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指数函数性质与题型


指数函数
1.根式:
n (1) 定义:若 x ? a ,则 x 称为 a 的 n 次方根

① 当 n 为奇数时, a 的 n 次方根记作__________; ② 当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作________(a>0). (2) 性质: ①
( a)
n n

? a


?a

② 当 n 为奇数时, n a n ③ 当 n 为偶数时, n 2.指数: (1) 规定: ① a0= ② a-p=
m


? a (a ? 0) ? ? ? a (a ? 0)

a

n

?

_______=

(a≠0); ;
m



a

n

?

n

a ( a ? 0, m

.

(2) 运算性质: ① ② ③
a ?a
r s

? a

r?s

(a ? 0, r

(a>0, r、 s ? Q) (a>0, r、 s ? Q) Q)

(a )

r

s

? a

r ?s

(a ? 0, r

( a ? b ) ? a ? b ( a ? 0 , b (a>0,? ? 0 , r r、 s ?

r

r

r

注:上述性质对 r、 s ? R 均适用. 3.指数函数: ① 定义:函数 称为指数函数,1) 函数的定义域为 ;2) 函数的值域为 ;3) 当 ________时函数为减函数,当_______时为增函数. ② 函数图像: 1) 过点 ,图象在 ;2) 指数函数以 为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向 无限接近 x 轴, 当 a ? 1 时,图象向 无限接近 x 轴);3)函数 y ? a
x

与y ? a

?x

的图象关于

对称.

③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1

a ?1

① ② ③

x ? 0时 x ? 0时 x ? 0时

① ② ③

x ? 0时 x ? 0时 x ? 0时

典型例题 例 1. 已知 a= ,b=9.求:
9 1
3 7

(1)

a2

a

?3

?

3

a

?8

?

3

a

15

;

(2)

a

?1

?b
?1

?1

.

( ab )

7

解:(1)原式= a
1

?

1 3

2

.a

?

3 1 ? 2 3

÷[a

(?

8 3

)?

1 2

·a

15 3

?

1 2

]?=

7

?

1 2

?(?

4 3

?

5 2

)

a6

=a .?
2

?

1

∵a= ,∴原式=3.?
9

(2)方法一 化去负指数后解.?
1 a
?1

?b

?1

? 1 ab

1 b ?

a?b ab 1 ab ? a ? b . ∵a=

( ab )

?1

? a

1 9

, b ? 9,

∴a+b=

82 9

.

方法二
a
?1

利用运算性质解.?
? a
?1 ?1

?b
?1

?1

( ab )

a b
, b ? 9,

?1

?

b
?1

?1

a b

?1

?

1 b
?1

?

1 a
?1

? b ? a.

∵a=

1 9

∴a+b=

82 9

.

变式训练 1:化简下列各式(其中各字母均为正数):
2

(1)

(a 3 ? b )
?1 6

?

1 2

1

1

?a2 ?b3
5

a ?b
?2

;

(2) a ? b ? ( ? 3 a b ) ? ( 4 a ? b ) .
3 2 ?1 3 ?3 2

5 6

1

?

1

2

1

解:(1)原式=

a 3b 2 ? a 2b 3
1 5 6

?

1

1

1

1

? a

?

1 3

?

1 2

?

1 6

1

?b 2

?

1 3

?

5 6

? a ? b ? 1.
0 0

a b

6

(2)原式=2

5 2

?

1 ?3

1

a 6b

? (2a 3 · b

?

3 2

)? ?

5 4

?

1 ?3

1

a 6b

? (a 3b

?

3 2

)? ?

5 4

?

1 2

a

?b

?

3 2

? ?
x

5 4

?

1 ab
x
3

? ?

5 ab 4 ab
2

.

例 2. 函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 ( x x x x A.f(b )≤f(c )? B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同



解:A

变式训练 2:已知实数 a、b 满足等式 ( ?其中不可能成立的关系式有 A.1 个 ? B.2 个

1 2

1 b a ) ? ( ) 3

,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.

( ) ? C.3 个

? D.4 个?

解:B ?? 例 3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间:? (1) f(x)=3
x ? 5x ? 4
2

;?(2)g(x)=-(

1 4

) ? 4(
x

1 2

) ?5
x

.

解:(1)依题意 x -5x+4≥0,?解得 x≥4 或 x≤1,? ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞).? 令 u=
x ? 5x ? 4 ?
2

2

(x ?

5 2

) ?
2

9 4

,

∵x∈(-∞,1]∪[4,+∞),?
x ? 5x ? 4
2

∴u≥0,即

x ? 5x ? 4
2

≥0,而 f(x)=3

≥3 =1,?

0

∴函数 f(x)的值域是[1,+∞).? ∵u=
(x ? 5 2 ) ?
2

9 4

,∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数,?

当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数.而 3>1,∴由复合函数的单调性可知,? f(x)=3
x ? 5x ? 4
2

在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.?

故 f(x)的增区间是[4,+∞),减区间是(-∞,1].? (2)由 g(x)=-(
1 4 ) ? 4(
x

1 2

) ? 5 ? ?(
x

1 2

)

2x

? 4(

1 2

) ? 5,
x

?
2 2

∴函数的定义域为 R,令 t=(
2

1 2

)

x

(t>0),∴g(t)=-t +4t+5=-(t-2) +9,?

∵t>0,∴g(t)=-(t-2) +9≤9,等号成立的条件是 t=2,? 即 g(x)≤9,等号成立的条件是(
2

1 2

)

x

=2,即 x=-1,∴g(x)的值域是(-∞,9].?
)
x

由 g(t)=-(t-2) +9 (t>0),而 t=(

1 2

是减函数,∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间,?求 g(x)的减区

间实际上是求 g(t)的增区间.? ∵g(t)在(0,2]上递增,在[2,+∞)上递减,? 由 0<t=(
1 2 )
x

≤2,可得 x≥-1,?由 t=(

1 2

)

x

≥2,可得 x≤-1.?

∴g(x)在[-1,+∞)上递减,在(-∞,-1]上递增,? 故 g(x)的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是[-1,+∞).? 变式训练 3:求下列函数的单调递增区间:?(1)y=(
1 2 )
6? x? 2 x
2

;(2)y=2

x ? x?6

2

.?

解:(1)函数的定义域为 R.? 令 u=6+x-2x ,则 y=(
2

1 2

)

u

.?
1

∵二次函数 u=6+x-2x 的对称轴为 x= ,?
4

2

在区间[ ,+∞)上,u=6+x-2x 是减函数,?
4

1

2

又函数 y=( ∴函数 y=( 故 y=(
1 2 )

1 2 1 2

)

u

是减函数,?
2

)

6? x? 2 x

在[ ,+∞)上是增函数.?
4 1

1

6? x? 2 x

2

单调递增区间为[ ,+∞).?
4
u

(2)令 u=x -x-6,则 y=2 ,? ∵二次函数 u=x -x-6 的对称轴是 x= ,
2
2

2

1

在区间[ ,+∞)上 u=x -x-6 是增函数.?
2

1

2

又函数 y=2 为增函数,? ∴函数 y=2 故函数 y=2
x ? x?6
2

u

在区间[ ,+∞)上是增函数.?
2

1

x ? x?6

2

的单调递增区间是[ ,+∞).
2 e
x

1

例 4.设 a>0,f(x)=

?

a e
x

是 R 上的偶函数.?

a

(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.?

(1)解: ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x),?∴ ∴(a∴a1 a 1 a )( e ?
x

e

?x

?

a e
?x

?

e

x

?

a e
x

,

a 1 e
x

a

)

=0 对一切 x 均成立,?

=0,而 a>0,∴a=1.

(2)证明 在(0,+∞)上任取 x1、x2,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= e = (e
x2
x1

+

1 e
x1

-e x2

1 e
x2

?e )
x1

(
e

1
x1 ? x 2

? 1).
x2

∵x1<x2,∴ e
1 e
x1 ? x 2

x1

?e ,

有e

x2

?e

x1

? 0 . ??
x1 ? x 2

∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e

>1,

-1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),

故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 变式训练 4:已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式;? (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.?
2
x x

4 ?1

.

(1)解: 当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).? ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=4 2
?x ?x

?1

? ?

2
x

x

4 ?1

.

由 f(0)=f(-0)=-f(0),且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),?
? 2 ? x 4 ?1 ? x 2 ? f(x)= ? ? x ? 4 ?1
x

x ? ( 0 ,1) x ? ( ? 1, 0 ) x ? ?? 1, 0 ,1?

得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间[-1,1]上,有?

?0 ? ?

(2)证明

当 x∈(0,1)时,f(x)=

2
x

x

4 ?1

.

设 0<x1<x2<1,? 则 f(x1)-f(x2)=
2
x1 x1

4 ?1

? 4

2
x2

x2

?1

?

(2

x2

? 2 )( 2
x1 x1

x1 ? x 2

? 1)

( 4 ? 1)( 4
x1 ? x 2

x2

? 1)

,

∵0<x1<x2<1,∴ 2

x2 ?

2

x1

>0,2

-1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),?

故 f(x)在(0,1)上单调递减.

小结归纳 1.
b

N

=a,ab=N,logaN=b(其中 N>0,a>0,a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式,因此在许多问题中需要

熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般 应化为同底. 2.处理指数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 3.含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意知识的相互渗透或综合.


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