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2013年陕西省高考文科数学试题


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科数学 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M, 则 CR M 为 (A) (-∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (??,1] (D) [1, ??)

2. 已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于 (A) ? 2 (B)
2

(C) ? 2 或 2

(D) 0

3. 设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是
logc b ? logc a (A) loga b· loga a ? loga b (B) loga b·

(C) loga (bc) ? loga b oga c

(D) loga (b ? c) ? loga b ? loga c

4. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61

输入 x If x≤50 Then y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x-50) End If 输出 y

5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产 品长度在区间 [20,25) 上的为一等品 , 在区间 [15,20) 和区间 [25,30) 上的为二等品 , 在区间 [10,15) 和 [30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 z 2 ? 0 , 则 z 是实数 是虚数 (C) 若 z 是虚数, 则 z 2 ? 0 则 z2 ? 0 7. 若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 (A) -6 (B) -2 (C) 0 (D) 2 8. 已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 9. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] (C) [2x] = -[x] = 2[x] (B) [x +
1 ] 2 1 2

(B) 若 z 2 ? 0 , 则 z

(D) 若 z 是纯虚数,

= [x]

(D) [ x] ? [ x ? ] ? [2x]

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 9

. .
x 40m

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 13. 观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

40m

… 照此规律, 第 n 个等式可为 . 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为 (m). 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 设 a, b∈R, |a-b|>2, 则关于实数 x 的不等式 | x ? a | ? | x ? b |? 2 的解集是 .

B. (几何证明选做题) 如图, AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已 C 知 ?A ? ?C , PD = 2DA = 2, 则 PE = .
B

? x ? t2 C. ( 坐标系与参数方程选做题 ) 圆锥曲线 ? (t 为参数 ) 的焦点坐标 ? y ? 2t

D P E

A

是 . 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)
b. 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

1 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.
? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ? ?0, 2 ? 上的最大值和最小值. ? ? 17. (本小题满分 12 分)

?

设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式;
1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比数列. 1? q

(Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ?

18. (本小题满分 12 分) 如图 , 四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O ⊥平面 ABCD,
AB ? AA1 ? 2 .

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1;

(Ⅱ) 求 三 棱 柱 ABD - A1B1D1 的 体 积 .
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大 众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 5 10 15 15 5 0 0 0 0 0 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 5 10 15 15 5 0 0 0 0 0 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的评委中 分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 20. (本小题满分 13 分) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
1 2 a?b? f (b) ? f (a) (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ? ?与 b?a ? 2 ?

(Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? x2 ? x ? 1 有唯一公共点.


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