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高考数学总复习:第八篇 第2讲 空间图形的基本关系与公理


第2讲 空间图形的基本关系与公理
【2014年高考会这样考】 1.考查空间线面平行、垂直关系的判断. 2.考查空间线面平行、垂直关系与命题或充要条件相结合.

抓住3个考点

突破3个考向

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考点梳理
1.空间图形的公理 两点 (1)公理1:如果一条直线上的_____在一个平面内,那么这 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). 不在同一条直线上 (2)公理2:经过_________________的三点,有且只有一个 平面(即可以确定一个平面). 一个 (3)公理3:如果两个不重合的平面有_____公共点,那么它 们有且只有一条通过这个点的公共直线.

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(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行. 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个 平面.

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

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2.空间中两直线的位置关系
(1)空间两直线的位置关系
?_____ ? ? 平行 ?共面直线? ? 相交 ?_____ ? ?异面直线:不同在_____一个平面内 任何 ?

(2)异面直线所成的角 ①定义: 过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a, 的平 b 行线 l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或 直角)就是异面直线 a,b 所成的角.
? π? ?0, ? 2? ? ②范围:_______.
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3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 在平面内 相交 平行 (1)直线与平面的位置关系有_____、_____、________三种
情况.

平行 相交 (2)平面与平面的位置关系有_____、_____两种情况.
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两 相等或互补 个角___________.

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【助学· 微博】 一个理解 异面直线概念的理解

(1)“不同在任何一个平面内”,指这两条直线不能确定任 何一个平面,因此,异面直线既不相交,也不平行. (2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直 线为异面直线. 两种判定方法 异面直线的判定方法 (1)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平 面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可 能共面,从而可得两直线异面.
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考点自测
1.下列命题是真命题的是 A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 ( ).

C.一条直线和一个点能确定一个平面
D.梯形一定是平面图形 解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A错;空间中

两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;经
过直线和直线外一点确定一个平面,C错;故D正确. 答案 D

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2.和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A.异面 C.平行 B.相交 D.异面或相交

(

).

答案

D
( ). B.1 D C.0或1 D.1或3

3.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为 A.0 答案

4.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为 ( ). A.60° 解析 答案 D
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B.120°

C.30°

D.60°或120°

由等角定理可知β=60°或120°.

5.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二 条棱中共有异面直线________对.
解析 如图所示,与 AB 异面的直线有

B1C1 ,CC1,A1D1,DD1 四条,因为各棱具有
相同的位置且正方体共有 12 条棱,排除 12×4 两棱的重复计算,共有异面直线 = 2 24(对).

答案

24
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考向一

空间图形的公理及其应用

【例1】?如图所示,在正方体ABCD-
A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的 中点.求证:

(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.

[审题视点] (1)由EF∥CD1可得;
(2)先证CE与D1F相交于P,再证P∈AD.
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证明

(1)如图,连接EF,CD1,A1B.

∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥A1B.

又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE?平面ABCD,

得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE、D1F、DA三线共点.
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(1)证明点或线共面问题,一般有两种途径: ①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后

再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两
部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. (2)证明点共线问题,一般有两种途径:①先由两点确定 一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这 些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线 交于一点,再证其他直线经过该点.

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【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、

R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是
________.

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解析

可证①中的四边形PQRS为梯形;

②中,如图所示,取A1A和BC的中点为

M、N可证明PMQNRS为平面图形,且
PMQNRS为正六边形;③中,可证四边形 PQRS为平行四边形;④中,可证Q点所在 棱与面PRS平行,因此,P、Q、R、S四点 不共面. 答案 ①②③

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考向二

空间中两直线的位置关系

【例2】?如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N分别 为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中, ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是________.
[审题视点] 还原成正四面体来判断.

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解析

如图所示,GH与EF为异面直线,

BD与MN为异面直线,GH与MN成60° 角,DE⊥MN. 答案 ②③④

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空间中两直线位置关系的判定,主要是异
面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法 或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线

的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;
对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.

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【训练2】 在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点 或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的

图形有________(填上所有正确答案的序号).

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解析

图①中,直线GH∥MN;图②中,G、H、N三点

共面,但M?面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,
连接MG,GM∥HN因此GH与MN共面;图④中,G、 M、N共面,但H?面GMN,因此GH与MN异面.所以图 ②、④中GH与MN异面. 答案 ②④

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考向三

异面直线所成角

【例3】?如图所示,在正方体ABCD-
A1B1C1D1中, (1)求A1C1与B1C所成角的大小; (2)若E、F分别为AB、AD的中点, 求A1C1与EF所成角的大小.

[审题视点] (1)把A1C1平移到底面,再连AB1可求;
(2)把A1C1平移到底面,连BD可求.

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(1)如图,连接AC、AB1,

由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AA1C1C为平行四边形,
所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所 成的角. 由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60°, 即A1C1与B1C所成角为60°.

(2)如图,连接BD,由(1)知AC∥A1C1.
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD.

又∵AC⊥BD,
∴AC⊥EF,即所求角为90°.
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找异面直线所成的角的方法
一般有三种找法:利用图中已有的平行线平移;利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平

移.

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【训练3】 如图,A是△BCD平面外的一
点,E,F分别是BC,AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所 成的角.

(1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,
从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在 同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直

线EF与BD是异面直线.

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(2)解

如图, CD 的中点 G, 取 连接 EG、

FG, EG∥BD, 则 所以直线 EF 与 EG 所 成的角,即为异面直线 EF 与 BD 所成的 角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求 2 得∠FEG=45° , 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° .

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热点突破18——准确判断空间点、线、面的位置关系
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,主要结合线 线、线面和面面平行与垂直的判定和性质考查点、线、 面的位置关系,题目多为中、低档题,主要以选择题

或填空题的形式出现.

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【真题探究】? (2012· 浙江)设l是直线,α,β是两个不同的
平面 A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β ( ).

D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
[教你审题] 根据空间线面、面面、平行判定性质、垂直 判定性质逐个进行判断.注意空间位置关系的各种可能 情况.

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[解法] 若l∥α,l∥β,则α,β可能相交,故A错;若 l∥α,则平面α内必存在一直线m与l平行,又l⊥β,则 m⊥β,又m?α,故α⊥β,故B对;若α⊥β,l⊥α,则 l∥β或l?β,故C错;若α⊥β,l∥α,则l与β关系不确

定,故D错.
[答案] B [反思] 对于空间点、线、面的位置关系的判定与应用 问题,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何 模型辅助判断,特别是对于选择题,显得更为有效.

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【试一试】 设m、n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同 的平面,有下列四个命题: ①若m?β,α⊥β,则m⊥α; ②若α∥β,m?α,则m∥β; ③若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β; ④若α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,则m⊥β. 其中正确命题的序号是 ( ).

A.①③
C.③④ 解析

B.①②
D.②③

若m?β,α⊥β,则m⊥α或m∥α,或m与α相交,故①不

正确;若α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,则m⊥β或m?β,m∥β或m与β相
交,故④不正确,故选D. 答案 D
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