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【创新方案】2015届高考数学一轮复习第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质教案 文


第五节

直线、平面垂直的判定及其性质

【考纲下载】 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关 性质和判定定理. 2. 能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题. 理 解直线与平面所成的角、二面角的概念.

1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面内 的两条相交 直线都垂 直,则该直线与此平面 垂直 垂直于同一个平面的两 条直线平行
a, b ? ? , a b ? O, l ? a, l ? b

判定定理

? l⊥α

性质 定理

a ? ? , b ? ? ? a∥b

2.直线与平面所成的角

(1)定义:平面的一条 斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面 所成的角.如图所示,∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. ? π? (2 )线面角 θ 的范围:θ ∈?0, ?. 2? ? 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 4.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面 的一条垂线,则这两个 平面互相垂直 两个平面互相垂直,则 一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂 直

l ? ? , l ? ? ? α ⊥β

性质定理

? ? ? , l ? ? ,?

? ? a, l ? a

? l⊥α

1

1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,那另一条与此平面是否 垂直? 提示:垂直. 2.如果两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行吗? 提示:不一定.可能平行、相交或异面. 3.垂直于同一平面的两平面是否平行? 提示:不一定.可能平行,也可能相交. 4.垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗? 提示:平行.可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出.

1.(教材习题改编)给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B ①④正确. 2.已知直线 a,b 和平面 α ,且 a⊥b,a⊥α ,则 b 与 α 的位置关系为( ) A.b? α B.b∥α C.b? α 或 b∥α D.b 与 α 相交 解析:选 C ∵a⊥b,a⊥α ,∴b∥α 或 b? α . 3.(教材习题改编)PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,连接 PB、PC,PA、AC、BD,则 一定互相垂直的平面有( ) A.8 对 B.7 对 C.6 对 D.5 对 解析:

选 B 由于 PD⊥平面 ABCD,故平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PDB⊥平面 ABCD,平面 PDC ⊥平面 ABCD,平面 PDA⊥平面 PDC,平面 PAC⊥平面 PDB,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PBC⊥ 平面 PDC,共 7 对. 4.已知 α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α ⊥β ”是“m ⊥β ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”). 解析:设 α ∩β =l,则当 m? α ,且 m⊥l 时,有 m⊥β ,否则 m 不垂直 β ,故 α ⊥ β ? / m⊥β ;反之,若 m? α ,m⊥β ,则 α ⊥β . 答案:必要不充分 5.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.

解析:∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC. 又 BC⊥AC,PA∩AC=A,PA? 平面 PAC,AC? 平面 PAC,
2

∴BC⊥平面 PAC, ∴BC⊥PC. 故△PAB,△PAC,△BAC,△BCP 都是直角三角形. 答案:4

答题模板(五) 空间位置关系的证明 [典例] (2013·浙江高考) (15 分)如图, 在四棱锥 P?ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,

∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. (1)证明:BD⊥平面 APC; (2)若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值; (3)若 G 满足 PC⊥平面 BGD,求 的值. [快速规范审题] 第(1)问 1.审结论,明解题方向 可利用线面垂直的 观察所求结论,证明 BD⊥平面 APC判定定理或面面垂直的性质定理 ― ― → 证明 BD 与平面 APC 内的两相交直线垂直或证明 BD 所在的平面与平面 APC 垂直,且 BD 与交线垂直. 2. 审条件,挖解题信息 观察条件,AB=BC,AD=CD,PA⊥平面 ABCD,线面垂直的判定定理,BD⊥平面 APC. 3.建联系,找解题突破口

PG GC

BD是AC的 AB=BC,AD=CD 中垂线 ― ― → BD⊥AC,PA⊥平面 ABCD 线面垂直的判定定理,BD⊥平面 APC.
第(2)问 1.审结论,明解题方向 观察所求结论,DG 与平面 APC 所成的角的正切值射影定理,DG 与平面 APC 所成的角. 2.审条件,挖解 题信息 观察条件, AB=BC=2, ∠ABC=120°余弦定理,AC=2 3比例关系,OC= 3勾股定理,OD =2. 3.建联系,找解题突破口 在 Rt△OGD 中三角函数定义,tan∠OGD= .

OD OG

3

第(3)问 1.审结论,明解题方向

PG 相似三 观察所求结论, 角形性质 ― ― → PG、GC 的值. GC
2.审条件,挖解题信息 观察条件,PC⊥平面 BGDOG? 平面 BGD,PC⊥OG 勾股定理,PC 的值. 3.建联系,找解题突破口 PG 相似三角形 PC⊥平面 BGDOG? 平面 BGD,PC⊥OG 勾股定理,PC 的值 ― ― → GC 的值― → 的值. 性质 GC [准确规范答题] (1)证明:设点 O 为 AC 与 BD 的交点. 由 AB=BC,AD=CD,得 BD 是线段 AC 的中垂线, 所以 O 为 AC 的中点,BD⊥AC. ?2 分

又因为 PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,PA,AC? 平面 APC, 所以 BD⊥平面 APC. (2)连接 OG.由(1)可知,OD⊥平面 APC, 则 DG 在平面 此外易误判DG与平面APC所成的角造成后续求解错误 APC 内的射影为 OG, 所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角. 1 3 由题意得 OG= PA= . 2 2 在△ABC 中,AC=

?4 分

?5 分

AB2+BC2-2AB·BC·cos ∠ABC


? 1? 4+4-2×2×2×?- ?=2 3, ? 2?
?7 分
2 2

1 所以 OC= AC= 3. 2 在 Rt△OCD 中,OD= CD -OC = 7-3=2. 在 Rt△OGD 中,tan ∠OGD=

OD 4 3 = . OG 3
?10 分
2 2

4 3 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为 . 3

(3)因为 PC⊥平面 BGD,OG? 平面 BGD,所以 PC⊥OG.在 Rt△PAC 中,PC= PA +AC = 3+12= 15, 所以 GC=

AC·OC 2 3× 3 2 15 = = . PC 5 15

?13

4

分 3 15 PG 3 从而 PG= ,所以 = . 5 GC 2 [答题模板速成] 证明空间线面位置关系的一般步骤: 第一步 审清题意 第二步 明确方向 第三步 给出证明 第四步 反思回顾 分析条件,挖掘题目中 平行与垂直关系 确定问题方向,选择证明平行或垂直的方法,必要 时添加辅助线 利用平行垂直关系的判定或性质给出问题的证明 查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的 条件是否遗漏,符号表达是否准确 ?15 分

5


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