kl800.com省心范文网

江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题Word版含答案.doc


2016—2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数
注意事项: 1.本试卷共 4 页.满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接填写在答卷纸 相应的 ... 位置) 1.已知集合 A ? {x 0 ≤ x ≤ 2} , B ? {x ?1 ? x ≤1} ,则 A I B ? 2.若命题 p : ?x ? R, 使x2 ? ax ? 1 ? 0 ,则 ? p : 3.函数 y ? ▲ . ▲ .



2016.11

1? x 的定义域为 x?2





4.曲线 y ? x ? cos x 在点 ( , ) 处的切线的斜率为

? ?

2 2





5.已知 tan ? ? ? ,则 tan(? ?

4 3

?
4

)?





6.已知等比数列 {an } 的各项均为正数,且满足: a1a9 ? 4 ,则数列 {log 2 an } 的前 9 项之和 为 ▲ .

7. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? 8 x , 则 f (? ▲ .

19 )? 3

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则

A?





?2 x ? 1, x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个零点,则实数 m 的取值范 ? x ? x, x ≤ 0
围是 ▲ .

10.若函数 y ? tan ? ?

cos2? ? 1 ? (0 ? ? ? ) ,则函数 y 的最小值为 sin 2? 2





11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

2 )(? ? 0) ,将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? 个单位长度 3 3
▲ .

后,所得图象与原函数图象重合,则 ? 的最小值等于

12. 已知数列 {an } 满足:an?1 ? a n (1 ? an?1 ), a1 ? 1 ,数列 {bn } 满足:bn ? an ? an?1 ,则数列 {bn } 的前 10 项的和 S10 ? ▲ .

13 . 设 ?ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 所 对 应的 边 为 a,b,c ,若 A,B,C 依 次成 等 差 数列 且

a 2 ? c 2 ? kb2 ,则实数 k 的取值范围是
14.已知函数 f ( x) ?





x?a ,若对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则 ( x ? a)2
▲ .

满足条件的实数 a 的取值范围是

二、 解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 ? ? ? 3 (? ? R)
x ?x

(1)若 f ( x) 为奇函数,求 ? 的值和此时不等式 f ( x) ? 1 的解集; (2)若不等式 f ( x) ≤ 6 对 x ? [0, 2] 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

16.(本题满分 14 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an log 1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 Sn ? n ? 2n?1 ? 62 成立的正整数 n 的最小
2

值. 17.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)若 0 ≤ x ≤

?
3

) ? cos x .

?
2

,求函数 f ( x) 的值域;

(2) 设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 A 为锐角且 f ( A) ?
c ? 3 ,求 cos( A ? B) 的值.

3 ,b ? 2 , 2

18.(本题满分 15 分) 如图,有一块平行四边形绿地 ABCD,经测量 BC ? 2 百米, CD ? 1 百米, ?BCD ? 120? , 拟过线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF(点 F 在四边形 ABCD 的边上,不计路的宽度) , EF 将绿地分成两部分,且右边面积是左边面积的 3 倍,设 EC ? x 百米, EF ? y 百米. (1)当点 F 与点 D 重合时,试确定点 E 的位置; (2)试求 x 的值,使路 EF 的长度 y 最短.

C

E

B

D

A

19. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 An ,对任意 n ? N* 满足

An?1 An 1 ? ? ,且 a1 ? 1 ,数列 {bn } 满 n ?1 n 2

足 bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N*) , b3 ? 5 ,其前 9 项和为 63. (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)令 cn ?

bn an ? ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,若对任意正整数 n,都有 Tn ≥ 2n ? a , an bn

求实数 a 的取值范围; (3)将数列 {an },{bn } 的项按照“当 n 为奇数时, an 放在前面;当 n 为偶数时, bn 放在前面” 的要求进行“交叉排列”,得到一个新的数列: a1 , b1 , b2 , a2 , a3 , b3 , b4 , a4 , a5 , b5 , b6 , ??? ,求这个新

数列的前 n 项和 Sn .

20. (本题满分 16 分)

? f ( x), f ( x) ≥ g ( x) 已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1(a ? 0) ,定义 h( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ? ? . ? g ( x), f ( x) ? g ( x)
(1)求函数 f ( x) 的极值; (2)若 g ( x) ? xf ?( x) ,且存在 x ?[1,2] 使 h( x) ? f ( x) ,求实数 a 的取值范围; (3)若 g ( x) ? ln x ,试讨论函数 h( x) ( x ? 0) 的零点个数.

2016—2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数
注意事项: 1.本试卷共 2 页.满分 40 分,考试时间 30 分钟. 2.请在答题卡上的指定位置作答,在本试卷上作答无效. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.(几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,弦 BD , CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于 点F. 求证: AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC

学 (附加)

2016.11

B.(矩阵与变换) (本小题满分 10 分)

?? ?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 将点 ?1?
(?1,3) 变换为 (0,8) .
(1)求矩阵 M; (2)求曲线 x ? 3 y ? 2 ? 0 在 M 的作用下的新曲线方程.

C.(极坐标与参数方程) (本小题满分 10 分)

? x ? r cos? ? 2 已知平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? (? 为参数, r ? 0) .以直 ? y ? r sin ? ? 2
角坐标系原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

2? sin(? ? π ) ? 1 ? 0 . 4
(1)求圆 C 的圆心的极坐标; (2)当圆 C 与直线 l 有公共点时,求 r 的取值范围.

D.(不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知 a, b, c, d 都是正实数,且 a ? b ? c ? d ? 1 ,求证:

a2 b2 c2 d2 1 ? ? ? ≥ . 1? a 1? b 1? c 1? d 5

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了 A、B、C 三个测试项目.假 定张某通过项目 A 的概率为 目能否通过相互独立. (1)用随机变量 X 表示张某在测试中通过的项目个数,求 X 的概率分布和数学期望

1 ,通过项目 B、C 的概率均为 a (0 ? a ? 1) ,且这三个测试项 2

E ( X ) (用 a 表示) ;
(2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数 a 的取值范围.

23.(本小题满分 10 分) 在 如 图 所 示 的 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , SA ? 底 面 A B C D, ?DAB ? ?ABC ? 90? ,
SA ? AB ? BC ? a , AD ? 3a (a ? 0) ,E 为线段 BS 上的一个动点.

(1)证明:DE 和 SC 不可能垂直; (2)当点 E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B)时,求二面角 S ? CD ? E 的余弦值.

S

E B

A C

D

2016—2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 参 考 答 案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. {x | 0 ≤ x ≤1} 5.7 10.2 2. ?x ? R, 使x 2 ? ax ? 1≥ 0 6. 9 11.3 7. ?2 12. 3. (?2,1] 8. 4. 2 9. (? ,0] 14. a ≥ 0

?
3

1 4

10 11

13. (1, 2]

二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分) 15.(本题满分 14 分) 解: (1)函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x 的定义域为 R. ∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ? 0 对 ?x ? R 恒成立, 即3
?x

? ? ? 3x ? 3x ? ? ? 3? x ? (? ? 1)(3x ? 3? x ) ? 0 对 ?x ? R 恒成立,
. . . . . . . . . .3 分

∴ ? ? ?1 . 此时 f ( x) ? 3x ? 3? x ? 1 即 (3x )2 ? 3x ? 1 ? 0 ,

1+ 5 1? 5 或3x ? (舍去) , 2 2 1+ 5 }. ∴解集为 {x | x ? log 3 2
解得 3x ? (2)由 f ( x) ≤ 6 得 3x ? ? ? 3? x ≤ 6 ,即 3x ? 令 t ? 3x ?[1,9] ,原问题等价于 t ?

. . . . . . . . . .6 分 . . . . . . . . . .7 分

?
3x

≤6,

?
t

≤ 6 对 t ? [1,9] 恒成立,
. . . . . . . . . . .10 分

亦即 ? ≤ ?t 2 ? 6t 对 t ? [1,9] 恒成立, 令 g (t ) ? ?t 2 ? 6t , t ?[1,9] , ∵ g (t ) 在 [1,3] 上单调递增,在 [3,9] 上单调递减, ∴当 t ? 9 时, g (t ) 有最小值 g (9) ? ?27 ,∴ ? ≤ ?27 . 16.(本题满分 14 分)

. . . . . . . . .14 分

解: (1)∵ a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项,∴ 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 , . . . . . . . . . .1 分 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,可得 a3 ? 8 ,

? a ? 32 ?a1q 2 ? 8 ? a1 ? 2 ? 1 ? ∴ a2 ? a4 ? 20 ,∴ ? ,解之得 ? 或? 1 , 3 q? ?q ? 2 ? ? ?a1q ? a1q ? 20 2 ?

. . . . . . . .4 分

?a ? 2 ∵ q ? 1 ,∴ ? 1 ,∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n . ?q ? 2
(2)∵ bn ? an log 1 an ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,
2 2

. . . . . . . . . .6 分 . . . . . . . . . .7 分 ……① ……②

∴ Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ) ,

2Sn ? ?(1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ) ,
②-①得 Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 . 1? 2

. . . . . . . . . .12 分 . . . . . . . . . .13 分 . . . . . . . . . .14 分

∵ Sn ? n ? 2n?1 ? 62 ,∴ 2n ?1 ? 2 ? 62 ,∴ n ? 1 ? 6 , n ? 5 , ∴使 Sn ? n ? 2n?1 ? 62 成立的正整数 n 的最小值为 6. 17.(本题满分 15 分) 解: (1) f ( x) ? (sin x ? 3cos x)cos x ? sin x cos x ? 3 cos x
2

1 3 3 ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . . . . . . . . . .2 分 2 2 2 3 2 3 ? ? ? ? 4? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 , . 由 0 ≤ x ≤ 得, ≤ 2 x ? ≤ ,? . . . . . . . .4 分 2 3 2 3 3 3 ? 3 3 3 ≤1 ? ]. . ∴ 0 ≤ sin(2 x ? ) ? ,即函数 f ( x) 的值域为 [0,1 ? . . . .6 分 3 2 2 2 ? 3 3 ? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 得 sin(2 A ? ) ? 0 , 3 2 2 3 ? ? ? ? 4? ? 又由 0 ? A ? ,∴ ? 2 A ? ? ,∴ 2 A ? ? ? , A ? . . . . . . . . .8 分 2 3 3 3 3 3
在 ?ABC 中,由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A=7 ,得 a ? 7 . . . . . . . .10 分

b sin A 21 a b ? ,得 sin B ? , . . . . . .12 分 ? a 7 sin A sin B 2 7 ∵ b ? a ,∴ B ? A ,∴ cos B ? , 7 1 2 7 3 21 5 7 ? ? ? ∴ cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? . . . . .15 分 2 7 2 7 14
由正弦定理 18.(本题满分 15 分)

1 解: (1)平行四边形 ABCD 的面积为 S? ABCD ? 2 ? ?1? 2sin120? ? 3 , 2

1 3 当点 F 与点 D 重合时, S ?CFE ? CE ? CD ? sin120? ? x, 2 4 3 3 1 ∵ S?CFE ? S? ABCD ,∴ , x ? 1 (百米) ,∴E 是 BC 的中点. . . . .3 分 x= 4 4 4 (2)①当点 F 在 CD 上时,

1 1 3 1 ∵ S ?CFE ? CE ? CF ? sin1200 ? S? ABCD ? ,∴ CF ? , 2 4 4 x
在三角形 CDE 中, EF 2 ? CE 2 ? CF 2 ? 2CE ? CF ? cos1200 , ∴ y ? x2 ?

. . . . . . . .4 分

1 ? 1 ≥ 3 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, x2
. . . . . . . . . . . . . . .8 分

此时 E 在 BC 中点处且 F 与 D 重合,符合题意; ②当点 F 在 DA 上时, ∵ S梯形CEFD ?

( x ? FD) 3 1 3 ? ? S? ABCD ? ,∴ DF ? 1 ? x , 2 2 4 4

. . . . . . . . . .9 分

Ⅰ.当 CE ? DF 时,过 E 作 EG∥CD 交 DA 于 G, 在 ?EGF 中, EG ? 1, GF ? 1 ? 2 x, ?EGF ? 60? ,由余弦定理得 y ? 4x2 ? 2x ? 1 ; Ⅱ.当 CE ≥ DF ,过 E 作 EG∥CD 交 DA 于 G, 在 ?EGF 中, EG ? 1, GF ? 2 x ? 1, ?EGF ? 120? ,由余弦定理得 y ? 4x2 ? 2x ? 1 ;

1 3 由Ⅰ、Ⅱ可得 y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? 4( x ? ) 2 ? , 4 4
∴当 x ?

. . . . . . . . . . . . . . .13 分

1 3 时, ymin ? , 2 4

此时 E 在 BC 的八等分点(靠近 C)处且 DF ? ∴由①②可知,当 x ? 19.(本题满分 16 分) 解: (1)∵

3 (百米) ,符合题意; . . . .14 分 4

3 1 (百米)时,路 EF 最短为 (百米) . . . . .15 分 2 4

An?1 An 1 1 ?A ? ? ? ,∴数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 的等差数列, n n ?1 n 2 2 ? ?

An 1 1 1 n(n ? 1) ? A1 ? (n ? 1) ? ? n ? ,即 An ? (n ? N* ) , n 2 2 2 2 (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) ∴ an?1 ? An?1 ? An ? ? ? n ? 1(n ? N* ) , 2 2
∴ 又 a1 ? 1 ,∴ an ? n(n ? N* ) . . . . . . . . . . . . . .3 分

∵ bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 ,∴ 数列 {bn } 是等差数列,

9(b3 ? b7 ) ? 63 且 b3 ? 5 , 2 b ? b3 9 ? 5 ∴ b7 ? 9 ,∴ {bn } 的公差为 7 = ? 1 , bn ? n ? 2(n ? N* ) . 7 ?3 7 ?3
设 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,∵ B9 ? (2)由(1)知 cn ?

. . . . . .5 分

bn an n ? 2 n 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2( ? ), an bn n n?2 n n?2

1 1 1 1 1 ? ??? ? ) 3 2 4 n n?2 1 1 1 1 1 ? 2n ? 2 (? 1 ? ? ? ) 2n ? 3 ? 2( ? ), 2 n? 1 n? 2 n ?1 n ? 2 1 1 ∴ Tn ? 2n ? 3 ? 2( . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ? ). n ?1 n ? 2
∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 2(1 ? ? 设 Rn ? 3 ? 2(

1 1 4 1 1 ? )? ?0, ? ) ,则 Rn ?1 ? Rn ? 2( n ? 1 n ? 3 ( n ? 1)( n ? 3) n ?1 n ? 2
. . . . . . . . . . . . .9 分

∴数列 {Rn} 为递增数列, ∴ ( Rn )min ? R1 ?

4 , 3

∵对任意正整数 n,都有 Tn ? 2n ≥ a 恒成立,∴ a ≤ (3)数列 ?an ? 的前 n 项和 An ?

4 . 3

. . . . . . . . . . . . .10 分

n(n ? 1) n(n ? 5) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ? . 2 2 k (k ? 1) k (k ? 5) ①当 n ? 2k (k ? N* ) 时, Sn ? Ak ? Bk ? ? ? k 2 ? 3k ; 2 2 (2k ? 1)(2k ? 2) 2k (2k ? 5) ②当 n ? 4k ? 1 (k ? N* ) 时, Sn ? A2k +1 ? B2k ? ? 2 2
? 4k 2 ? 8k ? 1 ,

特别地,当 n ? 1 时, S1 ? 1 也符合上式; ③当 n ? 4k ? 1 (k ? N* ) 时, Sn ? A2k ?1 ? B2k ?

(2k ? 1)2k 2k (2k ? 5) ? ? 4k 2 ? 4k . 2 2

?1 2 3 ? 4 n ? 2 n, n ? 2 k ? 2 ? n ? 6n ? 3 , n ? 4k ? 3 , k ? N* . 综上: Sn ? ? 4 ? ? n 2 ? 6n ? 5 , n ? 4k ? 1 ? 4 ?

. . . . . . . . . . .16 分

20.(本题满分 16 分) 解: (1)∵函数 f ( x) ? ax 3 ? 3 x 2 ? 1 ,

∴ f '( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 3 x(ax ? 2) . 令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 或 x2 ?

. . . . . . . . . .1 分

x
f '( x)

2 ,∵ a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ,列表如下: a 2 2 2 (??, 0) (0, ) ( , ??) 0 a a a
? ↗

0
极大值

? ↘

0
极小值

? ↗ . . . . . . .3 分

f ( x)

2 8 12 4 ∴ f ( x) 的极大值为 f (0) ? 1 ,极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 . a a a a
(2) g ( x) ? xf ?( x) ? 3ax3 ? 6 x 2 ,∵存在 x ?[1, 2] 使 h( x) ? f ( x) ,

∴ f ( x) ≥ g ( x) 在 x ?[1, 2] 上有解,即 ax3 ? 3x 2 ? 1≥ 3ax3 ? 6 x 2 在 x ?[1, 2] 上有解, 即不等式 2a ≤

1 x3 1 ∴y? 3 x
设y?

1 3 . . . . . . . . . . . . .4 分 ? 在 x ?[1, 2] 上有解, x3 x 3 3x 2 ? 1 ?3 x 2 ? 3 ? ? ( x ? [1, 2] ) y ' ? ? 0 对 x ?[1, 2] 恒成立, ,∵ x x3 x4 3 1 3 ? 在 x ?[1, 2] 上单调递减,∴当 x ? 1 时, y ? 3 ? 的最大值为 4, x x x
. . . . . . . . .7 分

∴ 2a ≤ 4 ,即 a ≤ 2 . (3)由(1)知, f ( x) 在 (0, ??) 上的最小值为 f ( ) ? 1 ? ①当 1 ?

2 a

4 , a2

4 ? 0 ,即 a ? 2 时, f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, a2
. . . . . . . . .8 分

∴ h( x) ? max{ f ( x), g ( x)} 在 (0, ??) 上无零点. ②当 1 ?

4 ? 0 ,即 a ? 2 时, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,又 g (1) ? 0 , a2
. . . . . . . . .9 分

∴ h( x) ? max{ f ( x), g ( x)} 在 (0, ??) 上有一个零点. ③当 1 ?

4 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时,设 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1 ? ln x (0 ? x ? 1) , 2 a 1 1 ∵ ? '( x) ? 3ax2 ? 6 x ? ? 6 x( x ? 1) ? ? 0 ,∴ ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减, x x 2 1 a 2e ? 3 1 ? 0 ,∴存在唯一的 x0 ? ( ,1) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 . 又 ? (1) ? a ? 2 ? 0, ? ( ) ? 3 ? e e e2 e
Ⅰ.当 0 ? x ≤ x0 时, ∵ ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ≥? ( x0 ) ? 0 ,∴ h( x) ? f ( x) 且 h( x) 为减函数, 又 h( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? ln x0 ? ln1 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, x0 ) 上有一个零点;

Ⅱ.当 x ? x0 时, ∵ ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 ,∴ h( x) ? g ( x) 且 h( x) 为增函数, ∵ g (1) ? 0 ,∴ h( x) 在 ( x0 , ??) 上有一个零点; 从而 h( x) ? max{ f ( x), g ( x)} 在 (0, ??) 上有两个零点. . . . . . . . . .15 分

综上所述, 当 0 ? a ? 2 时,h( x) 有两个零点; 当 a ? 2 时,h( x) 有一个零点; 当 a ? 2 时,

h( x) 有无零点.

. . . . . . . . . .16 分

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.(几何证明选讲,本小题满分 10 分) 证明:连接 AD ,∵ AB 为圆的直径,∴ AD ? BD , 又 EF ? AB ,则 A, D, E , F 四点共圆, ∴ BD ? BE ? BA? BF . 又 ?ABC ∽ ?AEF , ∴ . . . . . . . . . . . . .5 分

AB AC ,即 AB ? AF ? AE ? AC , ? AE AF

∴ BE ? BD ? AE ? AC ? BA ? BF ? AB ? AF ? AB ? (BF ? AF ) ? AB2 . . . . . .10 分 B.(矩阵与变换,本小题满分 10 分)

?a 解:(1)设 M ? ? ?c

b? ? a b ? ?1? ?1? ? a b ? ? ?1? ?0? ,由 ? ? 8? ? 及 ? ?? ? ? ? ?, ? ? ? ? d? ? c d ? ?1? ?1? ? c d ? ? 3 ? ?8?

?a ? b ? 8 ?a ? 6 ?c ? d ? 8 ?b ? 2 ?6 2? ? ? 得? ,解得 ? ,∴ M ? ? ?. ? 4 4? ??a ? 3b ? 0 ?c ? 4 ? ? ??c ? 3d ? 8 ?d ? 4

. . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(2)设原曲线上任一点 P ( x, y ) 在 M 作用下对应点 P '( x ', y ') ,

2 x '? y ' ? x? ? ? x ' ? ?6 2? ? x ? ?x ' ? 6x ? 2 y ? 8 则? ??? , ? ? y ? ,即 ? y ' ? 4 x ? 4 y ,解之得 ? 4 4 y ' ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? y ? x '? 3 y ' ? 8 ?
代入 x ? 3 y ? 2 ? 0 得 x '? 2 y '? 4 ? 0 , 即曲线 x ? 3 y ? 2 ? 0 在 M 的作用下的新曲线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . . . . . . .10 分

C.(极坐标与参数方程,本小题满分 10 分)

? x ? r cos? ? 2 解: (1)由 C : ? 得 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 , y ? r sin ? ? 2 ?
∴曲线 C 是以 (2, 2) 为圆心, r 为半径的圆, ∴圆心的极坐标为 (2 2, ) .

?

4

. . . . . . . . . . . . .5 分

(2)由 l : 2 ? sin(? ? π) ?1 ? 0 得 l : x ? y ? 1 ? 0 ,

4

从而圆心 (2, 2) 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? 1| 5 ? 2, 2 2

∵圆 C 与直线 l 有公共点,∴ d ≤ r ,即 r ≥ D.(不等式选讲,本小题满分 10 分) 证明:∵ [(1 ? a ) ? (1 ? b) ? (1 ? c ) ? (1 ? d )](

5 2. 2

. . . . . . . . . .10 分

a2 b2 c2 d2 ? ? ? ) 1? a 1? b 1? c 1? d

≥( 1? a ?

a b c d ? 1? b ? ? 1? c ? ? 1? d ? )2 1? a 1? b 1? c 1? d
. . . . . . . . . . . .5 分

? (a ? b ? c ? d ) 2 ? 1 ,
又 (1 ? a) ? (1 ? b) ? (1 ? c) ? (1 ? d ) ? 5 , ∴

a2 b2 c2 d2 1 ? ? ? ≥ . 1? a 1? b 1? c 1? d 5

. . . . . . . . . . . .10 分

22.(本题满分 10 分) 解: (1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 1 2 P( X ? 0) ? (1 ? )C0 (1 ? a)2 ; 2 (1 ? a) ? 2 2 1 1 1 1 2 P( X ? 1) ? C0 (1 ? a2 ) ; 2 (1 ? a) ? (1 ? )C2 a(1 ? a) ? 2 2 2 1 1 2 2 1 P( X ? 2) ? C1 (2a ? a2 ) ; 2 a(1 ? a) ? (1 ? )C2 a ? 2 2 2 1 2 2 1 2 P( X ? 3) ? C2 a ? a . 2 2
从而X的分布列为 X
0

1
1 (1 ? a 2 ) 2

2
1 (2a ? a 2 ) 2

3

P
X的数学期望为

1 (1 ? a)2 2

a2 2

1 1 1 a 2 4a ? 1 E ( X ) ? 0 ? (1 ? a) 2 ? 1 ? (1 ? a 2 ) ? 2 ? (2a ? a 2 ) ? 3 ? ? . . . . . . .5分 2 2 2 2 2 1 (2) P( X ? 1) ? P( X ? 0) ? [(1 ? a2 ) ? (1 ? a)2 ] ? a(1 ? a) , 2 1 1 ? 2a , P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? [(1 ? a2 ) ? (2a ? a2 )] ? 2 2 1 1 ? 2a 2 P ( X ? 1) ? P ( X ? 3) ? [(1 ? a 2 ) ? a 2 ] ? . 2 2

? ? a (1 ? a ) ≥ 0 ? 1 1 ? 1 ? 2a 由? . . .10 分 ≥ 0 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ≤ ,即 a 的取值范围是 (0, ] . . 2 2 ? 2 ? 1 ? 2a 2 ≥0 ? ? 2
23.(本题满分 10 分) 解: (1)∵ SA ? 底面 ABCD , ?DAB ? 90? ,∴AB、AD、AS 两两垂直. 以 A 为原点,AB、AD、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 (如图) , . . . . . . . . . . . . . . .1 分

则 S (0,0, a) , C (a, a,0) , D(0,3a,0) (a ? 0) , ∵ SA ? AB ? a 且 SA ? AB ,∴设 E ( x,0, a ? x) 其中 0 ≤ x ≤ a , ∴ DE ? ( x, ?3a, a ? x) , SC ? (a, a, ?a) ,

??? ?

??? ?

. . . . . . . . . . . . . . . .2 分

??? ? ??? ? 假设 DE 和 SC 垂直,则 DE ? SC ? 0 ,
即 ax ? 3a 2 ? a 2 ? ax ? 2ax ? 4a 2 ? 0 ,解得 x ? 2a , 这与 0 ≤ x ≤ a 矛盾,假设不成立,所以 DE 和 SC 不可能垂直. (2)∵E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B) ,∴ E ( a,0, a) . . . . . . . . .4 分

2 3

1 3

设平面 SCD 的一个法向量是 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 平面 CDE 的一个法向量是 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

? ? ?

?? ?

?? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ?n1 ? CD ? 0 ∵ CD ? (?a,2a,0) , SD ? (0,3a, ?a) ,∴ ? ?? , ? ??? ? ? ?n1 ? SD ? 0

? ? ? ??ax1 ? 2ay1 ? 0 ? x ? 2 y1 即? ,即 ? 1 ,取 n1 ? (2,1,3) , ?3ay1 ? az1 ? 0 ? z1 ? 3 y1
?? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 2 ?n2 ? CD ? 0 1 ∵ CD ? (?a,2a,0) , DE ? ( a, ?3a, a) ,∴ ? ?? , ? ???? 3 3 n ? DE ? 0 ? ? 2
? ? ax2 ? 2ay2 ? 0 ?? ? ? x2 ? 2 y2 ? 即 ?2 ,即 ? ,取 n2 ? (2,1,5) , 1 ax2 ? 3ay2 ? az2 ? 0 ? z 2 ? 5 y2 ? 3 ?3
设二面角 S ? CD ? E 的平面角大小为 ? ,由图可知 ? 为锐角,

. . . . . . . . . . . .6 分

. . . . . . . . . . . .8 分

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? n1 ? n2 4 ? 1 ? 15 2 105 ? ? ?? ? ? ∴ cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ? , ? 21 | n1 | ? | n2 | 14 ? 30
即二面角 S-CD-E 的余弦值为

2 105 . 21

. . . . . . . . . . . .10 分


赞助商链接

江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WO...

江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版) - 2016—2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数学 注意事项: 1.本试卷共 4 页.满分 160 分,考试...

2017届江苏省苏州市高三上学期期中调研考试数学试题(WO...

2017届江苏省苏州市高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016—2017 学年第一学期高三期中调研试卷 数学 注意事项: 1.本...

(数学)江苏省苏州市2017届高三上学期期中数学试卷 Word...

(数学)江苏省苏州市2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析 - 一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分) 1.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|﹣1<x...

江苏省苏州市2017届高三调研测试数学试题(WORD版,含答...

江苏省苏州市2017届高三调研测试数学试题(WORD版,含答案) - 苏州市 2017 届高三第一学期期末调研数学试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 ...

...届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc

江苏省苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。江苏省苏北四市( 淮安、宿迁、连云港、徐州...

...学期期中基础性检测考试数学试题Word版含答案.doc

江苏省无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测考试数学试题Word版含答案.doc - 数学 一、填空题 (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把...

江苏省七校2017届高三上学期期中联考试题 数学Word版含...

江苏省七校2017届高三上学期期中联考试题 数学Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。2017 届高三七校联考期中考试数学试卷第Ⅰ卷 说明:本卷满分为 160 分....

江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编:立体...

江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编:立体几何 Word版含答案 - 江苏省 13 市 2017 高三上学期考试数学试题分类汇编 立体几何 一、填空题 1、 (南京...

...中学2017届高三期中考试数学试题Word版含答案.doc

南京师范大学附属中学2017届高三期中考试数学试题Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。高三年级期中考试 数学试卷一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5...

...高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案.doc

江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。2017 届高三上学期数学期中测试(理科)本试卷分为数学 I(必做题)...