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2.1 直线与方程典型习题


§ 2.1 直线与方程典型习题
一、选择题 1.若直线过点(1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是 A.30° C.60° B.45° D.90° ( ) ( )

2.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a 为 A.-3 3 C.- 2 B.-6 2 D. 3

1 3. 若经过点(3, a)、 (-2,0)的直线与经过点(3, -4)且斜率为 的直线垂直, 则 a 的值为 2 5 A. 2 2 B. 5 C.10 D.-10 (

(

)

4.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

)

5.实数 x,y 满足方程 x+y-4=0,则 x2+y2 的最小值为 A.4 C.8 B.6 D.12

(

)

6.点 M(1,2)与直线 l:2x-4y+3=0 的位置关系是 A.M∈l C.重合 B.M?l D.不确定

(

)

7.直线 mx+ny-1=0 同时过第一、三、四象限的条件是 A.mn>0 C.m>0,n<0 B.mn<0 D.m<0,n<0

(

)

8.若点 A(-2,-3),B(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取 值范围是 3 4 A.k≤ 或 k≥ 4 3 3 4 C. ≤k≤ 4 3 4 3 B.k≤- 或 k≥- 3 4 4 3 D.- ≤k≤- 3 4 ( )

9.已知直线 l1:ax+4y-2=0 与直线 l2:2x-5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,c),则 a+b +c 的值为 ( )

A.-4 C.0

B.20 D.24 ( )

10.过点 P(0,1)且和 A(3,3),B(5,-1)距离相等的直线的方程是 A.y=1 C.y=1 或 2x+y-1=0 B.2x+y-1=0 D.2x+y-1=0 或 2x+y+1=0

11.直线 mx+ny+3=0 在 y 轴上的截距为-3,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3倾斜角 的 2 倍,则 A.m=- 3,n=1 C.m= 3,n=-3 B.m=- 3,n=-3 D.m= 3,n=1 ( )

7? 12.过点 A? ?0,3?与 B(7,0)的直线 l1 与过点(2,1),(3,k+1)的直线 l2 和两坐标轴围成的四边 形内接于一个圆,则实数 k 等于 A.-3 C.-6 二、填空题 13.若 O(0,0),A(4,-1)两点到直线 ax+a2y+6=0 的距离相等,则实数 a=________. 14.甲船在某港口的东 50 km,北 30 km 处,乙船在同一港口的东 14 km,南 18 km 处,那 么甲、乙两船的距离是________. 15.已知直线 l 与直线 y=1,x-y-7=0 分别相交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),那么直线 l 的斜率为________. y 16.已知实数 x,y 满足 y=-2x+8,当 2≤x≤3 时,则 的最大值为________. x 三、解答题 17.已知点 M 是直线 l: 3x-y+3=0 与 x 轴的交点,将直线 l 绕点 M 旋转 30° ,求所得到 的直线 l′的方程. B.3 D.6 ( )

18.求直线 l1:2x+y-4=0 关于直线 l:3x+4y-1=0 对称的直线 l2 的方程.

19.在△ABC 中,已知 A(5,-2)、B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程.

20.如图,已知△ABC 中 A(-8,2),AB 边上的中线 CE 所在直线的方程为 x+2y-5=0,AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x-5y+8=0,求直线 BC 的方程.

21.光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射光线所在的 直线方程.

22.某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓, 问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到 1 m2).

参考答案: 一、选择题

1.答案 A 2+ 3-2 3 解析 利用斜率公式 k= = =tan θ,可求倾斜角为 30° . 3 4-1 2.答案 B a 2 2 解析 当两直线平行时有关系 = ≠ ,可求得 a=-6. 3 -1 -2 3.答案 D a-0 解析 ∵ =-2,∴a=-10. 3-?-2? 4.答案 A 解析 ∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行, 1 ∴所求直线斜率 k= ,排除 C、D. 2 又直线过点(1,0),排除 B,故选 A. 5.答案 C 解析 令 t=x2+y2,则 t 表示直线上的点到原点距离的平方,所以 tmin=8. 6.答案 B 解析 ∵2×1-4×2+3≠0, ∴M?l. 7.答案 C 解析 由题意知,直线与 x 轴不垂直, m 1 m 1 故 n≠0.直线方程化为 y=- x+ ,则- >0,且 <0,即 m>0,n<0. n n n n

8.

答案 C 解析 4 3 3 4 (如图)计算得:kPA= ,kPB= ,由题意得 ≤k≤ . 3 4 4 3

9.答案 A 解析 垂足(1,c)是两直线的交点,且 l1⊥l2, a2 故- · =-1, 45 ∴a=10.l:10x+4y-2=0. 将(1,c)代入,得 c=-2; 将(1,-2)代入 l2:得 b=-12. 则 a+b+c=10+(-12)+(-2)=-4. 10.答案 C 解析 ①所求直线平行于 AB, ∵kAB=-2,∴其方程为 y=-2x+1,即 2x+y-1=0. ②所求直线过线段 AB 的中点 M(4,1) ∴所求直线方程为 y=1. 11.答案 D 3 m 解析 依题意得- =-3,- =tan 120° =- 3,∴m= 3,n=1.故选 D. n n 12.答案 B 1 解析 由题意知 l1⊥l2,∴kl1· kl2=-1. 即- k=-1,k=3. 3 二、填空题 13.答案 -2 或 4 或 6 解析 由题意得 |4a-a2+6| 6 = ,即 4a-a2+6=± 6, a2+a4 a2+a4 检验得 a=0 不合题意,

解之得 a=0 或-2 或 4 或 6.

所以 a=-2 或 4 或 6. 故填-2 或 4 或 6. 14.答案 60 km 解析 以港口为坐标原点建立直角坐标系.则甲船位置为(50,30),乙船

的位置为(14,-18),甲、乙两船的距离为 ?50-14?2+?30+18?2=60 (km). 2 15.答案 - 3

解析 设 P(x,1),则 Q(2-x,-3),将 Q 坐标代入 x-y-7=0 得,2-x+3-7=0. 2 ∴x=-2,∴P(-2,1),∴kl=- . 3 16.答案 2 解析 y y-0 = 其意义表示点(x,y)与原点连线的直线的斜率. x x-0

点(x,y)满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,则点(x,y)在线段 AB 上,并且 A、B 两点的坐标 分别为 A(2,4),B(3,2),如图所示.

2 则 kOA=2,kOB= . 3 三、解答题

y 所以得 的最大值为 2. x

17.解 在 3x-y+3=0 中,令 y=0,得 x=- 3,即 M(- 3,0). ∵直线 l 的斜率 k= 3, ∴其倾斜角 θ=60° .若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30° , 则直线 l′的倾斜角为 60° +30° =90° ,此时斜率不存在, 故其方程为 x=- 3. 若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30° ,则直线 l′的倾斜角为 60° -30° =30° ,此时斜率为 tan 30° = 3 , 3 3 (x+ 3),即 x- 3y+ 3=0. 3

故其方程为 y=

综上所述,所求直线方程为 x+ 3=0 或 x- 3y+ 3=0. 18.解 设直线 l2 上的动点 P(x,y),直线 l1 上的点 Q(x0,4-2x0),且 P、Q 两点关于直线 l: 3x+4y-1=0 对称,则有 |3x+4y-1| |3x +4?4-2x ?-1| , ? 5 ? 5 = ?y-?4-2x ? 4 ? x-x =3. ?
0 0 0 0

消去 x0,得 2x+11y+16=0 或 2x+y-4=0(舍). ∴直线 l2 的方程为 2x+11y+16=0. 19.解 (1)设 C(x0,y0),则 AC 中点 M? 5+x0 y0-2? ? 2 , 2 ?,

BC 中点 N?

7+x0 y0+3? ? 2 , 2 ?.

∵M 在 y 轴上, ∴ 5+x0 =0,x0=-5. 2

∵N 在 x 轴上, ∴ y0+3 =0,y0=-3,即 C(-5,-3). 2

5? (2)∵M? ?0,-2?,N(1,0). x y ∴直线 MN 的方程为 + =1. 1 5 - 2 即 5x-2y-5=0.

20.解 设 B(x0,y0),则 AB 中点 E 的坐标为?

x0-8 y0+2? ? 2 , 2 ?,

2x -5y0+8=0 ? ?2x0-5y0+8=0 ? 0 ? 由条件可得:?x0-8 ,得? , y0+2 ?x0+2y0-14=0 ? +2· -5=0 ? 2 ? 2
?x0=6 ? 解得? ,即 B(6,4),同理可求得 C 点的坐标为(5,0). ? ?y0=4

y-0 x-5 故所求直线 BC 的方程为 = ,即 4x-y-20=0. 4-0 6-5
?x-2y+5=0, ? 21.解 方法一 由? ? ?3x-2y+7=0, ? ?x=-1, 得? ?y=2. ?

∴反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0,y0), 2 y0 由 PP′⊥l 可知,kPP′=- = . 3 x0+5 而 PP′的中点 Q 的坐标为?
0? ? 2 , 2 ?,

x0-5 y

x0-5 y0 Q 点在 l 上,∴3· -2· +7=0. 2 2

?x +5=-3, 由? 3 ?2?x -5?-y +7=0.
0 0 0

y0

2

?x =-13, 得? 32 ?y =-13.
0 0

17

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33=0. 方法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y), 则 y0-y 2 =- , 3 x0-x x+x0 y+y0? ? 2 , 2 ?在 l 上,

又 PP′的中点 Q?

x+x0 y+y0 ∴3× -2× +7=0, 2 2

y -y 2 ? ?x -x=-3, 由? x+x ? ?3× 2 -?y+y ?+7=0.
0 0 0 0

可 得 P 点 的 坐 标 为 x0 =

-5x+12y-42 , y0 = 13

12x+5y+28 ,代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, 13 ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0. 22.解 在线段 AB 上任取一点 P,分别向 CD、DE 作垂线划出一块长方形土地,以 BC,EA 的交点为原点,以 BC,EA 所在的直线为 x 轴,y 轴,建立直角坐标系,

2x? x y 则 AB 的方程为 + =1,设 P? ?x,20- 3 ?, 30 20 2x?? ? 则长方形的面积 S=(100-x)? ?80-?20- 3 ??(0≤x≤30). 2 20 化简得 S=- x2+ x+6 000(0≤x≤30). 3 3 50 当 x=5,y= 时,S 最大,其最大值为 6 017 m2. 3


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