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福建省光泽第一中学2014高中数学教师论文 数学史的教学价值

福建省光泽第一中学 2014 高中数学教师论文 数学史的教学价值
数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,及其与社会政治、经济和一 般文化的联系。数学是人类文明的一个重要组成部分,几千年来人类智慧的结晶。1972 年, 在第二届国际数学教育大会(ICMC)成立了“数学史与数学教育关系国际研究小组” ( The International Study Group on the Relationship between History and Pedagogy of Mathematics, 简称 HPM) , 标志着数学史与数学教育关系作为一个新的研究领域的出现。 HMP 研究的目 标是结合数学史与数学教学,以便提升数学教育的成效。它与国际数学教育会议 (ICMC)同步,每四年举办一次国际性大型研讨会。 那么数学史对数学教育的意义有什么意义?它在当前的数学教学改革中应该发挥怎样的作 用? 当前正在我国推进的基础教育改革采取了一系列的措施,加强数学史和数学文化的教育。 2003 年颁布的《普通高中数学课程标准(实验) 》前言部分“二.课程的基本理念”第 8 条 “体现数学的文化价值” ,其中指出: “数学是人类文化的重要组成部分,数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,数 学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的 思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明 发展中的作用,逐步形成争取到数学观。为此,高中数学课程提倡数学的文化价值,并在适 当的内容中提出‘数学文化’的学习要求,设立‘数学史选讲’等专题。 ” 本文结合数学教学中的案例探讨数学史在数学教学中的意义和作用,从而理解数学的本质、 促进数学活动过程教学、培养数学探索创新精神等方面进行了论述。 二、数学史在数学教学中的作用 1. 数学史具有培养学生数学创造性思维能力的价值 进入 21 世纪,数学教育界谈论最多的是如 何培养学生的数学创造思维能力。米山国藏在 分析致力于发现发明的数学精神时认为: “整个数学几乎全部都是研究精神的产物,致力于 发明发现的精神的产物。不能触及到研究的精神,不知道发明、发现的着眼点、方针、法则 等,就不可能培养具有创见性的头脑。 ”弗赖登塔尔反复强调: “学习数学的唯一正确方法是 进行‘再创造’ ,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来;教师的任务是引 导和帮助学生去进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生。 ”因此,学习数 学首先要培养创新精神。数学史是数学概念、数学结构、数学关系的扬弃、发展和创新的结 果。 古希腊,毕达哥拉斯学派相信“万物皆数” ,即宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之 比。但学派成员希帕苏斯(Hipasus,公元前 470 念左右)首先发现:边长为 1 的正方形的 对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能 表示的。希帕苏斯因触犯学派的信条被抛进 大海。 这事例显示出数学的批判思维和批判精神不接受任何未经检验的理论, 也不承认有绝 对正确的理论, 即使是哪些已被证明比较成熟的理论, 也不应成为束缚甚至禁锢思想的教条, 而应作为进一步探索研究的指南和起点。反驳旧思想,提出新问题,引出新成果,正是数学 创造性、探索性本质上的表现,也是衡量数学成果是否先进、有无价值的尺度。 2.数学史具有挖掘数学思想方法,提高学生解决问题能力的价值 数学教育的根本目的在于培养学生数学能力, 即运用数学解决实际问题和进行发明创造的能 力, 而这种能力, 不仅表现在对数学知识的记忆, 而且更主要地反映在数学思想方法的素养。 米山国藏曾指出: “学生们在初中、高中接受的数学知识,因毕业进入社会后几乎没有什么 机会应用这种作为知识的数学,所以通常是出校门后不到一两年,很快就忘掉了。然而,不 管他们从事什么业务工作,只有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究

方法、推理方法和着眼点,却随时随地发生作用,使他们受益终身。 ” 数学的发展,主要是数学思想的发展,美国数学史家 M.克莱因将其数学史名著取名为《古 今数学思想》正是为了表达这一观点。英国数学史家丹皮尔说: “再没有什么故事能比科学 思想发展的故事更有魅力了。 ”所以,数学史是学习数学思想方法最好的素材了。例如,解 决数学问题的一般方法——化归方法。 “化归”是转化和归结的简称,其基本思想:人们在 解决数学问题时,常常将待解决的问题 A 通过某种转化手段,归结为另一个问题 B,而问题 B 是相对容易解决或已有固定解决的问题,且通过对问题 B 的解决可得原问题 A 的解答。在 历史上,欧几里得的《几何原本》对命题所作的巧妙选择和合乎逻辑的安排可谓是化归思想 方法的出色应用, 他把每一个命题安排为前面某些命题的演绎推理的结论, 而这些作为演绎 推理前提的命题则又是它前面的命题演绎推理所得到, 如此, 将所有当时已知命题的证明归 结为某几个简单命题的推证, 最后分析这些简单命题的特征而选作公理, 从而使得几何变成 一个严密的理论体系。 3.数学史具有激发学习兴趣的价值 1972 年 8 月 24 日美国数学家魏尔德(R.L.Wilder)在全美数学教师协会(NCTM)大会 演讲中称: 大家都知道一项最困难的问题是学生自认为对数学没有任何需要, 愤恨被迫学习 数学。 假如他能够精神自主的话就不要学习数学。 这里魏尔德的演讲反映了中学生数学学习 动机的缺失。动机是激励人、推动人去行动的一种力量,从心理 学的观点上讲,动机可以 分为两个部分,人的好奇心、求知欲、兴趣、爱好构成了有利于创造的内部动机;社会责任 感构成了有利于创造的外部动机。而兴趣是最好的动机。布鲁纳说: “学习的最好刺激,乃 是对所学材料的兴趣。 ”而日本中学生在夺取国际 IEA(国际教育成就评价会)调查总分第 一名的同时, 却发现日本学生不喜欢数学的比例也是第一, 这说明他们取得的好成绩是在社 会、学校、家长的压力下获得的。我国一个关于《高中生学习数学情况调查》也发现“我不 喜欢数学,但为了高考,我必须学好数学”的学生占被调查的比例高达 62.21%,而对数学 “很感兴趣”的只有 23.12%。 美国学者 Bidwell 曾给传统的数学课堂打了这样的比喻: “在课堂里,我们常常这样看 待数学,好像我们是在一个孤岛上学习似的。我们每天一次去岛上学习数学,埋头钻进一个 纯粹的、洁净的、逻辑上可靠的、只有清晰线条而没有肮脏角落的书房。学生们觉得数学是 封闭的、呆板的、冰冷无情的、一切都已发现好了的。 ” 数学史是教育指南针。教师可以利用数学史挖掘生动的教学素材,对所学的数学内容进行 加工处理,会使数学课变成很有兴趣的一种探索。 数学史中有很多能够培养学生学习数学兴趣的内容。首先与数学有关的游戏。例如,巧拿火 柴棒、幻方、商人过河问题等,它们都有很强的操作性,可以在课堂上或课后研究都可以起 到很好的效果。其次是历史上的一些数学名题,例如,七桥问题、哥德巴赫猜想等。许多历 史名题的提出与解决与大数学家有关。 学生在探索解决这类问题时感到本人正在探索曾经被 大数学家探索过的问题,学生会有一种智力的挑战,也会从中获得成功的感受,这无疑可以 培养他们的自信心等一系列的积极情感与体验。 4.数学史具有培养美学价值 进行数学创造的最主要的驱策力是对美的追求。 哲学家和数学家罗素从现代数学角度对 数学的美曾直言不讳地说: “数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也有至高无上的 美——正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种 美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰, 它可以纯净到崇高的地步, 能够达到严格的只有最伟 大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神,一种精神上的亢奋,一种觉 得高于人的意识——这些是至善至美的标准,能够在诗里得到,也能够在数学里得到。 ” 数学美在早期数学中就产生了萌芽。 古希腊的毕达哥拉斯学派首先提出 “美是和谐与比例的

合度”的观点,最早根据数与数的比例论述美及美的形式,认为美与事物形式所表现出来的 均衡、对称、和谐、多样统一分不开。欧几里得是数学演绎美与严谨美的鼻祖,他的《几何 原本》可以说是数学著作中的美学典范。他把丰富多彩的几何知识按公理系统方式安排,使 得反映多种几何事实的公理、 定理都能用论证串联起来, 组成一个井井有条的统一的有机整 体,给人以多样统 一的形态美的享受。 数学美贯穿于数学科学发展历史的始终, 因此有效利用数学史, 可以引导学生领悟数学 美。教师应该从数学史中挖掘数学家的美学思想,要善于展示数学美的光环,引导学生采摘 美的花朵,体验美的享受,培养学生的审美能力,使学生在接受数学知识的过程中受到美的 陶冶。 5.数学史具有培养爱国情操的价值 中国人在世界数学发展进程中,做出了伟大的贡献。历史上出现了刘徽、祖冲之父子、秦九 韶、杨辉等著名数学家及《九章算术》 、 《数书九章》 、 《测圆海镜》等名著,创造了许多世界 一流的成果。中国数学典籍《九章算术》形成了以计算为中心的机械化算法体系与《欧几里 得》 几何原本的公理化演绎体系成为世界数学的两大支柱。 针对一些教学内容, 如勾股定理、 圆周率Π 、刘徽割圆术、杨辉三角等,应以切实的史料去丰富他们,使学生为我们历史悠久 和曾经有过的许多成就而感到自豪。 而我们的数学教材一直缺少数学史方面的内容, 许多学 生读完小学、中学的课程,却连几个著名数学家也不知道,不清楚数学悠久、辉煌而曲折的 发展史,也不了解现代数学最新的发展情况。正如李元数教授所说,我们现在学习一点中国 数学史,并不是钻牛角尖去考证: “我的本家以前是还是怎么样这么样”重要的是不要数典 忘祖,被外国的权威误导以为以前我们样样不如人。知道我们祖先的成就,再学习一些先进 方法,想念在“戒骄戒躁、不亢不卑”的作风下定能迅速成长。 6.有助于提高教师的数学素养的价值 教师都有这样的经验:学生如果知道知识的来龙去脉,那么就能较好地掌握知识。 “数学是 一个学习如何合情推理的好科学” 。实际上,许多教师自己对数学不感兴趣为学生而学,缺 乏背景了解,以致于无法在课堂上得心应手地展现数学史的教学活动。作为数学教师,不仅 要透彻地了解所教的那一部分知识, 而且还要从客观上人是数学知识的产生与发展, 这就是 知其所以然,从而能教其所以然。 数学教师应研究具体的个人, 数学家是数学发展的主体力量, 他们的成果与思想方法产生了 持久且深刻的影响, 他们在数学研究中的思维活动经验, 对于教师理解学生的数学思维过程, 具有极大的启发性。 三、基于数学史的数学活动教学设计 将数学教学看成数学活动教学的数学教学观念, 来源于数学观的转变, 即将数学看成是 一种绝对真理的静态数学观向着承认数学是人类的一种经验或拟经验活动的动态数学观转 变。在这一理念的指引下,出现了“在做中学” 、 “数学化过程教学”等以学 生自主参与活 动为特征的“数学活动过程教学” 。 基于数学史的数学活动教学的要求 专业知识与历史知识总是互补的。 就是说, 不仅研究学习历史需要具备一定的专业知识, 而且学习专业知识也同样需要用历史知识帮助分析和思考。数学史是数学教学的指南针, , 是学习数学、认识数学的工具。教师要在教学中有效发挥数学史的教学价值。 1.教师应该在课前做好充分准备,深入研究数学知识,弄清相关的概念、定理、公理 、公 式的数学史知识 2.数学史知识源远流长,教师应该根据学生的现有的认知水平和特点,适当选材,找出其中 的重点和难点,利用数学史知识帮助学生理解。 3.研究数学教学目标,制定合理的教学方法和过程。确定哪些知识需要数学史的帮助,在何

时穿插教学才更适当。正确把握好数学史和课堂教学的主次,引导学生更好的学习。 4.数学史是人类智慧的结晶, 教师在给学生讲解数学史知识时应当力求简单通俗, 使学生易 于接受。 5.引导学生阅读课外读物, 开阔学生眼界, 启发和引导学生进行正确阅读, 使学生受益终身。 四、基于数学史的数学活动教学设计案例 学习者的特征分析: 本节课的教学对象是高中一年级的学生,他们的知识结构里还没有形成“数学感” ,虽然刚 刚学习了等差数列和等比数列,对其性质有一定掌握 ,对函数、方程思想有一定理解,但 他们问题解决以及小组合作能力不强,对知识缺乏独立的见解。 学习需要分析: 1.教学目标: (1)知识和技能目标:掌握等比数列前 n 项和公式,能较熟练应用等比数列前 n 项和公式 求和。 (2)过程与方法目标:经历公式的推导过程,掌握错位相消法法,体验从特殊到一般的研 究方法,学会观察、归纳、反思。 (3)情感、态度与价值观目标:获得发现的成就感,逐步养成科学严谨的学习态度,提高 数学推理的能力。 2.教学重点: ①等比数列的前 n 项和公式的推导思路的获得;②等比数列前 n 项和公式的应用。 3.教学难点: ①等比数列前 n 项和公式的推导思路的获得;②等比数列前 n 项和公式的应用。 4.教法分析: 教学过程分为问题呈现阶段、 探索与发现阶段、 定理证明阶段、 应用知识阶段。 探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介绍“错位相消法”求和,无疑就像波 利亚所说的“帽子里跳出来的兔子” ,所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫,启发学生 获得公式的推导方法。 定理证明阶段中融入数学史,介绍欧几里德《几何原本》中利用合比定理证明等比数列前 n 项和公式。在教学中介绍古人的证明方法,锻炼学生的发散思维,促进学生对数学定理的理 解与掌握。 5.教学设计过程: 问题情境 古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上 了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说: “就在 这个棋盘上放上一些麦粒吧,第一个格放 1 粒,第二个格放 2 粒,第三个格放 4 粒,然后是 8 粒,16 粒......一直到第六十四个格。 ” “你真傻!就要这么一点麦粒?”国王哈哈大笑。 大臣说: “就怕您的国库粒没有这么多麦粒! ” 你知道棋盘上一共放多少麦粒才能满足大臣的要求吗? 1,2,4,8,16......构成了一个等比数列。要求一共放多少麦粒,也就是要求该等比数列 前 64 项的和。 那么,怎么来求该等比数列的前 64 项的和呢?(让学生带着疑问进入下一阶段的学习) 探索发现 等比数列:1,2,4,8,......的和即

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? ... ? 263



如果对等式①两边同时乘以 2,会产生什么情况?

2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? ... ? 264
②-①,得到



S64 ? 264 ?1 ? 18446744073709600000 (粒)

1000 粒小麦约 40 克,18446744073709600000 粒小麦约合 737869762968 吨小麦。若将这些 铺在地面上,可讲整个地球表面铺上 3 厘米厚,国王怎么能满足大臣的要求呢? 对于一般情形,我们设等比数列的首项为

a1 ,公比为 q,则其前 n 项和


Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
由学生讨论得出结果

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ... ? a1qn?1

将等式③两边同乘以公比 q,则有

qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ... ? a1qn
④-③,得到



? q ?1? Sn ? a1qn ? a1



Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q
(1)此即为等比数列的前 n 项和公式

结合等比数列的通项公式,可得 到

Sn ?

a1 ? an q 1? q

(2)

要求学生思考:在上述公式中, ,那么等比数列的公比 q 为 1,则会出现什么情形?又如何 求它的前 n 项呢? 学生们讨论得出结果

a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a

此时, (设为 a) ,也就说,这一数列的每一项都相同,我们称之为常数数列,它的前 n 项和

Sn ? na
教师穿插入历史中的等比数列 《九章算 术》中的第三章“衰分”章第二题:今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。 羊主曰: “我羊食半马“。马主曰: ”我马食半牛“。今欲衰偿之,问各出几何。 术曰:置牛四、马二、羊一,各自为列衰,副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得 一斗。 上述问题实质是,已知等比数列的项数、公比及各项之和,求各项。由于公比是 2,而

1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 1
《孙子算法》卷下一题: “今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽, 禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何。 ” 题中的堤、木、枝、巢、禽、雏、毛、色的数目构成一个等比数列。 1410 年,意大利数学家贝尔达曼迪(Prosdocimode Beldamandi,1370-1428)在《整数算法》 中给出如下的等比数列求和公式:

a ? aq ? aq 2 ? ...aq n?1 ? aq n?1 ?
此公式就是:

aq n?1 ? a q ?1

a ? aq ? aq 2 ? ... ? aq n?2 ?

aq n?1 ? a q ? 1 ,这与现代公式一样
Sn ? qaq n?1 ? a q ?1
n ?1

1484 年,法国数学家休盖给出等比数列求和公式:

1544 年,德国数学家斯蒂菲尔则给出如下的公式:

Sn

? qaq ?

? a? a
,而后德国数学家

aq ? a

克拉维斯和英国数学家沃利斯都分别给出等比数列的求和公式。 五、结束语 在我国,老一辈数学家余介石等人曾受 F.克莱因的深刻影响,主张: “历史之于教学,不仅 在名师大家之遗言轶事,足生后学高山仰止之思,收闻风兴起之效。更可指示基本概念之有 机发展情形,与夫心理及逻辑程序,如何得以融和调剂,不至相背,反可相成,诚为教师最 宜留意体会之一事也。 ”显然,这样的主张在新时代仍具有很深的意义。数学是一门广阔而 又深刻的知识领域, 如何既准确又生动地把数学史与数学教学有机结合起来,还需要进一 步加强对数学史的学习。将数学发展史有计划、有目的、和谐地与数学教学活动进行整合是 数学教学中一项细致、 深入而系统的工作, 决非将一个数学家的故事放到某一个教学内容的 后面那么简单,数学史要与教学内容在思想、观念上,从整体上、技术上保持一致性和完整 性。

[7]汪晓勤、林永伟.古为今用:美国学者眼中数学史的教育 价值[J].2004