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平面向量的基本概念及线性运算基础+复习+习题+练习)


课题:平面向量的概念及其线性运算
考纲要求:①了解向量的实际背景 ②理解平面向量的概念及向量相等的含义.
③理解向量的几何表示 ④掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ⑤掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. ⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义.

教学重点:向量的概念和向量的加法和减法法则. 教材复习 1. 有关概念:
名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 相反向量 与向量 a 既有 又有 定义 的量叫做向量, 向量的大小叫做向量的 (或称 . ) 的向量叫做零向量,其方向是 , 且长度 的,零向量记作

的向量, 叫做 a 方向上的单位向量, 记作 a0 ,则称这两个向量平行或共线,规

如果两个向量的有向线段所在的直线 定零向量与任一向量 . 长度 长度 且方向 且方向 的向量. 的向量.

2. 向量的线性运算:加法(减法)法则: ?1? 三角形法则 ; ? 2 ? 平行四边形法则; C D B

b
A

a ?b
C
A

b
a?b a ?b
B

a

AB ? BC ? AC ( BC ? AC ? AB )
3. 向量共线的判定定理和性质定理:

a AB ? AC ? AD
,则 b 与 a 共线.

?1? 判定定理:


a ? 0 ,若存在一个实数 ? 使得

? 2 ? 性质定理:若 b 与非零向量 ....a 共线,则存在一个实数 ? ,使得
b ∥ a a ? 0 ? 存在 ? ? R ,使得

? a ? 0? ? b ∥ a ? a ? 0 ?

?

?

? a ? 0?

.

4. 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的 任一向量 a , 一对实数 ?1 , ?2 , 使 , 其中, 不共线的向量 e1 , e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组 .

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量, 也就是利用已知向量表示未知向量,其实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向 量的加减和数乘运算. 不会学会,会的做对. ! 竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.
251

基本知识方法 1. 充分理解向量的概念和向量的表示; 2. 数形结合的方法的应用; 3. 用基底向量表示任一向量唯一性; 4. 向量的特例 0 和单位向量,要考虑周全; 5. 用好“封闭折线的向量和等于零向量” ; 6. 由共线求交点的方法:待定系数 ? , ? .

典例分析:
考点一 向量的基本概念

问题 1.判断下列命题是否正确,不正确的说明理由.

?1? 若向量 a 与 b 同向,且 a ? b ,则 a ? b ; ? 2 ? 若向量 a ? b ,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; ? 3? 对于任意向量若 a ? b 且 a 与 b 的方向相同,则 a ? b ;
? 4 ? 由于零向量 0 方向不确定,故 0 不能与任意向量平行; ? 5? 向量 a ∥b ,则向量 a 与 b 方向相同或相反; ? 6 ? 向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A, B, C, D 四点共线; ? 7 ? 起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量. ?8? 若 a ∥b ,且 b ∥ c ,则 a ∥c ? 9 ? 若 ? , ? ? R ,且 ? a ? ?b ,则 a 与 b 共线.

?10?

AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件.

考点二 向量的线性运算

问题 2. 在 △ ABC 中,AB ? c ,AC ? b . 若点 D 满足 BD ? 2DC , ?1?( 08 全国Ⅰ文)
则 AD ?

A.

2 1 b? c 3 3

B.

5 2 c? b 3 3

C.

2 1 b? c 3 3

D.

1 2 b? c 3 3

? 2 ? 若点 O 为 △ ABC 的外心,且 OA ? OB ? OC ,
则 △ ABC 的内角 ?C ?

不会学会,会的做对. !

竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.

252

? 3? ( 03 新课程) O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P
满足 OP ? OA ? ? (

A. 外心

AB AC ? ), ? ?[0, ??) ,则 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的 | AB | | AC | B. 内心 C. 重心 D. 垂心

? 4 ? ( 07 江西)如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,
过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不同的 两点 M ,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN , 则 m ? n 的值为

A

N
B

O

C

M

, , OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120? ,OA ? 5?( 07 陕西)如图,平面内有三个向量 OAOB
与 OC 的夹角为 30 ? ,且 OA ? OB ? 1 , OC ? 2 3 .若

OC ? ?OA ? ?OB ? ?, ? ? R ? ,
则 ? ? ? 的值为

C B

O

A

不会学会,会的做对. !

竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.

253

? 6 ? ( 09 安徽文 ) 在平行四边形 ACBD中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 或
AC ? ? AE ? ? AF ,其中 ? , ? ? R ,则 ? ? ? ?

问题 3.

( 07 届高三石家庄模拟)如图,在 △ ABC 中,

A

点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN ? 2 NC , AM 与 BN 相交于点 P ,求 AP : PM 的值

N
P B M

C

考点三 向量的共线问题 问题 4. ?1? ( 08 海南文)平面向量 a , b 共线的充要条件是 A. a , b 方向相同; B. a , b 两向量中至少有一个为零向量; C . ?x ? R , b ? ? a ; D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0 .

? 2 ? ( 07 洛阳模拟)设 e1, e2 是两个不共线的向量,若 a ? 2e1 ? e2 与 b ? e1 ? ?e2 共线,
则实数 ? ?

不会学会,会的做对. !

竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.

254

课后作业:

? 数 m 和向量 a, b ? m ? R ? ,若 ma ? mb ,则 a ? b ;③ ma ? nb ? m, n ? R, a, b ? 0 ? ,

1. 考查下列四个命题:①对于实数 m 和向量 a, b ,恒有 m a ? b ? ma ? mb ;②对于实

?

则 m ? n ;④ a ? b , b ? c ,则 a ? c ,⑤若 a ∥b ,则存在唯一的 ? ? R ,使得 b ? ? a ; ⑥ 以 O 为 起 点 的 三 个 向 量 a, b, c 的 终 点 A, B, C 在 同 一 直 线 上 的 充 要 条 件 是

c ? ? a ? ?b ? ?, ? ? R, ? ? ? ? 1? .则其中正确的命题的序号分别是

2. 已知 △ ABC 中, O 是 △ ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ? 0, 则 O 是 △ ABC 的 A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心

3. 若 A, B, C , D 是平面内的任意四点,给出下列式子:① AB ? CD ? BC ? DA ;
② AC ? BD ? BC ? AD ;③ AC ? BD ? DC ? AB .其中正确的有: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 设 a, b 为非零向量,则下列命题中,真命题的个数是______
① | a ? b |?| a ? b |? a 与 b 有相等的模; ② | a ? b |?| a | ? | b |? a 与 b 的方向相同; ③ | a | ? | b |?| a ? b |? a 与 b 的夹角为锐角; ④ | a ? b |?| a | ? | b |?| a |?| b | 且 a 与 b 方向相反.

不会学会,会的做对. !

竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.

255

5. 若非零向量 a,b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 b 所成的角的大小为

6. 向量 | a |? 8,| b |? 12 ,则 | a ? b | 的最大值和最小值分别是

7. 设 e1 , e2 是不共线的向量, e1 ? 4e2 与 ke1 ? e2 共线,则实数 k 的值是

1 8. 已知 a, b 是两个不共线的非零向量,它们的起点相同,且 a, tb, (a ? b) 三个向量的终 3
点在同一条直线上,求实数 t 的值.

9. 已知四边形 ABCD 的两边 AD, BC 的中点分别是 E , F ,求证: EF ?

1 ( AB ? DC ) 2

走向高考:
10. ( 06 全国Ⅰ)设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a2 ? a3 ? 0
如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,

满足 bi ? 2 ai ,且 ai 顺时针旋转 30 ? 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则

不会学会,会的做对. !

竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.

256

A. ?b1 ? b2 ? b3 ? 0 ; B. b1 ? b2 ? b3 ? 0 ; C. b1 ? b2 ? b3 ? 0 ; D. b1 ? b2 ? b3 ? 0

11. ( 05 山东)已知向量 a, b ,且 AB ? a ? 2b , BC ? ?5a ? 6b , CD ? 7a ? 2b
则一定共线的三点是: A. A, B, D

B. A, B, C

C. B, C, D

D. A, C, D

12. ( 07 全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2DB ,

1 CD ? CA ? ? CB 则 ? ? 3

A.

2 1 B. 3 3

C. ?

1 2 D. ? 3 3

13. ( 07 北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,
且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么

A. AO ? OD D. 2 AO ? OD

B. AO ? 2OD

C. AO ? 3OD

14. ( 05 全国Ⅰ) △ ABC 的外接圆的圆心为 O ,两条边上的高的交点为 H ,

OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m ?

15. ( 06 江 西 )已 知等 差数 列 ?an ? 的 前 n 项 和为 Sn , 若 OB ? a ,且 ? a 1 OA 2 0 0 OC

A ,B , C 三点共线(该直线不过点 O ) ,则 S200 等于
A. 100 B. 101 C. 200 D. 201
竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.
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不会学会,会的做对. !

16. ( 06 福建) 已知 OA ? 1 ,OB ? 3 , OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ?AOB 内, 且 ?AOC ? 30? ,
设 OC ? mOA ? nOB

? m, n ? R ? ,则 n

m

? A.

1 3 B. 3 C. D. 3 3 3

D

C

17. ( 06 上海文)在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 A. AB ? DC B. AD ? AB ? AC C. AB ? AD ? BD D. AD ? CB ? 0
A B

18. ( 08 广东)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,
AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ?

A.

1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

D.

1 2 a? b 3 3

19. ( 06 湖南文)如图: OM ∥ AB ,点 P 由射线 OM 、线段 OB 及 AB 的延长线围成
的阴影区域内(不含边界).且 OP ? xOA? yOB ,则实数对 ? x, y ? 可以是 1 3 1 3 2 2 1 7 A. ( , ) B. (? , ) C. (? , ) D. (? , ) 4 4 4 4 3 3 5 5

B

M O A

不会学会,会的做对. !

竹笋虽然柔嫩,但它不怕重压,敢于奋斗、敢于冒尖.

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