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江苏省盐城市第一中学2009届高三第四次月考试卷数学试题


江苏省盐城市第一中学 2009 届高三 第四次月考试卷数学试题
班级 姓名 成绩

说明:本试卷分第Ⅰ卷(文理必答题)和第Ⅱ卷(理科选答题)两部分,第Ⅰ卷满分 160 分,考 试时间 120 分钟。第Ⅱ卷满分 40 分,考试时间 30 分钟. 注意事项:答题前,考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内,答案写 在答卷纸上对应题目的答案空格内,填空题答案不写在试卷上.考试结束,将答卷 纸收回. 参考公式:

1、用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b =

∑ ( x ? x)( y ? y)
i =1 i i

n

∑ ( xi ? x)2
i =1

n

, a = y ? bx .

2、两个分类变量 X 与 Y 的独立性假设检验中 k =
2

n(ad ? bc)2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

其中 n = a + b + c + d

K 2 > 10.828 时,有 99.9 0 0 的把握认为“ X 与 Y 有关系” K 2 > 7.879 时,有 99.5 0 0 的把握认为“ X 与 Y 有关系” K 2 > 6.635 时,有 99 0 0 的把握认为“ X 与 Y 有关系” K 2 ≤ 2.706 时,没有充分的证据显示“ X 与 Y 有关系”

第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1、已知向量 a = (m,1) ,若 | a |= 2 ,则 m=______________ 2、已知复数 z1 = 3 ? i , z 2 = 2i ? 1 ,则复数

i z2 ? 的虚部等于________ z1 4

3、 ?ABC 满足 a、b、c 成等比数列且 c=2a,则 cos B = _________

4、抛物线 y = 4ax( a < 0) 的焦点坐标是_____________
2

5、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 2 1

2 主视图 左视图

2
俯视图

6、双曲线 x 2 ? y 2 = 2006 的左右顶点分别为 A1 , A2 , P 为其右支上一点,且∠A1PA2= 4∠PA1A2。则∠PA1A2 等于 7、若 O (0,0) ,A(4,-1)两点到直线 ax + a 2 y + 6 = 0 的距离相等,则实数 a = 8、设集合 M = {m | m = 9n, n ∈ N + 且10 < m < a} 的元素个数为 15 个,则 a 可取值的最 小自然数为 9、设函数 f ( x ) = sin(ωx + 一条对称轴的方程是 10、 数列 {a n } : 1=2, n +1 = a a

π
6

) ? 1(ω > 0)的导函数f ′( x) 的最大值为 3,则 f(x)的图象的

1 + an + ( n ∈ N ) 则 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? ? a 2007 = ___________ , 1 ? an
x2 y2 + = 1 的二个焦点,顶点 B 在椭圆上, 25 9

11、已知数列 ?ABC 的两顶点 A、C 是椭圆 则

sin B = ________________ sin A + sin C

12、已知四面体 ABCD , AD ⊥ 平面 BDC , M 是棱 AB 的中点, AD = CM = 2 ,则 异面直线 AD 与 CM 所成的角等于 A M B D 13、若不等式 ( ?1) n a < 2 + C

( ?1) n +1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 n

14.、圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y + 1 = 0 ,与直线 y =

1 x 相交,所得的弦长为 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , P 分别是 BC , A1 D1 的中点,M、N 分别是

AE , CD1 的中点, AD = AA1 = a, AB = 2a
(1)求证: MN // 面 ADD1 A1 (2)求三棱锥 P ? DEN 的体积

16. 在直角坐标系下,已知 A(2,0) ,B(0,2) C (cos α , sin α )(0 < α < π ) , (1) 若 OA + OC = 7 ,求 OB 和 OC 的夹角
(2) 若 AC ⊥ BC ,求 cos 2α 的值

17、已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a>b>0),其右准线 l 与 x 轴交于点 A, 椭圆的上顶点为 B, a2 b2
英才苑

直线 AB 恰好经过线段 FP 的中点 过它的右焦点 F 且垂直于长轴的直线交椭圆于点 P, D (1)求椭圆的离心率; (2)设椭圆的左、右顶点分别是 A1、A2,且 BA1 ? BA2 = ?3 ,求椭圆方程;

18、学校食堂定期向精英米业以每吨 1500 元的价格购买大米,每次购买大米需支付运输 费用 100 元,已知食堂每天需食用大米 1 吨,储存大米的费用为每吨每天 2 元,假设食堂 每次均在用完大米的当天购买. (1)问食堂每隔多少天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少? (2)若购买量大,精英米业推出价格优惠措施,一次购买量不少于 20 吨时可享受九五折 优惠,问食堂能否接受此优惠措施?请说明理由.

x 19、已知函数 f ( x) = e ? ln( x + 1) ? 1( x ≥ 0)

(1)求函数 f (x ) 的最小值 (2)若 0 ≤ y < x ,求证: e x ? y ? 1 > ln( x + 1) ? ln( y + 1)

20. 已知二次函数 f ( x) = ax + x ( a ∈ R, a ≠ 0) .
2

(1)当0< a <

1 5 时, f (sin x ) ( x ∈ R)的最大值为 ,求 f ( x ) 的最小值. 2 4

(2)如果 x ∈ [0,1]时,总有| f ( x ) | ≤ 1 .试求 a 的取值范围. (3)令 a = 1 ,当 x ∈ [n, n + 1] n ∈ N 数列 ?

(

+

) 时, f (x ) 的所有整数值的个数为 g (n ) ,求证

? g (n ) ? 的前 n 项的和 Tn < 7 n ? ? 2 ?

第Ⅱ卷 21、 ⊙O1 和 ⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ = 4 cos θ,ρ = ?4 sin θ (1)把 ⊙O1 和 ⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程
(2)求经过 ⊙O1 , ⊙O2 交点的直线的直角坐标方程

22、已知 f ( x) = ?

?2 x + 1, x ∈ [? 2,2] ?1 + x , x ∈ (2,4]
2

,求 k 的值,使



3

k

f ( x)dx =

40 3

23、某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制, 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术 水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5 , 0.6 , 0.4 ,经过 第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6 , 0.5 , 0.75 . (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ξ ,求随机变量 ξ 的期望.

被一平面所截得到的几何体, 截面为 ABC . 已 24、 右图是一个直三棱柱 (以 A1 B1C1 为底面) 知 A1 B1 = B1C1 = 1 , ∠A1 B1C1 = 90 , AA1 = 4 , BB1 = 2 , CC1 = 3 . (1)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC ∥平面 A1 B1C1 ; (2)求二面角 B ? AC ? A1 的大小; (3)求此几何体的体积.

A O B A1 B1

C

C1

参考答案
第Ⅰ卷
一、填空题 1、

± 3

2、

4 5

3、

3 4

4、 ( a,0 ) 9、 x =

5、 (20 + 4 2)cm 2

6、

π
12

7、 ? 2 或 4 或 6 11、

8、145

π
9

+

4 5

12、

π
3

kπ (k ∈ Z ) 3

10、 3

13、 [ ?2, )

3 2

14、2

二、解答题 15、 (1)证明:取 PE 中点 F,连结 MF、NF

MF || AP ? ? ? 面MNF || 面ADD1 A1 NF || PD1 ?
MN ? 面 MNF 所以 MN||面 ADD1 A1 (2)过 D 作 D1C 的垂线,垂足为 G ∵BC⊥面 D1C ∴DG⊥面 PNE ∴ V P ? DEN = ∴BC⊥DG

DD1 ? DC 1 3 1 1 = a S ?PNE ? DG = D1C ? CE ? 3 6 D1C 6

16 解 (1) + OC = ( 2 + cos α , sin α ) , OA + OC = 7 ,得 (2 + cos α ) 2 + sin 2 α = 7 , OA 由
cos α = 1 ,又 0 < α 2

< π , sin α = 3 ,所以 C ( 1 , 3 ) , B (0, 2) , OB 和 OC 的夹角为 π .
2

2

2

6

(2)AC = (cos α ? 2, sin α ) ,BC = (cos α , sin α ? 2) , AC ⊥ BC ,AC ? BC = 0 由

cos α (cos α ? 2) + sin α (sin α ? 2) = 0 , sin α + cos α =
法一: α + cos α = sin

1 , 2

1 π 1 π 2 π π 5π , 2 sin(α + ) = , α + ) = sin( , 又 <α + < , 2 4 2 4 4 4 4 4 2 2 3π π π 14 且 < , 所 以 < α + < π , , 得 cos(α + ) = ? , 4 2 4 4 4 4 π π π 2 14 7 cos 2α = sin( 2α + ) = 2 sin(α + ) cos(α + ) = 2 × × (? )=? 2 4 4 4 4 4

法二: cos 2α = cos

2

α ? sin 2 α = (cos α + sin α )(cos α ? sin α ) ,下求 coaα ? sin α ,

7 , 又 0<α <π , 4 1 π 3π 7 7 sin α + cos α = , < α < , cos α ? sin α = ? , cos 2α = ? . 2 2 4 2 4
(cos α + sin α ) 2 + (cos α ? sin α ) 2 = 2 , (cos α ? sin α ) 2 =
17、解(1)∵椭圆方程为

x2 y2 + 2 = 1, (a>b>0,c>0,c2=a2-b2) 2 a b

∴ A(

a2 b2 b2 ,0), F (c,0), B(o, b), P(c, ) ,FP 的中点 D 的坐标为( c, ) c a 2a

x y c 1 b2 直线 AB 的方程为: 2 + = 1 ∵D 在直线 AB 上∴ c ? 2 + ? =1 b b 2a a a c
化简得 3a = 4c
2 2

∴e =

3 2

(2) A1 ( ? a,0), A2 ( a,0), B (0, b), BA1 = ( ? a,?b),

BA1 ? BA2 =-3 ∴ a 2 ? b 2 = 3
由(Ⅰ)得: a = 2b ∴ a = 2, b = 1, c =

3

∴椭圆方程为:

x2 + y2 = 1 4

18、解: (1)设每隔 t 天购进大米一次,因为每天需大米一吨,所以一次购大米 t 吨, 那么库存费用为 2[t+(t-1)+(t-2)+…+2+1]=t(t+1), 设每天所支出的总费用为 y1,则

1 100 100 y1 = [t (t + 1) + 100] + 1500 = t + + 1501 ≥ 2 t ? + 1501 = 1521. t t t
当且仅当 t=

100 ,即 t=10 时等号成立. t

所以每隔 10 天购买大米一次使平均每天支付的费用最少. (2)若接受优惠条件,则至少每隔 20 天购买一次,设每隔 n(n≥20)天购买一次,每

天支付费用为 y2,则 y2=

1 100 +1426 [n(n + 1) + 100] + 1500 × 0.95 = n + n n 100 ∵ n ∈ [20,+∞), 而f (n) = n + 在[20,+∞) 上为增函数, n 100 ∴当 n=20 时,y2 有最小值: 20 + + 1426 = 1451 < 1521. 20
故食堂可接受
x

19 解、 (1) f ′(x ) = e ?

1 , x +1 1 x 当 x ≥ 0 时, e ≥ 1, ≤ 1 ,所以当 x ≥ 0 时, f ′(x) ≥ 0 , x +1
则函数 f (x ) 在 [0, + ∞ ) 上单调递增, 所以函数 f (x ) 的最小值为 f (0) = 0 ; (2)由(Ⅰ)知,当 x > 0 时, f ( x ) > 0 ,∵ x > y , ∴ f ( x ? y ) = e x ? y ? ln( x ? y + 1) ? 1 > 0 , ∴ e x ? y ? 1 > ln( x ? y + 1) ∵ ln( x ? y + 1) ? [ln( x + 1) ? ln( y + 1)] = ln

y( x ? y) + x + 1 ≥ 0, x +1

∴ ln( x ? y + 1) ≥ ln( x + 1) ? ln( y + 1) ∴e
x? y

? 1 > ln( x + 1) ? ln( y + 1)

1 1 5 知? < ?1 故当 sin x = 1 时 f ( x) 取得最大值为 , 2 2a 4 5 1 1 2 1 2 即 f (1) = a + 1 = ∴ a = ∴ f ( x ) = x + x = ( x + 2 ) ? 1 ,所以 f ( x) 的最小值为 4 4 4 4 ? 1;
20、解:⑴由 0 < a < ⑵由 f ( x ) ≤ 1 得 ax 2 + x ≤ 1, ? 1 ≤ ax + x ≤ 1 对于任意 x ∈ [0,1] 恒成立,
2

当 x = 0 时, f ( x ) = 0 使 f ( x ) ≤ 1 成立

2 ? 1 1 ?1 1? 1 a≤ 2 ? =? ? ? ? ? ? x ? x 2? 4 x 当 x ≠ 0 时,有 ? 2 ? a ≥ ? 1 ? 1 = ?? 1 + 1 ? + 1 ? ? ? 4 x2 x ? x 2? ?
2

① ②

对于任意的 x ∈ (0,1] 恒成立

1 1 ?1 1? ∵ x ∈ (0,1]∴ ≥ 1 , 则 ? ? ? ? ≥ 0 , 故 要 使 ① 式 成 立 , 则 有 a ≤ 0 , 又 x 4 ? x 2?

1 ?1 1? a ≠ 0 ∴ a < 0 ;又 ? ? + ? + ≤ ?2 ,则有 a ≥ ?2 ,综上所述: ? 2 ≤ a < 0 4 ? x 2?
⑶当 a = 1 时, f ( x ) = ax 2 + x , 则此二次函数的对称轴为 x = ?

2

1 , 开口向上, f ( x ) 在 故 2

[n, n + 1] 上 为 单 调 递 增 函 数 , 且 当 x = n, n + 1 时 , f (n ), f (n + 1) 均 为 整 数 , 故
g (n ) = f (n + 1) ? f (n ) + 1 = (n + 1) + (n + 1) ? n 2 ? n + 1 = 2n + 3
2

(n ∈ N ) , 则 数 列
?

2n + 3 ? g (n ) ? ? n ? 的通项公式为 2n ? 2 ?


5 7 9 2n + 1 2n + 3 + 2 + 3 + ? + n ?1 + 2 2 2 2 2n 1 5 7 9 2n + 1 2n + 3 Tn = 2 + 3 + 4 + ? + + n +1 ②, 2 2 2 2 2n 2 Tn =

① 由①—②得





2n + 7 1 5 1 1 ? 2n + 3 7 2 n + 7 ? 1 < 7。 Tn = + 2? 2 + 3 + ? + n ? ? n +1 = ? n +1 ,∴ Tn = 7 ? 2 2 2 2 2 ? 2 2 2n ?2

第Ⅱ卷
21、解:以有点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的 长度单位. (1) x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ,由 ρ = 4 cos θ 得 ρ 2 = 4 ρ cos θ . 所以 x 2 + y 2 = 4 x . 即 x 2 + y 2 ? 4 x = 0 为 ⊙O1 的直角坐标方程. 同理 x 2 + y 2 + 4 y = 0 为 ⊙O2 的直角坐标方程. (2)由 ?

? x2 + y 2 ? 4 x = 0 ? 2 2 ?x + y + 4 y = 0 ?

解得 ?

? x1 = 0, x2 = 2 ? . ? ? y1 = 0, y2 = ?2 ?

即 ⊙O1 , ⊙O2 交于点 (0, 和 (2, 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y = ? x . 0) ?

22、 k =0、1

23、解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1 , A2 , A3 , (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则

故 Eξ = np = 3 × 0.3 = 0.9 . 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A,B,C ,则 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = 0.3 ,
3 所以 P (ξ = 0) = (1 ? 0.3) = 0.343 ,

所以 ξ ~ B (3, , 0.3)

(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p = 0.3 ,

P( E ) = P( A1 i A2 i A3 ) + P( A1 i A2 i A3 ) + P( A1 i A2 i A3 ) = 0.5 × 0.4 × 0.6 + 0.5 × 0.6 × 0.6 + 0.5 × 0.4 × 0.4 = 0.38 .

P (ξ = 1) = 3 × (1 ? 0.3)2 × 0.3 = 0.441 , P (ξ = 2) = 3 × 0.32 × 0.7 = 0.189 , P (ξ = 3) = 0.33 = 0.027 . 于是, E (ξ ) = 1× 0.441 + 2 × 0.189 + 3 × 0.027 = 0.9 .
24.解法一: (1)证明:作 OD ∥ AA1 交 A1 B1 于 D ,连 C1 D . 则 OD ∥ BB1 ∥ CC1 . 因为 O 是 AB 的中点,

A A2 O H B

1 ( AA1 + BB1 ) = 3 = CC1 . 2 则 ODC1C 是平行四边形,因此有 OC ∥ C1 D
所以 OD =

C C2

C1 D ? 平面 C1 B1 A1 且 OC ? 平面 C1 B1 A1
则 OC ∥面 A1 B1C1 作 BH ⊥ A2C2 于 H ,连 CH .

A1

C1 D B1

(2)如图,过 B 作截面 BA2C2 ∥ 面 A1 B1C1 ,分别交 AA1 , CC1 于 A2 , C2 因为 CC1 ⊥ 面 BA2C2 ,所以 CC1 ⊥ BH ,则 BH ⊥ 平面 A1C 又因为 AB = 5 , BC = 2 , AC = 3 ? AB = BC + AC 所以 BC ⊥ AC ,根据三垂线定理知 CH ⊥ AC ,所以∠BCH 就是所求二面角的平面角
2 2 2

2 BH 1 ,所以 sin ∠BCH = = ,故∠BCH = 30 2 BC 2 即:所求二面角的大小为 30 2 ,所以 (3)因为 BH = 2 1 1 1 2 1 VB ? AA2C2C = S AA2C2C i BH = i (1 + 2)i 2 i = 3 3 2 2 2 1 VA1B1C1 ? A2 BC2 = S△ A1B1C1 i BB1 = i2 = 1 2
因为 BH =

所求几何体体积为

V = VB ? AA2C2C + VA1B1C1 ? A2 BC2 =

3 2

解法二: (1)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系 则 A(0,4) , B (0, 2) , C (1 0, ,因为 O 是 AB 的中点,所以 O ? 0, ,? 1, 0, , 3) 3

? ?

1 ? 2 ?
A

1 ? ? OC = ?1, ,? ? 0 2 ? ? 0, 易知, n = (0,1) 是平面 A1 B1C1 的一个法向量
因为 OC in = 0 , OC ? 平面 A1 B1C1 ,所以 OC ∥平面 A1 B1C1 (2) AB = (0, 1 ? 2) , BC = (1,1) ?, 0, 设 m = ( x,y,z ) 是平面 ABC 的一个法向量,则

C O
z

B
y

x
C1

A1 B1

?? y ? 2 z = 0 则 AB im = 0 , BC im = 0 得: ? ?x + z = 0
取 x = ? z = 1 , m = (1, ? 1) 2, 显然, l = (11, 为平面 AA1C1C 的一个法向量 ,0) 则 cos m, = l

mil mil

=

1+ 2 + 0 3 ,结合图形可知所求二面角为锐角 = 2 2× 6

所以二面角 B ? AC ? A1 的大小是 30


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