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初高中数学衔接教材经典


初高中数学衔接

前言 数与式的运算(两课时) 第一讲 数与式的运算(两课时) 因式分解(两课时) 第二讲 因式分解(两课时) 一元二次方程根与系数的关系(一课时) 第三讲 一元二次方程根与系数的关系(一课时) 两课时) 第四讲 不 等 式(两课时) 二次函数的最值问题(一课时) 第五讲 二次函数的最值问题(一课时) 简单的二元二次方程组(一课时) 第六讲 简单的二元二次方程组(一课时) 分式方程和无理方程的解法(一课时) 第七讲 分式方程和无理方程的解法(一课时) 直线、平面与常见立体图形(一课时) 第八讲 直线、平面与常见立体图形(一课时) 直线与圆,圆与圆的位置关系(一课时) 第九讲 直线与圆,圆与圆的位置关系(一课时)

课时) 录(共 12 课时)

初高中衔接从观念开始
——致高一新同学 ——致高一新同学 需要讲解的同学请联系 QQ 75866017 TEL 13626376444 一、初、高中的比较 和初中数学相比,高中数学的内容多,抽象性、理论性强, 和初中数学相比,高中数学的内容多,抽象性、理论性强,高中很注重自学能力的培养 的,高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你,在高中一定要注重自学能力的培养,谁的自 高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你,在高中一定要注重自学能力的培养, 学能力强,那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你发展的前途。不过, 学能力强,那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你发展的前途。不过,要学好数 学也不是很困难的,只要你跟着我的思路走,你的数学一定会很好的。 学也不是很困难的,只要你跟着我的思路走,你的数学一定会很好的。 二、学好高中数学的方法 现在我们来看看该如何才能学好高中数学呢? 现在我们来看看该如何才能学好高中数学呢? 第一:要改变一个观念。 第一:要改变一个观念。 1、有人会说自己的基础不好。那我问一下什么是基础?今天所学的知识就是明天的基 有人会说自己的基础不好。那我问一下什么是基础 今天所学的知识就是明天的基 础,明天学习的知识就是后天的基础,所以要学好每一天的内容,那么你打的基础就是最扎 明天学习的知识就是后天的基础,所以要学好每一天的内容, 实的了。所以现在你们是在同一个起跑线上的,无所谓基础好不好。 实的了。所以现在你们是在同一个起跑线上的,无所谓基础好不好。 2、还有同学会说学数学除了高考没啥用。其实,大千世界均蕴含数学的理性思想;并 还有同学会说学数学除了高考没啥用。其实,大千世界均蕴含数学的理性思想; 且就单纯数学知识来说,它本身的应用性就很广泛,不仅在科学方面, 且就单纯数学知识来说,它本身的应用性就很广泛,不仅在科学方面,就在我们的生活中也 处处要用到数学知识。 处处要用到数学知识。

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3、改变在初中学习数学的习惯。在初中,许多同学在课堂上基本可以消化(或者是可以 改变在初中学习数学的习惯。在初中,许多同学在课堂上基本可以消化( 完全消化)老师所讲述的内容。这样就能够考出好的成绩,也就能够体会到成功的喜悦。 完全消化)老师所讲述的内容。这样就能够考出好的成绩,也就能够体会到成功的喜悦。现 在,在高中也许你会发觉:课上不能完全听懂老师所讲,课后会有一些作业很难完成。这样 在高中也许你会发觉:课上不能完全听懂老师所讲,课后会有一些作业很难完成。 完全听懂老师所讲 会让同学们有了挫败感。这是与高中数学的特性有很大的关系。因此, 会让同学们有了挫败感。这是与高中数学的特性有很大的关系。因此,同学们要改变自己的 学习观念: 学习观念:一、要充分做好课前的预习,对书本的基本内容进行了解与分析:什么内容自己 要充分做好课前的预习,对书本的基本内容进行了解与分析: 能够学会?还有什么是要期待课堂解决?这样对第二天要学的内容心里有底, 能够学会?还有什么是要期待课堂解决?这样对第二天要学的内容心里有底,在上课的时候 才能做到有的放矢,使得课堂的效率达到最大; 才能做到有的放矢,使得课堂的效率达到最大;二、要加强自己的自主学习以及合作学习的 习惯,不能万事都依靠老师,要多和同学们进行讨论交流,增强自己合作交流的能力。 习惯,不能万事都依靠老师,要多和同学们进行讨论交流,增强自己合作交流的能力。三、 要学会参阅课外书籍。通过阅读,能够扩展同学们的视野,拓广同学们的思路, 要学会参阅课外书籍。通过阅读,能够扩展同学们的视野,拓广同学们的思路,总结学习思 思路 想方法,使得同学们能够尽快地掌握所学知识,体会学习的乐趣。 想方法,使得同学们能够尽快地掌握所学知识,体会学习的乐趣。 第二:要培养对数学的兴趣。 第二:要培养对数学的兴趣。 有些人在初中就对数学很感兴趣,希望你们能够继续保持下去。 有些人在初中就对数学很感兴趣,希望你们能够继续保持下去。有些人在初中就不大喜 欢数学,为什么呢?有两方面的可能性,一方面可能是由于讨厌数学老师, 欢数学,为什么呢?有两方面的可能性,一方面可能是由于讨厌数学老师,另一方面可能是 数学老是考不好,越不喜欢数学就越不想学数学,越不学数学,越考不好, 数学老是考不好,越不喜欢数学就越不想学数学,越不学数学,越考不好,如此形成一个恶 性循环。我希望从今天开始你们要开始培养对数学的热爱。有人说兴趣是最好的老师, 性循环。我希望从今天开始你们要开始培养对数学的热爱。有人说兴趣是最好的老师,只要 你对某一事物有浓厚的兴趣,那么你对它的关注就超出平常,会收到意想不到的效果的。 你对某一事物有浓厚的兴趣,那么你对它的关注就超出平常,会收到意想不到的效果的。那 到意想不到的效果的 么我们该如何培养兴趣呢?只要你发现数学是好玩的,是美的,那么你就有了浓厚的兴趣。 么我们该如何培养兴趣呢?只要你发现数学是好玩的,是美的,那么你就有了浓厚的兴趣。 培养兴趣呢 其实在我们的周围有很多事情都是可以用数学可以来解决的, 其实在我们的周围有很多事情都是可以用数学可以来解决的,无非很多人都没有用数学的眼 光来看待。 光来看待。 比如基督教徒认为上帝是万能的。你们认为呢?如何来证明你的结论呢?我的观点: 比如基督教徒认为上帝是万能的。你们认为呢?如何来证明你的结论呢?我的观点:上 帝不是万能的。为什么呢?仔细听我讲来。 帝不是万能的。为什么呢?仔细听我讲来。 证明:(反证法)假如上帝是万能的, 证明:(反证法)假如上帝是万能的,那么他能够制作出一块无论什么力量都搬不动的 :(反证法 石头。 根据假设, 既然上帝是万能的, 那么他一定能够搬的动他自己制造的那石头。 “无 这与 石头。 根据假设, 既然上帝是万能的, 那么他一定能够搬的动他自己制造的那石头。 论什么力量都搬不动的石头” 所以假设不成立, 所以上帝不是万能的。 论什么力量都搬不动的石头”相矛盾 ,所以假设不成立, 所以上帝不是万能的。 其实这样的例子周围还有很多,炒股,银行存款,摸彩票等等都和数学有关的。随着高 实这样的例子周围还有很多,炒股,银行存款,摸彩票等等都和数学有关的。 中数学的学习,那么上面的问题你都会有所细致的了解。 中数学的学习,那么上面的问题你都会有所细致的了解。 第三:学好高中数学要注意培养的几个能力。 第三:学好高中数学要注意培养的几个能力。 (一)独立思考的能力:能根据所给的条件进行独立思考,将所学的知识与亟待解决的 独立思考的能力:能根据所给的条件进行独立思考, 问题结合,寻找解决之道。 问题结合,寻找解决之道。 的游戏:给出四个数,利用加、 例、扑克牌中有一个算 24 的游戏:给出四个数,利用加、减、乘、除及括号连接这四 个数, 24。 这四个数,请你按上述要求列出算式 求列出算式, 个数,使运算结果为 24。现给出 3、3、8、8 这四个数,请你按上述要求列出算式,使结果 24。(美国微软公司在复旦大学招聘人才考试题) 。(美国微软公司在复旦大学招聘人才考试题 为 24。(美国微软公司在复旦大学招聘人才考试题)

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(二)空间想像能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想像出直观形象;能正确 空间想像能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想像出直观形象; 件作出正确的图形 地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合; 地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手 段形象地揭示问题的本质。 段形象地揭示问题的本质。 空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、 空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图 形的想像能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系; 形的想像能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语 言和符号语言转化为图形语言,以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换。 言和符号语言转化为图形语言,以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换。对图形的 想像主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想像能力高层次的标志,逻辑推理能力。 想像主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想像能力高层次的标志,逻辑推理能力。 (三)抽象概括能力:抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性;概括是指 抽象概括能力:抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性; 的属性 把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程。抽象和概括是相互联系的, 把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程。抽象和概括是相互联系的,没有抽 象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论。 象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论。 抽象概括 能力就是从具体的、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质; 能力就是从具体的、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大 量信息材料中,概括出一些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断。 量信息材料中,概括出一些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断。 (四)推理论证能力:推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成,论证 推理论证能力:推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成, 是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程。推理既包括演绎推理, 是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程。推理既包括演绎推理,也 包括合情推理。 证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法, 包括合情推理。论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直 接证法和间接证法。一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明。 接证法和间接证法。一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明。 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学 命题真实性初步的推理能力。 命题真实性初步的推理能力。 10× 的方阵, 例、操场有 100 名学生排成 10×10 的方阵,共有 10 行 10 列, 在每一行中选出一个最高的, A.在每一行中选出一个最高的,共有 在每一列中选出一个最矮的, B.在每一列中选出一个最矮的,共有 孰高? 问:A 与 B 孰高? (五)运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题 运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理, 的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算。 的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算。 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、 估值和近似计算, 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、 估值和近似计算, 对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等。 对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算 条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力, 条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在 实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。 实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。 (六)数据处理能力:会收集数据、整理数据、分析数据,能从大量数据中抽取对研究 数据处理能力:会收集数据、整理数据、分析数据, 问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行 问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行 整理、分析,并解决给定的实际问题。 整理、分析,并解决给定的实际问题。 (七)数形结合的能力:能借助图形,将抽象的问题应用图形形象的表示出来,使得问 数形结合的能力:能借助图形,将抽象的问题应用图形形象的表示出来, 题更加明朗,清晰,便于更快的抓住问题的实质,加快解决问题的速度。 题更加明朗,清晰,便于更快的抓住问题的实质,加快解决问题的速度。 高个子” 10 个“高个子”,其中最矮的记为 A; 矮个子” 10 个“矮个子”,其中最高的记为 B;

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例、炎炎夏日,虔诚的老太太去山上进香,山高路远,老太太一路走走停停,自上午 6 炎炎夏日,虔诚的老太太去山上进香,山高路远,老太太一路走走停停, 时从家出发, 时方到庙中,在庙中住了一晚,第二天自原路返回, 时从家出发,下午 4 时方到庙中,在庙中住了一晚,第二天自原路返回,仍是上午 6 时从庙 中出发, 时方回到家中。 这个老太太可不可能在同一时间经过同一地点 同一时间经过同一地点? 中出发,下午 4 时方回到家中。问:这个老太太可不可能在同一时间经过同一地点? 点是作为同一 (注:同一时间指的相对于一天内的时间,如昨天的上午 9 点与今天的上午 9 点是作为同一 同一时间指的相对于一天内的时间, 时间。) 时间。) (八)应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学 应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题, 科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行 生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料, 归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型; 归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用相关的数学方法解决 问题并加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明。主要过程是依据现实的生活背景, 问题并加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明。主要过程是依据现实的生活背景,提 炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问题转化为数学问题,并加以解决。 炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问题转化为数学问题,并加以解决。 (九)创新意识:能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方 创新意识:能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、 法,选择有效的方法和手段分析信息, 选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、 进行独立的思考、探索和研究, 探索和研究,提出解决问题的思路, 提出解决问题的思路, 创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的“观察、猜测、抽象、 创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的“观察、猜测、抽象、 概括、证明” 是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、 概括、证明”,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度 越高,显示出的创新意识也就越强。 越高,显示出的创新意识也就越强。 第四: 第四:对数学科目的几个要求 (一)课前预习。怎样预习呢?就是自己在上课之前把内容先看一边,把自己不懂的地 课前预习。怎样预习呢?就是自己在上课之前把内容先看一边,把自己不懂的地 方做个记号或者打个问号,以至于上课的时候重点听,这样才能够很快提高自己的水平。 方做个记号或者打个问号,以至于上课的时候重点听,这样才能够很快提高自己的水平。但 是预习不是很随便的把课本看一遍,预习要有个目标:(1 是预习不是很随便的把课本看一遍,预习要有个目标:(1)就是通过预习可以把书本后面 :( 的练习题可以自己独立的完成;(2)并思考与本节课有关的旧知识以及如何将新知识融合 练习题可以自己独立的完成;(2 ;( 在里面;(3 问自己几个问题:课本的例题有什么特性?可否发展?如何发展? 在里面;(3)问自己几个问题:课本的例题有什么特性?可否发展?如何发展? ;( (二)上课认真听讲。上课的时候准备课本,一只笔,一本草稿,一本笔记。做不做笔 上课认真听讲。上课的时候准备课本,一只笔,一本草稿,一本笔记。 记你们自己决定,不过我提倡数学课做笔记的。有些知识点比较重要,课本上又没有的, 记你们自己决定,不过我提倡数学课做笔记的。有些知识点比较重要,课本上又没有的,你 们可以补充在你预习时已有的相应知识点的位置;另外, 预习中 不能解决或者是还存在 们可以补充在你预习时已有的相应知识点的位置;另外,在预习中不能解决或者是还存在 的问题现在通过课堂的听讲有所感悟也可以记录下 的问题现在通过课堂的听讲有所感悟也可以记录 下来;再来就是,如果你觉得某个例题比 再来就是, 较新或者比较重要,也可以把它记在相应位置上,这样以后复习起来就一目了然了。 较新或者比较重要,也可以把它记在相应位置上,这样以后复习起来就一目了然了。那么草 以后复习起来就一目了然了 稿要来干什么的呢?课堂上你可以自己演算还有做课堂练习。 稿要来干什么的呢?课堂上你可以自己演算还有做课堂练习。 (三)关于作业,绝对不允许有抄作业的情况发生。课后要先复习今天所学的知识点然 关于作业,绝对不允许有抄作业的情况发生。 后再做作业,这样才能收到上课的效果,收到事半功倍的效果。那有人会问, 后再做作业,这样才能收到上课的效果,收到事半功倍的效果。那有人会问,碰到不会做的 题目怎么办?有两个办法: 题目怎么办?有两个办法:一、向同学请教,请教做题目的思路,而不是整个过程和答案。 向同学请教,请教做题目的思路,而不是整个过程和答案。 同学之间也要相互帮助,如果你让他抄袭你的作业这样不是帮助他而是害他, 同学之间也要相互帮助,如果你让他抄袭你的作业这样不是帮助他而是害他,这个道理大家 应该明白吧。我非常提倡同学之间的相互讨论问题的,这样才能够相互促进提高。 应该明白吧。我非常提倡同学之间的相互讨论问题的,这样才能够相互促进提高。二、向老 师请教,我希望我每天下课的时候都有学生上来请教我,要养成问的习惯。我高中的时候, 师请教,我希望我每天下课的时候都有学生上来请教我,要养成问的习惯。我高中的时候, 候都有学生上来请教我

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我们班级的学生的问题最多,结果每次考试的成绩都是最好的, 我们班级的学生的问题最多,结果每次考试的成绩都是最好的,我希望这样的事情发生在你 最多 们当中 们当中。 (四)准备一本笔记本,作为自己的问题集。把平时自己不懂的和不大理解的还有易错 准备一本笔记本,作为自己的问题集。 的记录下来,并且要及时的消化,不懂的地方问老师。这是一个很好的办法, 的记录下来,并且要及时的消化,不懂的地方问老师。这是一个很好的办法,到考试的时候 就可以有重点、有针对性的自己复习了。 就可以有重点、有针对性的自己复习了。 相信你如果认真做到以上几点,那么在高中学习数学就会非常轻松, 相信你如果认真做到以上几点,那么在高中学习数学就会非常轻松,成绩就能大幅度地 提升,最终到达高考成功的彼岸! 提升,最终到达高考成功的彼岸! 高考成功的彼岸

第一讲

数与式的运算(两课时) 数与式的运算(两课时)

在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数, 在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数 和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式) 分式、根式。 、分式 和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式) 分式、根式。它们具有实数 、 的属性,可以进行运算。在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式( 的属性,可以进行运算。在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全 平方公式) 并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便。 ,并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便 平方公式) 并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便。由于在高中学习中还会遇到更复 , 杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、 杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、 立方和、立方差公式 在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算, 立方和、立方差公式。在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中 数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及, 数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补 充。基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容。 基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容。 一、乘法公式 【公式 1】 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 证明: 证明: Θ(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2
= a 2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
∴ 等式成立

1 计算: 【例 1】计算: ( x 2 ? 2 x + ) 2 3
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列。 立方和公式) 【公式 2】 (a + b)(a 2 ? ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (立方和公式) 证明: 证明: (a + b)(a 2 ? ab + b 2 ) = a 3 ? a 2 b + ab 2 + a 2 b ? ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 计算: 【例 2】计算: (a ? b)(a 2 + ab + b 2 )

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立方差公式) 【公式 3】 (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 ? b 3 (立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系, 均称为乘法公式。 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式 1、2、3 均称为乘法公式。 计算: 【例 3】计算: (1) (4 + m)(16 ? 4m + m 2 ) (3) (a + 2)(a ? 2)(a 4 + 4a 2 + 16)
1 1 1 1 1 (2) ( m ? n )( m 2 + mn + n 2 ) 5 2 25 10 4 (4) ( x 2 + 2 xy + y 2 )( x 2 ? xy + y 2 ) 2

说明: ( 说明: 1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满 在进行代数式的乘法、除法运算时, 足乘法公式的结构。 足乘法公式的结构。 (2)为了更好地使用乘法公式,记住 1、2、3、4、…、20 的平方数 为了更好地使用乘法公式, 的立方数,是非常有好处的。 和 1、2、3、4、…、10 的立方数,是非常有好处的。 1 的值。 【例 4】已知 x 2 ? 3 x + 1 = 0 ,求 x 3 + 3 的值。 x 的值后, 再代入代数式求值, 则计算较烦琐 本 较烦琐. 说明: 本题若先从方程 x 2 ? 3x + 1 = 0 中解出 x 的值后, 再代入代数式求值, 则计算较烦琐. 说明: 题是根据条件式与求值式的联系, 用整体代换的方法计算, 简化了计算。 请注意整体代换法。 题是根据条件式与求值式的联系, 用整体代换的方法计算, 简化了计算。 请注意整体代换法。 本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举。 本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举。 的值。 【例 5】已知 a + b + c = 0 ,求 a ( + ) + b( + ) + c( + ) 的值。
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b

说明:注意字母的整体代换技巧的应用。 说明: 注意字母的整体代换技巧的应用。 引申:同学可以探求并证明: 引申:同学可以探求并证明:
a 3 + b 3 + c 3 ? 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca )

二、根式 叫做二次根式,其性质如下: 式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式,其性质如下: (1) ( a ) 2 = a (a ≥ 0) (3)
ab = a ? b (a ≥ 0, b ≥ 0)

(2) (4)

a 2 =| a | b = a b a (a > 0, b ≥ 0)

化简下列各式: 【例 6】化简下列各式: (1)
( 3 ? 2)2 + ( 3 ? 1) 2

(2)

(1 ? x) 2 + (2 ? x) 2 ( x ≥ 1)

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说明: 的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时, 说明:请注意性质 a 2 =| a | 的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母 的取值分类讨论。 的取值分类讨论。 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数) 【例 7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1)
3 2+ 3

(2)

1 1 + a b

(3) 2

x ? x3 + 8x 2

说明:(1)二次根式的化简结果应满足: 被开方数的因数是整数,因式是整式; 说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方 二次根式的化简结果应满足 数不含能开得尽方的因数或因式。 数不含能开得尽方的因数或因式。 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种: 被开方数是整数或整式。化简时, (2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式。化简时,先将 二次根式的化简常见类型有下列两种 它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来; 分母中有根式( 它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如 开方数有分母( 开方数有分母(如
3 2+ 3

)或被

x a x x 形式( ).这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ,转化为 “分母中有 2 2 b 2

根式”的情况.化简时, 把分母中的根式化为有理式,采取分子、 根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进 行化简. 行化简.(如
3 2+ 3

化为

3(2 ? 3) (2 + 3)(2 ? 3)

叫做互为有理化因式) ,其中 2 + 3 与 2 ? 3 叫做互为有理化因式)。

计算: 【例 8】计算: (1) ( a + b + 1)(1 ? a + b ) ? ( a + b )2 (2)
a a ? ab + a a + ab

说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、 说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次 根式的运算。 根式的运算。 【 例 9 】设 x =
2+ 3 2? 3 ,y= 2? 3 2+ 3

,求 x3 + y 3 的值. 的值.

说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时, 说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论 先化简后求值 当直接代入运算较复杂时 的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量。 的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量。 三、分式 当分式
A A 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式, 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式,繁分式的化简常用以 B B

下两种方法: 利用除法法则; 利用分式的基本性质. 下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.

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10】 【例 10】化简

x 1? x x+ 1 x? x

说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式, 说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式, 解法二则是利用分式的基本性质 11】 【例 11】化简
A A× m = 进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法。 进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法。 B B×m

x 2 + 3x + 9 6x x ?1 + ? 2 2 6 + 2x x ? 27 9x ? x

说明: 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时, 说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分 解再进行约分化简; 分式的计算结果应是最简分式或整式。 解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式。 进行约分化简

第二讲

因式分解(两课时) 因式分解(两课时)

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式) 全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。 还有公式法(立方和、立方差公式) 十字相乘法和分组分解法等等。 一、公式法(立方和、立方差公式) 公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式: 在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式: (a + b)(a 2 ? ab + b 2 ) = a 3 + b3 (立方和公式) 立方和公式) (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 ? b3 (立方差公式) 立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到: 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到: a 3 + b3 = (a + b)(a 2 ? ab + b 2 ) a 3 ? b3 = (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ) 这就是说,两个数的立方和( 这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的 等于这两个数的和( 差 (和 )。 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。 用立方和或立方差公式分解下列各多项式 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 + x3 (2) 0.125 ? 27b3 (2)中 分析: (1)中 分析: (1)中, 8 = 23 ,(2)中 0.125 = 0.53 , 27b3 = (3b)3 。

209

说明: 在运用立方和(差 公式分解因式时 经常要逆用幂的运算法则, 公式分解因式时, 说明:(1) 在运用立方和 差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如 8a 3 b3 = (2ab)3 , 在运用立方和(差 公式分解因式时 公式分解因式时, 这里逆用了法则 (ab) n = a n b n ;(2) 在运用立方和 差)公式分解因式时,一定要看准因式中各 项的符号。 项的符号。 分解因式: 【例 2】分解因式: (1) 3a 3 b ? 81b 4 可看作是 可看作是 (a 3 )2 ? (b3 ) 2 或 (a 2 )3 ? (b 2 )3 。 (2) a 7 ? ab 6 分析: (1) 中应先提取公因式再进一步分解; 中应先提取公因式再进一步分解; 中提取公因式后, 分析: (2) 中提取公因式后, 括号内出现 a 6 ? b 6 ,

二、分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式。 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式。而对于 用公式法分解的多项式 既没有公式可用,也没有公因式可以提取。因此, 四项以上的多项式, 四项以上的多项式,如 ma + mb + na + nb 既没有公式可用,也没有公因式可以提取。因此, 可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。 可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。分组分解法的 关键在于如何分组。 关键在于如何分组。 1.分组后能提取公因式 分解因式。 【例 3】把 2ax ? 10ay + 5by ? bx 分解因式。 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组, 的降幂排列, 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列,然 后从两组分别提出公因式 后从两组分别提出公因式 2a 与 ?b ,这时另一个因式正好都是 x ? 5 y ,这样可以继续提取公 因式。 因式。 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法。 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法。 本题也可以将一、四项为一组, 本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试。 三项为一组,同学不妨一试。 分解因式。 【例 4】把 ab(c 2 ? d 2 ) ? (a 2 ? b 2 )cd 分解因式。 分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因 分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因 式。 说明: 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组, 说明:由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法 交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律。 交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起 的作用。 的作用。 2.分组后能直接运用公式
分解因式。 【例 5】把 x 2 ? y 2 + ax + ay 分解因式。

分析: 把第一、 二项为一组, 这两项虽然没有公因式, 但可以运用平方差公式分解因式, 分析: 把第一、 二项为一组, 这两项虽然没有公因式, 但可以运用平方差公式分解因式, 把第三、 四项作为另一组, 把第三、 四项作为另一组, 在提出公因式 a 后, 另一个因式也是 x + y 。 其中一个因式是 x + y ;
210

分解因式。 【例 6】把 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 ? 8 z 2 分解因式。 分析: 提出后, 其中前三项作为一组, 分析:先将系数 2 提出后,得到 x 2 + 2 xy + y 2 ? 4 z 2 ,其中前三项作为一组,它是一个完 全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式。 全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式。 说明: 可以看出:如果一个多项式的项分组后, 说明:从例 5、例 6 可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取 公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式, 公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式 就可以分组分解法来分解因式。 就可以分组分解法来分解因式。 来分解因式 三、十字相乘法 1. x 2 + ( p + q ) x + pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: 常数项是两个数之积; (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数 之和。 之和。 x 2 + ( p + q ) x + pq = x 2 + px + qx + pq = x( x + p ) + q ( x + p ) = ( x + p )( x + q ) 因此, 因此, x 2 + ( p + q ) x + pq = ( x + p )( x + q ) 运用这个公式, 的二次三项式分解因式。 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。 把下列各式因式分解: 【例 7】把下列各式因式分解: (1) x 2 ? 7 x + 6 (2) x 2 + 13 x + 36

说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数, 说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数 的符号相同。 的符号相同。 把下列各式因式分解: 【例 8】把下列各式因式分解: (1) x 2 + 5 x ? 24 (2) x 2 ? 2 x ? 15

说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数, 说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数 与一次项系数的符号相同。 与一次项系数的符号相同。 把下列各式因式分解 式因式分解: 【例 9】把下列各式因式分解: (1) x 2 + xy ? 6 y 2 (2) ( x 2 + x)2 ? 8( x 2 + x) + 12 分析: 的二次三项式, 分析:(1) 把 x 2 + xy ? 6 y 2 看成 x 的二次三项式,这时常数项是 ?6 y 2 ,一次项系数是 y , 的积, 正好是一次项系数。 把 ?6 y 2 分解成 3 y 与 ?2 y 的积,而 3 y + (?2 y ) = y ,正好是一次项系数。 由换元思想, 可不必写出, (2) 由换元思想,只要把 x 2 + x 整体看作一个字母 a ,可不必写出,只当作分解二次三 项式 a 2 ? 8a + 12 。 2.一般二次三项式 ax 2 + bx + c 型的因式分解 大 家 知 道 , (a1 x + c1 )(a2 x + c2 ) = a1 a2 x 2 + (a1c2 + a2 c1 ) x + c1c2 . 反 过 来 , 就 得 到 :
211

a1 a2 x 2 + (a1c2 + a2 c1 ) x + c1c2 = (a1 x + c1 )(a2 x + c2 )

我们发现, 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1 a2 ,常数项 c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 ×c1 ,
a2 c2

这里按斜线交叉相乘,再相加, 这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 + a2 c1 ,如果它正好等于 ax 2 + bx + c 的一次项系 斜线交叉相乘 位于上一行, 数 b ,那么 ax 2 + bx + c 就可以分解成 (a1 x + c1 )(a2 x + c2 ) ,其中 a1 , c1 位于上一行, a2 , c2 位于下 一行。 一行。 这种借助画十字交叉线分解系数, 从而将二次三项式分解因式的方法, 叫做十字相乘法。 这种借助画十字交叉线分解系数, 从而将二次三项式分解因式的方法, 叫做十字相乘法。 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试, 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确 定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 10】把下列各式因式分解: 【例 10】把下列各式因式分解: (1) 12 x 2 ? 5 x ? 2 (2) 5 x 2 + 6 xy ? 8 y 2

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要. 时较困难,具体分解时, 说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时, 为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法” 为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否 符合一次项系数,否则用加法” 符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号。 绝对值,然后调整,添加正、负号。 四、其它因式分解的方法 1.配方法 11】 【例 11】分解因式 x 2 + 6 x ? 16 说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式, 说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式, 然后用平方差公式分解。当然,本题还有其它方法,请大家试验。 然后用平方差公式分解。当然,本题还有其它方法,请大家试验。 2.拆、添项法 12】 【例 12】分解因式 x3 ? 3 x 2 + 4 分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行. 分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一 次项, 如果它能分解成几个因式的积, 那么进行乘法运算时, 必是把一次项系数合并为 0 了, 次项, 如果它能分解成几个因式的积, 那么进行乘法运算时, 可考虑通过添项或拆项解决。 可考虑通过添项或拆项解决。 说明: 的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例, 说明:本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成 可以用公式法及提取公因式的条件。 可以用公式法及提取公因式的条件。 本题还可以将 ?3 x 2 拆成 x ? 4 x ,将多项式分成两组
2 2

( x 3 + x 2 ) 和 ?4 x 2 + 4 。

一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: 一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: 列步骤进行 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
212

如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法) (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法 (如十字相乘法 )来分 解; 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

一元二次方程根与系数的关系(一课时) 第三讲 一元二次方程根与系数的关系(一课时)
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用, 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方 程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、 程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有 着许多应用。本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。 着许多应用。本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。 二次方程根的判别式 一、一元二次方程的根的判断式 用配方法将其变形为: 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ,用配方法将其变形为: (x + b 2 b 2 ? 4ac ) = 2a 4a 2

右端是正数。因此,方程有两个不相等的实数根: (1) 当 b 2 ? 4ac > 0 时,右端是正数。因此,方程有两个不相等的实数根:

?b ± b 2 ? 4ac x= 2a
右端是零。因此,方程有两个相等的实数根: (2) 当 b 2 ? 4ac = 0 时,右端是零。因此,方程有两个相等的实数根: x1,2 = ? 右端是负数。因此,方程没有实数根。 (3) 当 b 2 ? 4ac < 0 时,右端是负数。因此,方程没有实数根。 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。因此, 由于可以用 b 2 ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。因此,把 b 2 ? 4ac 叫 的根的判别式,表示为: 做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式,表示为: ? = b 2 ? 4ac 不解方程,判断下列方程的实数根的个数: 【例 1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数: (1) 2 x 2 ? 3 x + 1 = 0 (2) 4 y 2 + 9 = 12 y (3) 5( x 2 + 3) ? 6 x = 0
b 2a

说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式。 说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式。 根据下列条件, 的范围: 根据下列条件, 分别求出 k 的范围: 【例 2】 已知关于 x 的一元二次方程 3 x 2 ? 2 x + k = 0 , 方程有两个不相等的实数根 相等的实数根; (1) 方程有两个不相等的实数根; 方程有两个相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根;

213

(3)方程有实数根; (3)方程有实数根; 方程有实数根

方程无实数根。 (4) 方程无实数根。

的值。 【例 3】已知实数 x 、 y 满足 x 2 + y 2 ? xy + 2 x ? y + 1 = 0 ,试求 x 、 y 的值。

二、一元二次方程的根与系数的关系 的两个根为: 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为:

x=
1

?b+

b

2

? 4ac

2a

,

x

= 2

?b?

b

2

? 4ac

2a

所以: 所以: x1 + x2 =

?b + b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b + =? , 2a 2a a
?b + b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac (?b)2 ? ( b 2 ? 4ac ) 2 4ac c ? = = 2 = 2a 2a a (2a)2 4a

x1 ? x2 =

定理: 那么: 定理:如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:
b c x1 + x2 = ? , x1 x2 = a a

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现, 说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此 定理称为”韦达定理” 定理称为”韦达定理”。上述定理成立的前提是 ? ≥ 0 。 的两个根,试求下列各式的值: 【例 4】若 x1 , x2 是方程 x 2 + 2 x ? 2007 = 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x12 + x2 2 ; (2)
1 1 + ; (3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ; x1 x2

(4) | x1 ? x2 | 。

分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算。 分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算。这 里,可以利用韦达定理来解答。 可以利用韦达定理来解答。

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形: 说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ,

1 1 x1 + x2 + = , ( x1 ? x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , x1 x2 x1 x2

| x1 ? x2 |= ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , x1 x2 2 + x12 x2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) ,
x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 ? 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) 等等。韦达定理体现了整体思想。 等等。韦达定理体现了整体思想。

214

【例 5】已知关于 x 的方程 x 2 ? (k + 1) x + (1) 方程两实根的积为 5; 所以要分类讨论。 所以要分类讨论。

1 2 k + 1 = 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的值。 根据下列条件, 的值。 4

(2) 方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |= x2 。

分析: 由韦达定理即可求之; 有两种可能, 分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是 x1 = x2 > 0 ,二是 ? x1 = x2 ,

说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值, 说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的 条件, 条件,即所求的字母应满足 ? ≥ 0 。 的两个实数根。 【例 6】已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx 2 ? 4kx + k + 1 = 0 的两个实数根。 3 (1)是否存在实数 成立?若存在, 的值; (1)是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) = ? 成立?若存在,求出 k 的值; 2 若不存在,请您说明理由。 若不存在,请您说明理由。 (2)求使 (2)求使

x1 x2 + ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值。 的整数值。 x2 x1

说明:(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在, 说明:(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在, 存在性问题的题型 否则即不存在。 否则即不存在。 4 本题综合性较强, 为整数的分析方法。 (2)本题综合性较强,要学会对 为整数的分析方法。 k +1

第四讲

两课时) 不 等 式(两课时)

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。 高中阶段将进一步学 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。 习一元二次不等式和分式不等式等知识。 本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知 习一元二次不等式和分式不等式等知识。 识。 一、一元二次不等式及其解法 的一元二次不等式。 1.形如 ax 2 + bx + c > 0(或 < 0) (其中a ≠ 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式。 2. 一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0(或 < 0) 与二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 及一元二 的关系(简称:三个二次) 为例: 次方程 ax 2 + bx + c = 0 的关系(简称:三个二次)。以二次函数 y = x 2 + x ? 6 为例: 作出图象; (1) 作出图象; (2) 根 据 图 象 容 易 看 到 , 图 象 与 x 轴 的 交 点 是
(?3, 0), (2, 0) ,即当 x = ?3或2 时, y = 0 。就是说对应的一元

二 次 方 。
215

方程 x + x ? 6 = 0 的两实根是 x = ?3或2 。
2

(3) 当 x < ?3或x > 2 时, y > 0 ,对应图像位于 x 轴的上

就是说 x 2 + x ? 6 > 0 的解是 x < ?3或x > 2 。 当 ?3 < x < 2 时 , y < 0 , 对 应 图 像 位 于 x 轴 的 下 方 。 就 是 说 x 2 + x ? 6 < 0 的 解 是
?3 < x < 2 。

一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: 一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: 将二次项系数先化为正数; (1) 将二次项系数先化为正数; 观测相应的二次函数图象。 (2) 观测相应的二次函数图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 , 0), ( x2 , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个 来判断) 不相等的实数根 x1 , x2 (也可由根的判别式 ? > 0 来判断)。 那么( 1): 那么(图 1): ax 2 + bx + c > 0 (a > 0) ? x < x1或x > x2
ax 2 + bx + c < 0 (a > 0) ? x1 < x < x2

②如果图 象与 x 轴 只有一个 交 点 b (? , 0) , 2a 此时对应的一元二次方程有两个 b 来判断) 相的实数根 xx = x2 = ? (也可由根的判别式 ? = 0 来判断)。 2a b 那么( 2): ax 2 + bx + c > 0 (a > 0) ? x ≠ ? 那么(图 2): 2a

ax 2 + bx + c < 0 (a > 0) ? 无解
轴没有交点, ③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由 来判断) 根的判别式 ? < 0 来判断) 。 那么( 3): 那么(图 3):

ax 2 + bx + c > 0 (a > 0) ? x 取一切实数 ax 2 + bx + c < 0 (a > 0) ? 无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话,可以按照一下步骤处理: 如果单纯的解一个一元二次不等式的话,可以按照一下步骤处理: 化二次项系数为正; (1) 化二次项系数为正; 那么“ 若二次三项式能分解成两个一次因式的积, (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根 x1 , x2 .那么“ > 0 ” 俗称两根之外) 俗称两根之间) 型的解为 x < x1或x > x2 (俗称两根之外);“ < 0 ”型的解为 x1 < x < x2 (俗称两根之间); 否则,对二次三项式进行配方, (3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax 2 + bx + c = a ( x +
216

b 2 4ac ? b 2 ) + , 2a 4a

结合完全平方式为非负数的性质求解。 结合完全平方式为非负数的性质求解。 【例 1】解不等式 x 2 + x ? 6 > 0 。 分析:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则——正正(负负)得正、 分析:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则——正正(负负)得正、 ——正正 正负得负”的原则,将其转化为一元一次不等式组。 正负得负”的原则,将其转化为一元一次不等式组。 为一元一次不等式组 说明: 的形式后, 说明:当把一元二次不等式化为 ax 2 + bx + c > 0(或 < 0) 的形式后,只要左边可以分解为两个 一次因式,即可运用本题的解法。 一次因式,即可运用本题的解法。 解下列不等式: 【例 2】解下列不等式: (1) ( x + 2)( x ? 3) < 6 解下列不等式: 【例 3】解下列不等式: (1) x 2 ? 2 x ? 8 < 0 (2) x 2 ? 4 x + 4 ≤ 0 (3) x 2 ? x + 2 < 0 (x(2) (x-1)(x+2) ≤ (x-2)(2x+1) 分析: 的形式,通常使二次项系数为正数。 分析:要先将不等式化为 ax 2 + bx + c > 0(或 < 0) 的形式,通常使二次项系数为正数。

恒为正数, 的取值范围。 【例 4】已知对于任意实数 x , kx 2 ? 2 x + k 恒为正数,求实数 k 的取值范围。 的值。 【例 5】已知关于 x 的不等式 kx 2 ? (k 2 + 1) x ? 3 < 0 的解为 ?1 < k < 3 ,求 k 的值。 分析: 且对应的二次函数的图象开口向上。 分析:对应的一元二次方程的根是 ?1 和 3 ,且对应的二次函数的图象开口向上。根据 一元二次方程根与系数的关系可以求解。 一元二次方程根与系数的关系可以求解。 说 明 : 本 例也可 以根据 方程有 两根 ?1 和 3 , 用代 入法得 : k (?1) 2 ? (k 2 + 1)(?1) ? 3 = 0 ,
k ? 32 ? 3(k 2 + 1) ? 3 = 0 ,且注意 k > 0 ,从而 k = 1 。

二、简单分式不等式的解法 解下列不等式: 【例 6】解下列不等式: 2x ? 3 <0 (1) x +1
x+3 ≥0 x ? x +1
2

(2)

分析: 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则” 分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不 等式组处理;或者因为两个数( 等式组处理;或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)乘也异号,可将分式不等式 相除异号,那么这两个数( 乘也异号, 直接转化为整式不等式求解。 直接转化为整式不等式求解。 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数。 (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数。
1 ≤3 x+2

【例 7】解不等式

217

说明: 转化为整式不等式时, 说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0。 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号: (2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:
? x > ?2 ? x < ?2 ?x + 2 > 0 ?x + 2 < 0 1 5 ? ? ≤3?? 或? ?? 含有字 5 或? 5 ? x ≥ ? 或x < ?2 三、 x+2 3 ?3( x + 2) ≥ 1 ?3( x + 2) ≤ 1 ? x ≥ ? ?x ≤ ? 3 3 ? ? 母系数的一元二次不等式 的形式。 一元一次不等式最终可以化为 ax > b (a ≠ 0) 的形式。 不等式的解为: (1) 当 a > 0 时,不等式的解为: x >

b ; a b 不等式的解为: (2) 当 a < 0 时,不等式的解为: x < ; a 不等式化为: (3) 当 a = 0 时,不等式化为: 0 ? x > b ; 则不等式无解 无解; 则不等式的解是全体实数 的解是全体实数。 ① 若 b ≥ 0 ,则不等式无解;② 若 b﹤0,则不等式的解是全体实数。
的解。 【例 8】求关于 x 的不等式 m 2 x + 2 > 2mx + m 的解。

1 的值。 【例 9】已知关于 x 的不等式 k 2 ? kx > x + 2 的解为 x > ? ,求实数 k 的值。 2
分析: 的形式, 分析:将不等式整理成 ax > b 的形式,可以考虑只有当 a > 0 时,才有形如 x > 从而令

b 的解, 的解, a

b 1 =? 。 a 2

第五讲

二次函数的最值问题( 课时) 二次函数的最值问题(一课时)

是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基础。 二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基础。在 初中阶段大家已经知道: 取任意实数时的最值情况 情况( 初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a > 0 时,函数在

b 4ac ? b 2 b x=? 处取得最小值 , 无最大值 ; 当 a < 0 时 , 函数在 x = ? 处取得最大值 2a 4a 2a 4ac ? b 2 无最小值。 ,无最小值。 4a
在某个范围内取值时 函数的最值问题。 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时,函数的最值问题。 同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。 同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。 的最大值和最小值。 【例 1】当 ?2 ≤ x ≤ 2 时,求函数 y = x 2 ? 2 x ? 3 的最大值和最小值。 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点, 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得 的值。 到函数的最大值、 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值。

218

的最大值和最小值。 【例 2】当 1 ≤ x ≤ 2 时,求函数 y = ? x 2 ? x + 1 的最大值和最小值。 的取值范围。 【例 3】当 x ≥ 0 时,求函数 y = ? x(2 ? x) 的取值范围。 【例 4】当 t ≤ x ≤ t + 1 时,求函数 y =
1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数)。 的最小值( 为常数) 2 2

分析: 的变化而变化, 分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置。 元的价格购进一种商品, 【例 5】 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品, 试销中发现这种商品每天的销售量 m (件) 与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m = 162 ? 3 x,30 ≤ x ≤ 54 。 之间的函数关系式; (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; 若商场要想每天获得最大销售利润, 每件商品的售价定为多少最合适? (2) 若商场要想每天获得最大销售利润, 每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利 润为多少? 润为多少?

第六讲

简单的二元二次方程组( 简单的二元二次方程组(一课时)

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法, 在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法,掌握了 的解法 用消元法解二元一次方程组. 中学习圆锥曲线时, 用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修 2 中学习圆锥曲线时,需要用到二元二次方程 组的解法.因此,本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法。 组的解法.因此,本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法。 含有两个未知数、 的整式方程,叫做二元二次方程。 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,叫做二元二次方程。 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 或 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 由两个二元二次方程组组成 的方程组,叫做二元二次方程组。 的方程组,叫做二元二次方程组。 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解. 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含 着转化思想:将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。 着转化思想:将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。

?2 x ? y = 0 【例 1】解方程组 ? 2 2 ?x ? y + 3 = 0

(1) (2)

分析:由于方程(1)是二元一次方程,故可由方程(1), 代入方程(2) (2)消去 分析:由于方程(1)是二元一次方程,故可由方程(1),得 y = 2 x ,代入方程(2)消去 y 。 (1)是二元一次方程 (1) 说明: 说明: 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤: (1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤: 的方程, 的方程(3) (3); ①由二元一次方程变形为用 x 表示 y 的方程,或用 y 表示 x 的方程(3); ②把方程(3)代入二元二次方程,得一个一元二次方程; 把方程(3)代入二元二次方程,得一个一元二次方程; (3)代入二元二次方程

219

③解消元后得到的一元二次方程; 解消元后得到的一元二次方程; ④把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未知 把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(3), (3) 数的值; 数的值; ⑤写出答案。 写出答案。 (2)消 应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数, (2)消 x ,还是消 y ,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数,那么最好消 去系数绝对值较小的, 再代入消元。 去系数绝对值较小的,如方程 x ? 2 y + 1 = 0 ,可以消去 x ,变形得 x = 2 y ? 1 ,再代入消元。 (3)消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的值, (3)消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的值,不能代 消元后 入二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可能产生增根,这一点切记。 入二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可能产生增根,这一点切记。 次方程求另一未知数的值 ? x + y = 11 【例 2】解方程组 ? ? xy = 28 (1) (2)

分析:本题可以用代入消元法解方程组,但注意到方程组的特点, 分析:本题可以用代入消元法解方程组,但注意到方程组的特点,可以把 x 、 y 看成是 的两根,则更容易求解。 方程 z 2 ? 11z + 28 = 0 的两根,则更容易求解。 ?x + y = a 利用一元二次方程的根与系数的关系构造 说明: ,利用一元二次方程的根与系数的关系构造 说明:(1) 对于这种对称性的方程组 ? ? xy = b 方程时, 的字母, 方程时,未知数要换成异于 x 、 y 的字母,如 z 。 ?x = 4 ?x = 7 对称形方程组的解也应是对称的, (2) 对称形方程组的解也应是对称的,即有解 ? ,则必有解 ? 。 ?y = 7 ?y = 4 二、由两个二元二次方程组成的方程组 1.可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程, 则原方程组可转化为两个方 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程, 则原方程组可转化为两个方 程组,其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。 程组,其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。
? x 2 ? y 2 = 5( x + y ) ? 【例 3】解方程组 ? 2 2 ? x + xy + y = 43 ? (1) (2)

分析: 分析 : 注意到方程 x 2 ? y 2 = 5( x + y ) , 可分解成 ( x + y )( x ? y ? 5) = 0 , 即得 x + y = 0 或
x ? y ? 5 = 0 ,则可得到两个二元二次方程组,且每个方程组中均有一个方程为二元一次方 则可得到两个二元二次方程组,

程。 说明:由两个二元二次方程组成的方程组中,有一个方程可以通过因式分解, 说明:由两个二元二次方程组成的方程组中,有一个方程可以通过因式分解,化为两个二元 一次方程,则原方程组转化为解两个方程组, 一次方程,则原方程组转化为解两个方程组,其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方 程。

220

? x 2 + xy = 12 ? 【例 4】解方程组 ? 2 ? xy + y = 4 ?

(1) (2)

分析:本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项,我们可以消去常数项, 分析:本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项,我们可以消去常数项,可得到 一个二次三项式的方程.对其因式分解, 的类型。 一个二次三项式的方程.对其因式分解,就可以转化为例 3 的类型。 说明:若方程组的两个方程均缺一次项,则消去常数项,得到一个二元二次方程. 说明:若方程组的两个方程均缺一次项,则消去常数项,得到一个二元二次方程.此方程与 原方程组中的任一个方程联立,得到一个可因式分解型的二元二次方程组。 原方程组中的任一个方程联立,得到一个可因式分解型的二元二次方程组。

? x 2 + y 2 = 26 【例 5】解方程组 ? ? xy = 5
分析: 分析:(1) +(2) ×2 得: ( x + y ) 2 = 36 解(3)、(4)可得四个二元一次方程组。 (3)、(4)可得四个二元一次方程组。 可得四个二元一次方程组

(1) (2)
(3) ,(1) -(2) ×2 得: ( x ? y )2 = 16 (4) ,分别分

? x2 + y 2 = a ? x2 + y 2 = a ?x + y = m 说明:对称型方程组, 都可以通过变形转化为 说明:对称型方程组,如 ? 、? 都可以通过变形转化为 ? 的形 ? xy = n ?x + y = b ? xy = b
式,通过构造一元二次方程求解。 通过构造一元二次方程求解。 2.可消二次项型的方程组 ? xy + x = 3 【例 6】解方程组 ? ?3 xy + y = 8 (1) (2)

分析: 所以可用加减法消之, 分析:注意到两个方程都有 xy 项,所以可用加减法消之,得到一个二元一次 方程,即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方程,即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 说明:若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例,则可用加减法消去二次项, 说明:若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例,则可用加减法消去二次项,得到一个 二元一次方程,把它与原方程组的任意一个方程联立,解此方程组,即得原方程组的解. 二元一次方程,把它与原方程组的任意一个方程联立,解此方程组,即得原方程组的解.二 方程组 元二次方程组类型多样,消元与降次是两种基本方法,具体问题具体解决。 元二次方程组类型多样,消元与降次是两种基本方法,具体问题具体解决。

第七讲

分式方程和无理方程的解法(一课时) 分式方程和无理方程的解法(一课时)

初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。 本讲将要学习可化为一元 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。 二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成 二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成 (1) 的分式方程的解法,会用”去分母” 的分式方程的解法,会用”去分母”或”换元法”求方程的根,并会验根;(2)了解无理方 换元法”求方程的根,并会验根;(2)了解无理方 程概念,掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法,会用”平方” 程概念,掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法,会用”平方”或”换元法”求根,并 换元法”求根, 会验根。 会验根。

221

一、可化为一元二次方程的分式方程 可化为一元二次方程的分式方程 1.去分母化分式方程为一元二次方程 1 4x 2 + 2 ? = 1。 【例 1】解方程 x+2 x ?4 x?2 分析:去分母,转化为整式方程。 分析:去分母,转化为整式方程。 说明: 说明: 去分母解分式方程的步骤: (1) 去分母解分式方程的步骤: 在方程两边同乘以各分式的最简公分母; ①把各分式的分母因式分解; ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母; 把各分式的分母因式分解; ③去括号,把所有项都移到左边,合并同类项; ④解一元二次方程; ⑤验根。 去括号,把所有项都移到左边,合并同类项; 解一元二次方程; 验根。 验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程计算量较大。 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程计算量较大。而分式方程可 能产生的增根, 的根。因此我们只要检验一元二次方程的根, 能产生的增根,就是使分式方程的分母为 0 的根。因此我们只要检验一元二次方程的根,是 否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 即为增根; 否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0。若为 0,即为增根;若不为 0,即为原 方程的解。 方程的解。 2.用换元法化分式方程为一元二次方程 【例 2】解方程 ( x 2 2 3x 2 ) ? ?4=0 x ?1 x ?1

分析:本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难。 分析:本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难。但注意到方程的结构 特点, 特点,设 x2 = y ,即得到一个关于 y 的一元二次方程。最后在已知 y 的值的情况下,用去 的一元二次方程。 的值的情况下, x ?1
x2 = y。 x ?1

分母的方法解方程

说明: 的值, 而没有求到原方程的解, 的值。 说明:用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值,而没有求到原方程的解,即 x 的值。 【例 3】解方程 8( x 2 + 2 x) 3( x 2 ? 1) + 2 = 11 . x2 ? 1 x + 2x

x2 + 2x x2 ? 1 分析:注意观察方程特点, 互为倒数。因此, 分析:注意观察方程特点,可以看到分式 2 与 2 互为倒数。因此, x ?1 x + 2x

可以设

x2 + 2x = y ,即可将原方程化为一个较为简单的分式方程。 即可将原方程化为一个较为简单的分式方程。 x2 ? 1

说明:解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程, 说明:解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程,体现 了化归思想. 了化归思想. 二、可化为一元二次方程的无理方程
222

根号下含有未知数的方程,叫做无理方程. 根号下含有未知数的方程,叫做无理方程. 1.平方法解无理方程 【例 4】解方程 x + 7 ? x =1 分析:移项、平方,转化为有理方程求解. 分析:移项、平方,转化为有理方程求解. 说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤: 说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤: 移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边; ①移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边;② 两边同时平方,得到一个整式方程; 解整式方程; 验根. 两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根. 【例 5】解方程 3x ? 2 + x + 3 = 3 分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方, 分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例的模 的方法解方程. 式,再用例 4 的方法解方程. 说明:含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤: 说明:含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式;②两边平方,得到含未知数的 移项,使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式; 两边平方, 二次根式恰有一个的无理方程; 的说明. 二次根式恰有一个的无理方程;③一下步骤同例 4 的说明. 2.换元法解无理方程 【例 6】解方程 3x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2 分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大. 分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察方程中含未知 数的二次根式与其余有理式的关系,可以发现: 因此, 数的二次根式与其余有理式的关系,可以发现: 3 x 2 + 15 x + 3 = 3( x 2 + 5 x + 1) .因此,可以设 x 2 + 5 x + 1 = y ,这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理. 的一元二次方程处理. 说明:解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程, 说明:解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,体现了 化归思想. 化归思想.

第八讲

直线、平面与常见立体图形(一课时) 直线、平面与常见立体图形(一课时)

正方体有多少个面 多少条棱?多少个顶点?多少对平行棱? 有多少个面? 【例 1】正方体有多少个面?多少条棱?多少个顶点?多少对平行棱? 【例 2】① 正四面体棱长为 2,则表面积为 积为 积为 ;体积为 ;表面积为 。 ;② 圆锥半径和高都是 1,则表面

的正方形, 。③ 圆柱的一个轴截面是边长为 2 的正方形,则圆柱的体

画图表示三个平面两两相交的几种情 种情形 【例 3】画图表示三个平面两两相交的几种情形。

223

一个正方体的截面可以是正三角形、长方形、正六边形吗?为什么? 【例 4】一个正方体的截面可以是正三角形、长方形、正六边形吗?为什么?

直线与圆,圆与圆的位置关系(一课时) 第九讲 直线与圆,圆与圆的位置关系(一课时)
的圆, 的位置关系? 设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆,怎样判断直线 l 和圆 O 的位置关系?

图 3.3-1

3.3- 不难发现直线与圆的位置关系为: 观察图 3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为:当圆心到直线的距离 d > r 时,直线和圆 直线和圆相切,如圆O 相离, 相离,如圆 O 与直线 l1 ;当圆心到直线的距离 d = r 时,直线和圆相切,如圆 与直线 l2 ;当圆 直线和圆相交, 心到直线的距离 d < r 时,直线和圆相交,如圆 O 与直线 l3 。 在直线与圆相交时,设两个交点分别为 在直线与圆相交时,设两个交点分别为 A、B.若直 为直径;若直线不经过圆心, 3.3心,则 AB 为直径;若直线不经过圆心,如图 3.3-2,连 弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直于这条弦 AB , 且在
OA 为圆的半径 r , OM 为圆心到直线的距离 d , MA 为

线 经 过 圆 结圆心 O 和 Rt ? OMA 中, 弦 长 AB 的
图 3.3-2

一半,根据勾股定理, 一半,根据勾股定理,有
AB 2 r - d = ( ) 。 2
2 2

当直线与圆相切时, 3.3当直线与圆相切时,如图 3.3-3, PA, PB 为圆 O 的 得 PA = PB , OA ⊥ PA. , 且 在 Rt ? POA 中 ,
PO 2 = PA2 + OA2 。

切线, 切线 ,可

图 3.3-3 图 3.3-3

3.3的切线, 的割线, 如图 3.3-4, PT 为圆 O 的切线, PAB 为圆 O 的割线, PTB, 证得 ? PAT ~ ? PTB,因而 PT 2 = PA ? PB 。

我们可以

224

图 3.3-4 图 3.3-4

3.3已知⊙ =5cm, 【 例 1 】 如图 3.3-5 , 已知 ⊙ O 的半径 OB=5cm , 弦 的中点, 的长度。 弧 AB 的中点,求弦 BD 的长度。

AB=6cm , D 是 =6cm,

图 3.3-5

3.3【例 2】如图 3.3-6,已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 4 6 ,且这两条线的距离 求这个圆的半径。 为 3。求这个圆的半径。

图 3.3-6

它们可能有哪几种位置关系? 设圆 O1 与圆 O2 半径分别为 R, r ( R ≥ r ) ,它们可能有哪几种位置关系?

图 3.3-7

3.3不难发现: 两圆相内切, 观察图 3.3-7,两圆的圆心距为 O1O2 ,不难发现:当 O1O2 = R ? r 时,两圆相内切,如图 ;当 两圆相外切,如图( ; ;当 两圆相内含,如图( ; (1) 当 O1O2 = R + r 时,两圆相外切,如图(2) 当 O1O2 < R ? r 时,两圆相内含,如图(3) ; 两圆相交,如图( ; ;当 两圆相外切,如图( 。 当 R ? r ≤ O1O2 ≤ R + r 时,两圆相交,如图(4) 当 O1O2 > R + r 时,两圆相外切,如图(5) 3.3【例 3】如图 3.3-8,设圆 O1 与圆 O2 的半径分别为 3 和 2, O1O2 = 4 , A, B 为两圆的交 的长度。 点,试求两圆的公共弦 AB 的长度。

225

图 3.3-8

1.如图 3.317cm, =30cm, 1.如图 3.3-9,⊙O 的半径为 17cm,弦 AB=30cm,AB 所对的劣 的长。 弧和优弧的中点分别为 D、C,求弦 AC 和 BD 的长。 2.已知四边形 的内接梯形, AB AB 2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形, //CD, =8cm,CD=6cm, 5cm, 的面积。 径等于 5cm,求梯形 ABCD 的面积。 ⊙O 的半

图 3.3-9

3.33. 如 图 3.3-10 , ⊙ O 的 直 径 AB 和 弦 CD 相 交 于 点 E , AE = 1cm, EB = 5cm, ∠DEB = 60o , 求 CD 的长。 的长。

图 3.3-10

13,试求两圆的公切线的长度。 4.若两圆的半径分别为 3 和 8,圆心距为 13,试求两圆的公切线的长度。

226


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