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新课标2017春高中数学第3章不等式3.4不等式的实际应用课件新人教B版必修5


新课标导学

数 学
必修5 ·人教B版

第三章
不等式 3.4 不等式的实际应用

1

课前自主学习

2
3

课堂典例讲练

课 时 作 业

课前自主学习

2015年某日, A、 B 两足球队为争夺联赛冠军而激战正酣,突然A队的甲球 员中场断球后迅速沿右边线带球疾进 (如右图所示,设足球场的宽 BE=a,球门

的宽 CD = b ,且 a>b) ,他在距离对方底线 (BE) 多远处起脚射门进球的可能性最
大?

解有关不等式应用题的步骤

未知数 ; (1)选用合适的字母表示题中的__________
关于x的不等式(组) ; (2)由题中给出的不等关系,列出__________________ 不等式(组) ; (3)解所列出的__________ 实际意义 写出答案. (4)结合问题的__________

1.用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面 积最大,则隔墙的长度为 导学号 27542804 ( A ) A.3 m C.6 m
[解析] 24-4x 长为 =(12-2x) m, 2 矩形的面积为 S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18, ∴当 x=3 时,S 取最大值,故选 A.

B.4 m D.12 m
设隔墙的长度为 x m,则矩形的宽为 x m,

2.若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x -0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小 于总成本)时的最低产量是 导学号 27542805 ( C ) A.100 台 C.150 台
[解析] 即 25x-3 000-20x+0.1x2≥0, 解得 x≥150 或 x≤-200(舍去). 故生产厂家不亏本的最低产量是 150 台.

B.120 台 D.180 台

生产厂家不亏本时 25x-y≥0,

3.如果一辆汽车每天行驶的路程(单位:km)比原来多 19 km,那么在 8 天内, 它行驶的路程就超过 2 200 km; 如果它每天行驶的路程比原来少 12 km, 那么它行 驶同样的路程就得花 9 天多的时间,那么这辆汽车原来每天行驶的路程的范围为 导学号 27542806 ( D ) A.(259,260) C.(257,260) B.(258,260) D.(256,260)

[解析]

设原来每天行驶 x km,则根据题意, ,

? ?8?x+19?>2 200 有? ? ?9?x-12?<8?x+19?<10?x-12?

解得 256<x<260,故选 D.

4.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼梯耗费的精力增多,因此不满意 度升高;当住第 n 层楼时,上、下楼造成的不满意度为 n,但高处空气清新、嘈杂 音较小、环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第 n 层楼时, 8 3 环境不满意度为n,则此人应选________ 楼. 导学号 27542807 8 8 8 [解析] 总体不满意度为 n+ , 又 n+ ≥4 2, 当且仅当 n= , 即 n=2 2≈3 n n n
时,不满意度最低,所以此人应选 3 楼.

5.现有一批货物用轮船从上海运往青岛,已知该轮船航行的最大速度为 45 n mile/h,上海至青岛的航行距离约为 500 n mile/h,每小时的运输成本由燃料费用 和其余费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比 (比例系数为 0.6),其余费用每小时 960 元. 导学号 27542808 (1)请把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(n mile/h)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

[ 解析] h,

500 (1)根据题意得每小时的运输成本为 (0.6x +960)元,所用时间为 x
2

500 1 600 ∴y=(0.6x +960)·x =300(x+ x ),(0<x≤45).
2

1 600 (2)y=300(x+ )≥300×2 x

1 600 x· =24 000, x

1 600 当且仅当 x= x ,即 x=40 时,等号成立. ∴当轮船以 40 n mile/h 速度行驶时,全程运输成本最小.

课堂典例讲练

命题方向1 ?作差比较型应用问题
现有 A、B、C、D 四个长方体容器,A、B 的底面积为 a2,高分别 为 a 和 b,C、D 的底面积均为 b2,高分别为 a 和 b(其中 a≠b).现规定一种游戏 规则:每人一次从四个容器中取两个,盛水多者为胜,则先取者有没有必胜的方 案?若有的话,有几种? 导学号 27542809

[分析]

依题意可知 A、B、C、D四个容器的容积分别为 a3、a2b、ab2、b3.

按照游戏法则,四个容器只有三种不同的分法: ①A+B和C+D;②A+C和B+D;③A+D和B+C. 问题的实质是比较容积两两和的大小. [解析] ①若先取A、B,则后取者只能取C、D.

因为(a3+a2b)-(ab2+b3)
=a2(a+b)-b2(a+b)=(a-b)(a+b)2, 显然(a+b)2>0,而a与b的大小不确定,

所以(a-b)(a+b)2的正负不能确定.

即 a3+a2b 与 ab2+b3 的大小不定.这种取法无必胜的把握. ②若先取 A、C,则后取者只能取 B、D. 因为(a3+ab2)-(a2b+b3) =a(a2+b2)-b(a2+b2)=(a-b)(a2+b2), 由类似于①的分析知,这种取法也无必胜的把握. ③若先取 A、D,则后取者只能取 B、C.

因为(a3+b3)-(a2b+ab2)
=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b) =(a+b)(a2-2ab+b2)=(a+b)(a-b)2, 又a≠b,a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2>0, 即a3+b3>a2b+ab2.故先取A、D是唯一必胜的方案.
[点评]


十分有趣的是,本游戏规则中隐含了一个不等式关系,已知 a≠b,a、

b∈R ,那么 a3+b3>a2b+ab2. a2 b2 此式可等价于 b + a >a+b.

〔跟踪练习 1〕 导学号 27542810 某商品计划两次提价,有甲、乙两种方案,其中 p>q>0. 次方案 甲 乙 第一次 p% 第二次 q%

1 1 2(p+q)% 2(p+q)%

经过两次提价后,哪种方案提价幅度大?

[解析]

设商品原价为 a,则按甲、乙方案两次提价后价格分别为 N 甲、N 乙,

则 N 甲=a(1+p%)(1+q%). p+q 2 1 1 N 乙=a[1+2(p+q)%][1+2(p+q)%]=a(1+ 200 ) .
2 p + q ? p + q ? p q pq a 2 2 N 甲-N 乙=a[1+ + + 2-1- - 2 ]= 2(2pq-p -q )=- 100 100 100 100 200 200

a 2 2(p-q) <0. 200 答:按乙方案提价比甲方案提价幅度大.

命题方向2 ?一元二次不等式在实际问题中的应用
某农产品去年各季度的市场价格如下表: 导学号 27542811
季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 195.5 200.5 204.5 199.5

每吨售价(单位:元)

今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价 m”(平衡价 m 是这样的一 个量:与上年各季度售价差比较,m 与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产 品,并按每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点),计划可收购 a 万吨,政 府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将税率降低 x 个百分点,预测收购 量可增加 2x 个百分点.

200 (元/吨); (1)根据题中条件填空,m=________ (2)写出税收y(万元)与x的函数关系式;

(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%,试确定x的取
值范围.

[解析]

(1)200

(2)降低税率后的税率为(10-x)%, 农产品的收购量为 a(1+2x%)万吨, 收购总 金额为 200a(1+2x%). 故 y=200a(1+2x%)(10-x)% 2 =100a(100+2x)(10-x) a =25(50+x)· (10-x) (0<x<10).

(3)原计划税收为 200a×10%=20a(万元), a 依题意得:25(50+x)(10-x)≥20a×83.2%, 即 x2+40x-84≤0, 解得-42≤x≤2,又 0<x<10,∴0<x≤2. 答:x 的取值范围是 0<x≤2.

〔跟踪练习 2〕 导学号 27542812 一服装厂生产某种风衣,日产量(单位:件)为 x 时,售价为 p 元/件,成本为 R 元,且 p=160-2x,R=500+30x,要使获得的日利润不少于 1 300 元,则该厂的 日产量 x 的取值范围为( D ) A.(0,45) C.(0,20] B.(0,45] D.[20,45]

[解析]

由题意设日利润为 y 元, 则 y=(160-2x)· x-(500+30x)=-2x2+130x

-500,由 y≥1 300,解得 20≤x≤45,即该厂的日产量 x 的取值范围为[20,45].故 选 D.

命题方向3 ?利用基本不等式解应用题
某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张 240 元,使用规定:不记名, 每卡每次只限 1 人,每天只限 1 次,某班有 48 名同学,老师打算组织同学们集体 去游泳,除需要购买游泳卡外,每次还要包 1 辆车,无论乘坐多少名乘客,包车 费均为 40 元,若使每位同学游泳 8 次,每人需至少交多少钱? 导学号 27542813

[分析]

可从需购买若干张游泳卡或分若干批去游泳两个出发点考虑.

[解析]

解法一: 设购买 x 张游泳卡, 活动总开支为 y 元, 则购买游泳卡需 240x

元,48 名同学每人游 8 次,共 48×8 次.但游泳卡只有 x 张,则每批只有 x 人参
?48×8 ? 48×8 ? ? 加,共分 x 批,故包车费为? × 40 ?元, x ? ?

48×8 64 ∴y=240x+ x ×40=240(x+ x ). 64 ∵x>0,∴x+ x ≥2 64 x· x =16,∴y≥3 840.

64 当且仅当 x= x ,即 x=8 时,取等号.3 840÷ 48=80(元). ∴每人需至少交 80 元.

48×8 解法二: 设分 n 批去游泳, 活动总开支为 y 元, 则包车费为 40n 元, 每批去 n 48×8 人,需购买游泳卡 n 张. 48×8 482 ∵n>0, ∴y=40n+ n ×240=40(n+ n )≥40×2 482=40×2×48=3 840, 482 当且仅当 n= n ,即 n=48 时,取等号. 3 840÷ 48=80(元).∴每人需至少交 80 元.

[点评]

利用不等式的性质解决实际应用题,首先要仔细阅读题目,弄清要

解决的实际问题,确定是求什么量的最值 (即题中的y);其次,分析题目中给出 的条件,建立y的函数表达式y=f(x)(x一般为题目中最后所要求的量);最后,利 用不等式的有关知识解题.

〔跟踪练习 3〕 导学号 27542814 某企业开发一种新产品,现准备投入适当的广告费,对产品进行促销,在一 3x-2 年内,预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q= (x>0).已 x 知生产此产品的年固定投入为 3 万元,每年产 1 万件此产品仍需要投入 32 万元, 若年销售额为“年生产成本的 150%”与“年广告费的 50%”之和, 而当年产销量 相等. (1)试将年利润 P(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?

[解析]

x 32 (1)P=(32Q+3)· 150%+x· 50%-(32Q+3)-x=-2- x +49.5(x>0). x=8 时,

? x 32? 1 32 (2)P=-?2+ x ?+49.5≤-2×4+49.5=41.5, 当且仅当 x= 时, 即 2 x ? ?

P 有最大值 41.5 万元. 答:当年广告费投入 8 万元时,企业年利润最大,最大值为 41.5 万元.误区 警示

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池 (平面图如图所示),由于地形限制,长、宽都不能超过 16 m,如果池四周墙建造 单价为每米 400 元,中间两道隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平 方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低, 并求出最低造价. 导学号 27542815

[错解]

200 设污水处理池的长为 x m,则宽为 m, x

200 200 324 于是总造价为: Q(x)=400(2x+2· )+248· 2· +80×200=800(x+ )+16 x x x 000 ≥800· 2 324 x·x +16 000=44 800,

324 100 当且仅当 x= x ,即 x=18 时,等号成立.故当长为 18 m,宽为 9 m 时, 总造价最低,最低总造价为 44 800 元.

[ 辨析 ]

忽略了函数的定义域,即水池的长、宽都不能超过 16 m ,即

200 0<x≤16,0< ≤16,所以 12.5≤x≤16,而 x=18?[12.5,16],所以利用均值不等式 x 求最值时“等号”不能取到.

[正解]

本题通过建立函数关系式利用均值不等式求最值. 利用均值不等式求

最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进 行求解.

200 200 设污水处理池的长为 x m, 则宽为 m(0<x≤16,0< ≤16), ∴12.5≤x≤16. x x 200 200 324 于是总造价为: Q(x)=400(2x+2· )+248· 2· +80×200=800(x+ )+16 x x x 000 ≥800· 2 324 x·x +16 000=44 800,

324 当且仅当 x= (x>0), 即 x=18 时等号成立, 而 18?[12.5,16], ∴Q(x)>44 800. x

下面研究 Q(x)在[12.5,16]上的单调性. 对任意 12.5≤x1<x2≤16,则 x2-x1>0,0<x1· x2<162<324. ?x2-x1??x1x2-324? 1 1 Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324( - )]=800· <0. x2 x1 x1x2 ∴Q(x2)<Q(x1),∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为 16 m,宽为 12.5 m 时,总造价最低,最低造价为 45 000 元.


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