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双曲线习题及答案


圆锥曲线习题——双曲线
1. 如果双曲线 ( (A) )
4 6 3

x2 y2 ? =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 4 2

(B)

2 6 3

(C) 2 6

(D) 2 3

2.

x2 y 2 已知双曲线 C∶ 2 ? 2 ? 1(a >0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的 a b
圆的半径是

(A)a 以双曲线

(B)b

(C) ab

2 2 (D) a ? b

3.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16
B. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 D. x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0



A. x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 4.

以双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点为圆心,且与其右准线相切的圆的方程是(
2 2



A. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 C. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2

D. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2 2

5. 若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准 2 2 a b
) D. (5,+ ? )

线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) 6. 若双曲线 率是( (A)3 7. 过双曲线 B.(2,+ ? ) C.(1,5)

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2 那么则双曲线的离心 a2 b2
) (B)5 (C) 3 (D) 5

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线, 该直线与双曲线的 a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? 两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

8.

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 已知双曲线 2 b2
y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF1 ? PF2 =(
A. -12 B. -2 C. 0

???? ???? ?

) D. 4

二、填空题 过双曲线

9.

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直 9 16

线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为_______ 10. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲 a 2 b2

线上存在一点 P 使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c



11. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 a 2 b2

M , N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为______
12. 已知点 P 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到双 16 9

曲线两个焦点的距离的等差中项,那么 P 点的横坐标是_________ 13. 已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, PQ 是过点 F1 的弦,且 PQ 的倾斜角 16 9

为 ? ,那么 | PF2 | ? | QF2 | ? | PQ | 的值是__________ 14. 已知 B(?6,0), C (6,0) 是 ? ABC 的两个顶点,内角 A, B, C 满足

sin B ? sin C ?
2

1 sin A ,则顶点 A 的轨迹方程是________________ 2
2
0

15. 过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线,交双曲线于 PQ 两点,则 |FP||FQ|的值为__________.

16. 已知 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上除顶点外任意一点, F1 , F2 为左右焦点, C 为半焦距, a 2 b2

? PF1F2 内切圆与 F1F2 切于点 M ,则 | F1M | ? | F2 M | 的值为__________
三、解答题 17. 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧上 一点, ?POB ? 30? ,曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线

C 过点 P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程;

F (Ⅱ) 设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 .
若△ OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. ...

18. 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直

AB OB 成等差数列, BF 与 FA 于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点. 已知 OA 、 、 且
同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

19. 已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交
2 2

于 A,B 两点. (I)若动点 M 满足 F M ? F A ? F B ? FO (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程; 1 1 1 1 (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由.

????? ???? ???? ????
??? ?

??? ?

y 2 x2 5 20. 已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的距 a b 2
离为

2 5 。 5

(1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的 两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若

??? ? ??? ? 1 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围 3

双曲线习题解答题详细答案
选择题: 1. A 7. C 填空题: 9. 2. B 8. C 3. A 4. B 5. B 6. D

32 15
? 64 5

10.

(1,1 ? 2)

11. 2

12.

13. 16

14.

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?3) 9 27

15. | FP | ? | FQ |?

8 3 3

16. | F1 M | ? | F2 M |? b2

17.

如图, 在以点 O 为圆心,| AB |? 4 为直径的半圆 ADB

中, OD ? AB , P 是半圆弧上一点, ?POB ? 30? ,曲线

C 是满足 || MA | ? | MB ||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线

C 过点 P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. ... 解: (Ⅰ)以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则 A (-2,0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3,1 ) ,依题意得
2 2 2 2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ( 2 ? 3 ) ? 1 ? (2 ? 3) ? 1 =2 2 <|AB|=4.

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a >0,b>0). a2 b2

则由

? 3) 1 ( 2 ? 2 ? 2 ?1 解得 a2=b2=2, b ? a ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得(1-K2) x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴

?1-k 2 ? 0 ? ? ? ?? ? (?4k ) 2 ? 4 ? 6(1 ? k 2 ) ? 0 ?

? k ? ?1 ? ? ?? 3 ? k ? 3 ?

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x,y) ,F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? x 2 ) ?

4k 6 , x1 x 2 ? ? ,于是 2 1? k 1? k

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k ?
2 2

2 2 3?k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2



∴S△DEF=

1 1 2 2 2 3?k2 2 2 3? k2 d ? EF ? ? ? 1? k 2 ? ? . 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3? k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2. 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(1-,1) ∪(1,

2 ).

解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-K2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴

?1-k 2 ? 0 ? ? ? 2 2 ? ? ? ( ?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0 ?

? k ? ?1 ? ? ?? 3 ? k ? 3 ?

.∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

? 1? k 2

?

2 2 3?k2 1? k 2

.



当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示) , S△OEF= S ?ODF ? S ?ODE ?

1 1 OD ? x1 ? x 2 ? OD ? x1 ? x 2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ?OEF ? S ?ODF ? S△ODE=
综上得 S△OEF=

1 1 OD ? ( x1 ? x 2 ) ? OD ? x1 ? x 2 . 2 2

1 OD ? x1 ? x 2 , 于是 2

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

2 2 3?k2 1? k 2

.

若△OEF 面积不小于 2 2,即S?OEF ? 2 2, 则有

2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2.



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1)∪(1, 2 ).

18.

(Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d
2 2 2

由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d ) 得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

a x2 y 2 ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b

将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ,解得 b ? 3 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? ?4 5 ? ?? 15 ? ? ? ? ?
故所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1。 36 9

19.

解:由条件知 F1 (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 0) 0)

(I)解法一: (I)设 M ( x,y) ,则 则 F M ? ( x ? 2,y) , F A ? ( x1 ? 2,y1 ) , 1 1

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), ? (2, ,由 F1M ? F1 A ? F1B ? FO 得 FO 0) 1 1
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y ?
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2
2 2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程. 0) 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

解法二:同解法一的(I)有 ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k . y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 ?

4k 2 .…………………………………………………④ k 2 ?1

y?

4k .……………………………………………………………………⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y y? ? .整理得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 2 y 4?
当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, ,满足上述方程. 0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程. 0) 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

CB (II)假设在 x 轴上存在定点 C (m, ,使 CA? 为常数. 0)
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k 2 ?1 k ?1

于是 CA? ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) CB
2

??? ??? ? ?

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2
(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? ? 4k 2 ? m 2 2 2 k ?1 k ?1 ? 2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1

因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? = ?1 . CB CB 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, 2) , ? 此时 CA? ? (1 2)? , 2) ? ?1. CB , (1 ? 故在 x 轴上存在定点 C (1 0) ,使 CA? 为常数. CB ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

20.(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

2 5 , 5

所以

ab a 2 ? b2

?

ab 2 5 2 5 所以 ? c 5 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 得 ?b ? 1 由? ? 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?
所以曲线 C 的方程是

y2 ? x2 ? 1 4

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 k ? 2, m ? 0 由?

? y ? kx ? m m 2m 得A点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? 2x

由?

? y ? kx ? m ?m 2m 得B点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? ?2 x

uur u uur m 1 ? 2m 1 ? AP ? ? PB, 得P点的坐标为( ( ? ), ( ? ) 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k

y2 4m 2 (1 ? ? )2 2 ? x ? 1得 ? 将 P 点的坐标代入 4 4 ? k2 ?
设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m)

S?AOB = S?AOQ ? S?BOQ

1 1 1 OQ g xA ? OQ g xB ? m( x A ? xB ) 2 2 2 1 m m 1 4m 2 ? m( ? )? g 2 2?k 2?k 2 4 ? k2 1 1 ? (? ? ) ? 1 2 ? ?


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