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初高中数学衔接教材(人教版)


初高中数学衔接教材 1.绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是 零.即

2.选择题:

?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是( 则 a ? ?b 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 ) (D)若 a ? b ,

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于( 2 1 2 1 2 (C) m (D) m 16 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值(
(1)若 x ?
2

) (A) m

2

(B)

1 2 m 4

(A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 3.二次根式

) (D)可以是正数也可以是负数

一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式 子 称 为 无 理 式 . 例 如 3a ? a2 ? b ? 2b ,

a 2 ? b2 等 是 无 理 式 , 而 2 x 2 ?

2 x ?1 , 2

x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式.
1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入 有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这 两个代数式互为有理化因式,例如 2 与 2 ,3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 ,2 3 ? 3 2 与

(A)若 a ? b ,则 a ? b(B) 若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b , 则a ?b

2 3 ? 3 2 ,等等. 一般地,a x 与 x ,a x ? b y 与 a x ? b y ,a x ? b 与 a x ? b 互
2 2

(a ? b)(a ? b) ? a ? b ; ( 2 ) 完 全 平 方 公 式

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式

(5)两数差立方公式 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x ? x ? 1)( x ? x ? 1) .
2 2

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .
(2) (a ? 2)(a ? 2)(a ? 4a ? 16)
4 2
2 2

为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子 有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式

a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有
理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二 次根式.

?a, a ? 0, 2 2.二次根式 a2 的意义 a ? a ? ? ??a, a ? 0.
例1 将下列式子化为最简二次根式: ( 1 ) 12b ; (2)

a 2b (a ? 0) ;

(3)

例2

已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2

例 3 计算: (1) (4 ? m)(16 ? 4m ? m )
2

(2) ( m ?

1 5

1 1 1 1 n)( m 2 ? mn ? n 2 ) 2 25 10 4

4 x 6 y ( x ? 0) .
例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) . 例 3 试比较下列各组数的大小:

1.填空:

1 2 1 2 1 1 (1) a ? b ? ( b ? a ) ( 9 4 2 3 2 2 2 2 (3) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? (

) ; (2)(4m ?

) ? 16m ? 4m ? (
2 2

);

(1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; 例 4 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 . 例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2)

).

2 和 2 2- 6 . 6?4

(2) x ?
2

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

1

例 6 化简下列各式: (1)

( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 1) 2

(2)

(1 ? x)2 ? (2 ? x)2 ( x ? 1)

法.) 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个 二次三项式能否用十字相乘法分解. 1. x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解。这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.

3? 2 3? 2 ,求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 . ,y? 3? 2 3? 2 1? 3 2 1.填空: ( 1) =__ ___; (2)若 (5 ? x )( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围 1? 3
例 7 已知 x ? 是_ _ ( 3 ) ___;

x2 ? ( p ? q) x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q)
因此, x ? ( p ? q ) x ? pq ? ( x ? p )( x ? q )
2

4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ?

____ __.

; (

4





x?

5 2





x ? 1 ? x 1? x 1? ?x 1 ? ? ?_ x ?1 ? ? x 1 ? ? x 1? x 1

运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. 【例 1】把下列各式因式分解: (1) x ? 7 x ? 6
2

4.分式 1.分式的意义

(2) x ? 13x ? 36
2

【例 2】把下列各式因式分解: (1) x ? 5 x ? 24
2

A A A 形如 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列 B B B
性质:

(2) x ? 2 x ? 15
2

【例3】把下列各式因式分解: (1) x ? xy ? 6 y
2 2

A A? M ? ; B B?M
例1 若

A A?M ? . B B?M

(2) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12
2 2 2
2

上述性质被称为分式的基本性质.

2.一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解 【例4】把下列各式因式分解:

5x ? 4 A B ? ? ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 例 2 (1) 试证: (其中 n 是正整数) ; (2) 计算: 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? . (3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 c 2 2 例 3 设 e ? ,且 e>1,2c -5ac+2a =0,求 e 的值. a 1 1 1 ? 1.填空题:对任意的正整数 n, ( ? ); n n?2 n(n ? 2) 5 4 2x ? y 2 x ? ,则 = ( 2.选择题:若 ) (A)1 (B) (C) 4 5 x? y 3 y
5、

1 ? ; 9 ?10

(1) 12 x ? 5x ? 2
2

(2) 5x ? 6 xy ? 8 y
2

2

2.提取公因式法与分组分解法 例5 分解因式: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ;
3 2

(2) 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 .
2 2

1.选择题:多项式 2 x ? xy ?15 y 的一个因式为(
2 2

) (D) x ? 5 y

6 (D) 5

(A ) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x +6x+8;
2

(B) x ? 3 y

(C) x ? 3 y

分解因式 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解 方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方 公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等. 十字相乘法(借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘
2

(2) x ? 4 xy ? 4 y
2
2

2

(3) (1)5x -3x-2; (6) x ? (a ? b) xy ? aby ;
2 2

2

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) . (5)x +4x-12; (7) xy ? 1 ? x ? y . (8)8a -b ;
3 3

(9) 3x ? 5 x ? 8
2

6、
2

一元二次方程----根的判别式

我们知道,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

?b ? b2 ? 4ac 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,则, x2 ? , 2a
2

b b2 ? 4ac ( x ? )2 ? . 2a 4a 2
2



?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ∴| x1-x2|= ? ? 2a 2a 2a
于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0) , 则| x1-x2|=
2

b2 ? 4ac ? . ? ? |a| |a|
? 2 (其中 Δ =b -4ac) . |a|

因为 a≠0,所以,4a >0.于是 2 (1)当 b -4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2

?b ? b2 ? 4ac = ; 2a
(2)当 b -4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 =-
2

x1=x2

b ; 2a
2

(3)当 b -4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ?

b 2 ) 一定大于或等 2a

于零,因此,原方程没有实数根. 2 2 由此可知,一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b -4ac 来判定,我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ ”来表示. 2 综上所述,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2= (2)当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例 2 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取 值范围. 1.选择题: 2 (1)已知关于 x 的方程 x +kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( ) (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: 2 2 ①方程 x +2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7;②方程 x -2x+7=0 的两根之和为-2, 两根之积为 7; ③方程 3 x -7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?
2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b x1=x2=- ; 2a

7 2 ;④方程 3 x +2x=0 的两根之和为-2, 3

(3)当 Δ <0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的 实数根. 2 2 (1)x -3x+3=0; (2)x -ax-1=0; 2 2 (3) x -ax+(a-1)=0; (4)x -2x+a=0. 7、一元二次方程----根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 间存在下列关系:
2 2

所以, 一元二次方程的根与系数之

如果 ax +bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1·x2= .这一关系 a a

也被称为韦达定理. 2 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x +px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理 可知 x1+x2=-p,x1·x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1·x2, 2 例:若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x +5x-3=0 的两根. (1)求 x1 x2 , x1+x2,的值; (2)求 x1 ? x2 , | x1-x2| 的值; 的值
3
2 2

(3)求

1 1 ? 2 2 x1 x2

两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个(B)2 个 (C)3 个(D)4 个 2 2 (3)关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: 2 (1)方程 kx +4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . y 2 2 2 ( 2 )方程 2x - x - 4 = 0 的两根为 α , β ,则 α + β y=x2 y=2x2 = . 2 (3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则 它的另一个根是 . 2 (4)方程 2x +2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2| = . 2 2 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m x -(2m+1) x +1=0 有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根? x O 没有实数根? y 2 4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x -7x-1 y=2(x+1)2+1 =0 各根的相反数. y=2(x+1)2 8、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 y=2x2 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 2 2 二次函数 y=ax (a≠0)的图象可以由 y=x 的图象各点 2 的纵坐标变为原来的 a 倍得到. 在二次函数 y=ax (a≠0)中, 二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的 开口的大小. 2 2 问题 2 函数 y=a(x+h) +k 与 y=ax 的图象之间存在 怎样的关系? x -1 O 同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系

来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数 y=2(x+1) +1 与 y=2x 的图象(如图 2-2 所示) , 2 从函数的同学我们不难发现,只要把函数 y=2x 的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位, 2 就可以得到函数 y=2(x+1) +1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特 点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x ,y=-3(x-1) +1 的图象,研究它们图象之间的相互关 系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 2 二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次 函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 2 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的方法: 由于 y=ax +bx+c=a(x +
2 2 2 2

2

2

b b b2 b2 x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a

(D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 2 (1)二次函数 y=2x -mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n= . 2 (2)已知二次函数 y=x +(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. 2 ( 3 )函数 y =- 3(x + 2) + 5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标 为 ;当 x= 时,函数取最 值 y= ;当 x 时, y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画 出其图象. 2 2 (1)y=x -2x-3; (2)y=1+6 x-x . 2 4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小 值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3. 9、 二次函数的三种表示方式

? a( x ?

b 2 b2 ? 4ac ) ? , 2a 4a
2 2 2

所以,y=ax +bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax 的图象作左右平移、上下平移得 2 到的,于是,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)具有下列性质:

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax +bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h) +k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先 来研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有
2 2 2

b 4ac ? b2 , ) ,对称轴 (1)当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b 为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= . 2a 4a b 4ac ? b2 2 , ) ,对称轴 (2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b 为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 2a 4a
2

ax2+bx+c=0.


2

并且方程①的解就是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵坐标为零) ,于是, 不难发现,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解 的个数又与方程①的根的判别式 Δ =b -4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ =b -4ac 存在下列关系: (1)当 Δ >0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ >0 也成立. (2)当 Δ =0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来, 若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ =0 也成立. (3)当 Δ <0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ <0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方 2 程 ax +bx+c=0 的两根,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解 决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 2 例 1 求二次函数 y=-3x -6x+1 图象的开口方向、 对称轴、 顶点坐标、 最大值 (或最小值) , 并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象. 例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y =x2 的图像,求 b,c 的值. 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是( ) 2 2 2 2 (A)y=2x (B)y=2x -4x+2(C)y=2x -1 (D)y=2x -4x 2 2 (2)函数 y=2(x-1) +2 是将函数 y=2x ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的
4

b b c c ,x1x2= ,即 =-(x1+x2), =x1x2. a a a a b c a( x 2 ? x ? )= a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). a a
x1+x2= ?

所 以 , y = ax + bx + c = 2.对称变换 x=-1

2

y

由上面的推导过程可以得到下面结论: 2 若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表 示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交 点式这三种表达形式中的某一形式来解题. 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3, -1) ,求二次函数的解析式. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数 的表达式. 1.选择题: 2 (1)函数 y=-x +x-1 图象与 x 轴的交点个数是( ) (A)0 个(B)1 个 (C)2 个 (D) 无法确定 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是( ) (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1, 2 2)(D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为 y =a (a≠0) . 2 (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5, 且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2). 10、 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次 函数的图象平移? 我们不难发现: 在对二次函数的图象进行平移时, 具有这样的特点——只改变函数图象的位置、 不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其 顶点的位置即可. 2 例 1 求把二次函数 y=x -4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析 式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.
5

问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线 进行对称变换时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来 研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行 的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数图 O 象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函 A(1,-1) 数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位 置和开口方向来解决问题. 2 例 2 求把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于下列直线 对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1. 11 相似形 我们将这个结论一般化,归纳出平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例. 例 4 的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的两边之 比). 1.如图 3.1-6, l1 // l2 // l3 ,下列比例式正确的是( A. ) D.

x

AD CE = DF BC

B.

AD BC = BE AF

C.

CE AD = DF BC

AF BE = DF CE
图 3.1-6

2.如图 3.1-7, DE // BC, EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm, 求 BF .

3. 如图, 在 V ABC 中, AD 是角 BAC 的平分线, AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm, 求 BD 的长.

4.如图,在 V ABC 中, ?BAC 的外角平分线 AD 交 BC 的延长线于 点 D ,求证:

AB BD = . AC DC

5.如图,在 V ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使 BD=CE,DE 延长线交 BC 的延长线于 F.求 证:

DF AC = . EF AB

重心 三角形的三条中线相交于一点, 这个交点称为三角形 的重心.三角形的重心在三角形的内部, 恰好是每条中线的三等分 点. 3.1.2.相似形 我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角形相似?有哪些方法 可以判定两个直角三角形相似? 例 6 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中,?BAC 为直角,AD ? BC 于 D. 求证: (1)AB = BD BC ,AC = CD CB ; (2)AD = BD CD 我们把这个例题的结论称为射影定理, 该定理对直角三角形的运算很 有用. 1.如图 3.1-15,D 是 V ABC 的边 AB 上的一点,过 D 点作 DE//BC 交 AC 于 E.已知 AD:DB=2:3, 则 SV ADE : S四边形BCDE 等于 (
2 2 2

13 几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形 ABC 中,三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上. 在直角三角形 ABC 中, ? A 为直角,垂心为直角顶点 A, 外心 O 为斜边 BC 的中点, 内心 I 在三角形的内部,且内切圆的半径为

b+ c- a 2

(其中 a, b, c 分别为三角形的三边 BC,CA,AB 的长) ,为什么? 该直角三角形的三边长满足勾股定理: AC + AB = BC .
2 2 2

2:3 ) A.

4:9 B.

4:5 C.

4 : 21 D.
正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、 外心) 合一,该点称为 正三角形的中心.

2.若一个梯形的中位线长为 15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线 段的比是 3 : 2 ,则梯形的上、下底长分别是__________. 3.已知:V ABC 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的 V A ' B ' C ' 的最大边长 是 15,求 A ' B ' C ' 的面积 SV A ' B 'C ' . 12、三角形的“四心” 外心 过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三 角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点. 内心 三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心 . 三角形的内心在三角形的内 部,它到三角形的三边的距离相等. 垂心 三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一 定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如 图 3.2-8)

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