 ∴C2的方程为 2+ =1. a 9

∵C1与C2有一个公共点在x轴上,且a>0,
?3 ? 3 ∴C1与x轴的交点?2,0?在C2上,代入解得a=2. ? ?

3 [答案] 2

奇思妙想:在本例中若a=2,则曲线C2上的点到曲线C1上 的点的最大距离?

解:曲线C2上的点到曲线C1上的点的距离d= |4sinθ+3cosθ-3| 8 5 ,其最大值为 5 . 5

在曲线或者直线的参数方程与普通方程中,根据问题的

实际需要进行相互转化能够使问题的解决更为方便.一般来
说,如果问题中的方程都是参数方程,那就要至少把其中的 一个化为直角坐标方程,以便于问题的解决.

[变式探究] [2012· 天津高考]已知抛物线的参数方程为
?x=2pt2, ? ? ?y=2pt ?

(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线

上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是 3,则p=________.

答案:2

?x=2pt2, ? 解析:由参数方程 ? ?y=2pt ?

(t为参数),p>0,可得曲线

方程为y2=2px(p>0). ∵|EF|=|MF|,且|MF|=|ME|(抛物线定义), ∴△MEF为等边三角形, p E的横坐标为- ,M的横坐标为3. 2 p 3- 2 p ∴EM中点的横坐标为 ,与F的横坐标 相同. 2 2 p 3-2 p ∴ = ,∴p=2. 2 2

例3

[2012· 福建高考]在平面直角坐标系中,以坐标原点

O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l上两 2 3 π 点M,N的极坐标分别为(2,0),( 3 , 2 ),圆C的参数方程为
?x=2+2cosθ, ? ? ?y=- 3+2sinθ ?

(θ为参数).

(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方 程; (2)判断直线l与圆C的位置关系.

[解]

(1)由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),

2 3 (0, 3 ),又点P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标 3 3 为(1, ),故直线OP的平面直角坐标方程为y= x. 3 3 (2)因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0), 2 3 (0, ), 3

所以直线l的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆C的圆心坐标为(2,- 3),半径r=2, |2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线l的距离d= =2<r,故直线l与 3+9 圆C相交.

1. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几 何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较

麻烦时,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.转化时
要注意两坐标系的关系,注意ρ,θ的取值范围,取值范围不 同对应的曲线不同. 2. 解答参数方程的有关问题时,首先要弄清参数是谁,代表 的几何意义是什么;其次要认真观察方程的表现形式,以便

于寻找最佳化简途径.

? 1 ?x=2t, [变式探究] 已知直线l的参数方程为 ? ?y= 2+ 3t 2 2 ?

(t为

参数),若以平面直角坐标系xOy的O点为极点,x轴正半轴为 极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标 π 方程为ρ=2cos(θ-4). (1)求直线l的倾斜角; (2)若直线l与曲线C交于不同的两点A,B,求AB的长.

, ?x=tcos60° ? 解:(1)直线l的参数方程可以化为 ? 2 , ?y= 2 +tsin60° ?



2 据直线参数方程的意义,可知直线l经过点(0, ),倾斜角为 2 60° . 2 π (2)直线l的普通方程为y= 3x+ ,ρ=2cos(θ- )的直角 2 4 22 22 2 2 坐标方程为(x- 2 ) +(y- 2 ) =1,所以圆心( 2 , 2 )到直线l 6 10 的距离d= 4 .所以AB= 2 .

经典演练提能

1. [2012· 广东高考]在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2 的参数方程分别为
?x=t ? ? ?y= ?

t

(t为参数)和

?x= ? ? ?y= ?

2cosθ 2sinθ

(θ为参

数),则曲线C1与C2的交点坐标为________.
答案:(1,1)
解析:由C1得y= x,即y2=x(y≥0). 由C2得x2+y2=2.
?y2=x, ? 由①②联立? 2 2 ?x +y =2, ? ?x=1, ? 得? ?y=1. ?

① ②

2. [2011· 陕西高考]在直角坐标系xOy中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线C1:
?x=3+cosθ ? ? ?y=4+sinθ ?

(θ为参数)和曲线C2:ρ=1上,则|AB|的最小值为

________.

答案:3
解析:∵C1:(x-3)2+(y-4)2=1,C2:x2+y2=1, ∴两圆心之间的距离为d= 32+42=5. ∵A∈曲线C1,B∈曲线C2,∴|AB|min=5-2=3.

π 3. [2013· 西安模拟]已知曲线C1的极坐标方程是ρcos(θ+ ) 3 =m,曲线C2的参数方程为
?x=2+2cosθ ? ? ?y=2sinθ ?

(θ为参数),若两曲

线有且只有一个公共点,则实数m的值是________.

答案:-1或3

π 解析:将曲线C1的极坐标方程ρcos(θ+ 3 )=m化为直角坐 标方程为x-
?x=2+2cosθ, ? ? ?y=2sinθ ?

3

y-2m=0,将曲线C2的参数方程

(θ为参数)化为普通方程为(x-2)2+y2=4.因为

两曲线有且只有一个公共点,即直线x- 3 y-2m=0与圆(x- |2-2m| 2) +y =4相切,所以 2 =2,则m=-1或m=3.
2 2

4.
?x=2cosφ ? ? ?y=3sinφ ?

[2012· 课标全国高考]已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极

轴建立坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的 顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极 π 坐标为(2, ). 3 (1)求点A,B,C,D的直角坐标; (2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取 值范围.

? π π? 解:(1)由已知可得A?2cos3,2sin3?, ? ? ? ?π π? ?π π ?? B?2cos?3+2?,2sin?3+2??, ? ? ? ? ?? ? ?π ? ?π ?? C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ? ? ? ? ?? ? ?π 3π? ?π 3π?? D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ??

即A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设P(2cosφ,3sinφ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].


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