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2017届江西抚州市七校高三理上学期联考数学试卷(带解析)


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2017 届江西抚州市七校高三理上学期联考数学试卷 (带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题
2 1.若集合 M ? ? x ? N | x ? 6? , N ? x | x ? 11x ? 18 ? 0 ,则 M ? N 等于(

?

?



A. ?3,4,5? C. ?x | 3 ? x ? 5?

B. ?x | 2 ? x ? 6? D. ?2,3,4,5?

2. A, B, C 三个学生参加了一次考试, A, B 的得分均为 70 分, C 的得分为 65 分.已 知命题 p : 若及格分低于 70 分,则 A, B, C 都没有及格.在下列四个命题中,为 p 的逆 否命题的是( )

A.若及格分不低于 70 分,则 A, B, C 都及格 B.若 A, B, C 都及格,则及格分不低于 70 分 C.若 A, B, C 至少有一人及格,则及格分不低于 70 分 D.若 A, B, C 至少有一人及格,则及格分高于 70 分 3.设 f ? x ? ? g ? x ? ? 为( A. x
3

?

x ?1

x

2tdt , x ? R ,若函数 f ? x ? 为奇函数,则 g ? x ? 的解析式可以

) B. 1 ? x D. xe
x

C. cos x

4.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 b cos A ? a cos B ? c2 , a ? b ? 2 , 则 ?ABC 的周长为( A.7.5 C.6 ) B.7 D.5
试卷第 1 页,总 5 页

5.在正项等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2a5 ? a9 ,且 a5 ? a6 ? a7 ? 18 ,则(
2



A. a1 , a2 , a3 成等比数列 C. a3 , a4 , a8 成等比数列 6.若 sin ? x ? A.

B. a4 , a6 , a9 成等比数列 D. a2 , a3 , a6 成等比数列 )

? ?

?? 1

?? ? ? ? ,则 tan ? 2 x ? ? 等于( 3? 6? 3 ?
B. ? D. ?

7 9

7 9

4 2 7 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB ? 0, OA ? 5, OB ? 2 5, AB 边上的高线为 OD , 7. 在 Rt ?AOB 中,OA? 点E 位
C. 于线段 OD 上,若 OE ?EA ? A.

4 2 7

??? ? ??? ?

??? ? ???? 3 ,则向量 EA 在向量 OD 上的投影为( 4



3 2 1 2

B.1 D.

C.1 或

1 3 或 2 2

8. 已知函数 f ? x ? 与 f ? ? x ? 的图像如下图所示, 则函数 g ? x ? ?

f ? x? 的递减区间为 ( ex



A. ? 0, 4?

B. ? ??,1? , ? , 4 ? D. ? 0,1? , ? 4, ???

?4 ?3

? ?

C. ? 0, ? 9.将函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

4? 3?
? ?

??

? ? 的图像向左平移 12 个单位,再向上平移 1 个单位, 6?

得到 g ? x ? 的图像.若 g ? x1 ? g ? x2 ? ? 9 ,且 x1 , x2 ?? ?2? , 2? ? ,则 2x1 ? x2 的最大值为 ( A. )

49? 12 25? C. 6

35? 6 17? D. 4
B.
试卷第 2 页,总 5 页

10. 若数列 ?an ? 满足 ? 2n ? 3? an ?1 ? ? 2n ? 5? an ? ? 2n ? 3?? 2n ? 5 ? lg ?1 ?

? ?

1? 且 a1 ? 5 , ?, n?

则数列 ? A.2

? an ? ? 的第 100 项为( ? 2n ? 3 ?
B.3



C. 1 ? lg 99
x

D. 2 ? lg 99
2

11.已知函数 f ? x ? ? 2 ? 5, g ? x ? ? 4x ? x ,给出下列 3 个命题:

p1 : 若 x ? R ,则 f ? x ? f ? ?x ? 的最大值为 16. p2 : 不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集为集合 ?x | ?1 ? x ? 3? 的真子集. p3 : 当 a ? 0 时,若 ?x1, x2 ??a, a ? 2? , f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,则 a ? 3 .
那么,这 3 个命题中所有的真命题是( A. p1、p2、p3 C. p1、p2 B. p2、p3 D. p1 )

? x 2 ? x ? a, x ? 0 ? 12 .已知函数 f ? x ? ? ? 的图像上存在不同的两点 A, B ,使得曲线 1 ? , x ? 0 ? x ?

y ? f ? x ? 在这两点处的切线重合,则实数 a 的取值范围是(
A. ? ??,



? ?

1? ? 4?

B. ? 2, ???

C. ? ?2, ?

? ?

1? 4?

D. ? ??, 2 ? ? ? , ?? ?

?1 ?4

? ?

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13. sin 63 cos18 ? cos 63 cos108 ? _____________.
0 0 0 0

14.设函数 f ? x ? ? ?

? ?1 ? log 6 x, x ? 4 ,则 f ?3? ? f ? 4? ? _____________. 2 ? ? f ? x ?, x ? 4

15 . 在 ?ABC 中 , D 为 线 段 BC 上 一 点 ( 不 能 与 端 点 重 合 ),

?ACB ?
16

?
3

, AB ? 7, AC ? 3, BD ? 1,则 AD ? _____________.

2




2 ?



?an ?
b? n b ?n2,



?bn ?





an ?1 ?

? an?

? bn ,

?

1 n

a ?

?

? 1 1? 2 cn ? 2,n ? ? . a 1 1 ? ,an 1设 n 1bn ? ? an bn ?

bn

则数列 ?cn ? 的前 n 项和为_____________.

评卷人

得分 三、解答题

17 . 已 知 m ? 0 , 向 量 a ? ? m,3m? , 向 量 b ? ? m ?1 , ? 6, 集 合

A ? x | ? x ? m2 ? ? x ? m ? 2 ? ? 0 .
(1)判断“ a / / b ”是“ a ? 10 ”的什么条件; (2)设命题 p : 若 a ? b ,则 m ? ?19 .命题 q : 若集合 A 的子集个数为 2,则 m ? 1 .判 断 p ? q , p ? q , ? q 的真假,并说明理由. 18.已知 ?ABC 的面积为 (1)求

?

?

? ???? 3 ??? AB?AC ,且 AC ? 2, AB ? 3 . 2

sin A ; sin B (2)若点 D 为 AB 边上一点,且 ?ACD 与 ?ABC 的面积之比为 1:3. ①求证: AB ? CD ; ②求 ?ACD 内切圆的半径 r .
19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一 定的危害, 为了给消费者带来放心的蔬菜, 某农村合作社每年投入 200 万元, 搭建了甲、 乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚 种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 P、 种黄瓜的年收入 Q 与投入 a

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(单位: 万元) 满足 P ? 80 ? 4 2a , Q ?

1 a ? 120 .设甲大棚的投入为 x (单位: 万元) , 4

每年两个大棚的总收益为 f ? x ? (单位:万元) (1)求 f ? 50? 的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f ? x ? 最大? 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? an ?1 ,且 a1 , a4 是等比数列 ?bn ? 的前两项,记
2

bn 与 bn ?1 之间包含的数列 ?an ? 的项数为 cn ,如 b1 与 b2 之间包含 ?an ? 中的项为 a2 , a3 ,
则 c1 ? 2 . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?ancn ? 的前 n 项和. 21.已知函数 f ? x ? ? ? x ? a ? e ,其中 a ? R .
x

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 A? 0, a ? 处的切线 l 与直线 y ? 2a ? 2 x 平行,求 l 的方程;
a 2 a (2)若 ?a ??1,2? ,函数 f ? x ? 在 b ? e , 2 上为增函数,求证: e ? 3 ? b ? e ? 2 .

?

?

22 . 记 max ?m, n? 表 示 m, n 中 的 最 大 值 , 如 max 3, 10 ? 10 . 已 知 函 数

?

?

? 1? ? ? f ? x ? ? max ?x 2 ? 1, 2lnx? , g ? x ? ? max ? x ? ln x, ? x 2 ? ? a 2 ? ? x ? 2a 2 ? 4a ? . 2? ? ? ?
(1)设 h ? x ? ? f ? x ? ? 3 ? x ?

? ?

1? 2 ? ? x ? 1? ,求函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上零点的个数; 2?
3 x ? 4a 对 x ? ? a ? 2, ??? 恒成 2

(2)试探讨是否存在实数 a ? ? ?2, ??? ,使得 g ? x ? ? 立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由已知可得: M ? {0,1,2,3,4,5} , N ? (2,9) .所以 M ? N ? ?3,4,5? . 考点:集合的表示方法及交运算. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清 楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常 常是解一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不 等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合 间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题 目. 2.C 【解析】 试题分析:根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题 p :若及格分低于 70 分,则

A, B, C 都没有及格, p 的逆否命题的是:若 A, B, C 至少有 1 人及格,则及格分不低于 70
分.故选:C. 考点:原命题与它的逆否命题之间的关系. 3.B 【解析】 试题分析:

?

x ?1

x

2tdt ? t 2

x ?1 x

? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ,故 f(x) ? g ( x) ? 2 x ? 1 ,逐个检验

选项,带入 g ? x ? ? 1 ? x 显然满足题意,故选 B. 考点:定积分与函数的表达式及奇偶性. 4.D 【解析】 试 题 分 析 : ∵ bc o s A ?
2 a c o ? Bs

c ?a , ?,b ∴ 由 2 余 弦 定 理 可 得 :

b?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? a? ? c 2 ,整理可得:2c2 ? 2c3 ,∴解得:c ? 1 ,则 ?ABC 2bc 2ac

的周长为 a ? b ? c ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,故选:D. 考点:余弦定理在解三角形中的应用. 5.B 【解析】
2 试题分析:设等差数列公差为 d ? 0 ,由 a1 ? 2a5 ? a9 得: a1 ? a1 ? a9 ? a9 ? a1 ,又各项

2

d ?1, 均为正数, 所以 a1 ? 1, 再由 a5 ? a6 ? a7 ? 18 , 可得: 从而易得: 3a 6 ? 18 ,a 6 ? 6 ,
故 a n ? n ,易知 a4 , a6 , a9 成等比数列,所以选 B.
答案第 1 页,总 11 页

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考点:等差数列、等比数列运算. 6.D 【解析】 试题分析: 由 sin ? x ?

? ?

?? 1

? 2 2 ? 2 易得: ,所以 tan(x ? ) ; cos(x ? ) ?? ?? ?? , 6 3 6 4 6? 3
?

2 tan(x ? ) ?? ? ? 6 ? ? 4 2 ,故选 D. tan ? 2 x ? ? ? tan[2( x ? )] ? ? 3? 7 6 ? 1 ? tan2 ( x ? ) 6
考点:三角恒等变换. 7.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

OA ? OB ? 0, 所



OA ? OB, AB ? 5



1 1 OA ? OB S△OAB= ?AB?OD= ?OA ?OB , 所 以 OD ? ?2 . 因 为 2 2 AB 3 3 3 OE ? EA ? OE ? EA ? c o ?D s E ? A ,所以 OE ? ED ? , (2 ? ED ) ? ED ? , 所以 4 4 4 1 3 即 ED ? 或 ,故选项为 D. 2 2
考点:向量的数量积. 8.D 【解析】

(4, ? ?)时 , f ?( x) ? f ( x) ? 0 , 而 试 题 分 析 : 结 合 图 象 : x? (0,1 )和 x ?

g?(x) ?

f ?(x) ? f ( x) (4, ? ?) (0,1) ,故 g(x) 在 , 递减,故选:D. ex

考点:函数的单调性. 9.A 【解析】 试题分析: 由题意得 g ( x) ? 2 sin[ 2( x ?

?
12

)?

?
6

] ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) ?1 , 故 g(x) m a x ?3,

? g ( x1 ) ? 3 ? 由 g ( x1 ) g ( x2 ) ? 9 , 得 ? , 由 g( x) ? 2 s i n2(x ? ) ? 1 ? 3 得 g(x) , min ? 1 3 ? g ( x2 ) ? 3

2x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,



x?

?
12

? k? , k ? Z ,



x 2 ?[?2? ,2? ]





x1、x 2 ? ?

?

49? ,故选 A. 12

23? 11? ? 13? 13? 23? ,? , , , 故当 x1 ? , x2 ? ? 时 2x1 ? x2 最大,即 2x1 ? x2 12 12 12 12 12 12

考点:三角函数图象与性质. 10.B
答案第 2 页,总 11 页

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【解析】 试 题 分 析 : 由

? 2n ? 3? an?1 ? ? 2n ? 5? an ? ? 2n ? 3?? 2n ? 5? lg ? ?1 ?
?

1? ? 可 得 : n?

an ?1 an an 1 1 ? ?l g 1? ( ) , 记 bn ? 1? ) , 由 累 加 法 得 : , 有 b n ?1 ? bn ? l g ( 2n ? 5 2n ? 3 n 2n ? 3 n

? a ? bn ? lgn ? 1 ,数列 ? n ? 的第 100 项为 lg100? 1 ? 3 ,故选 B. ? 2n ? 3 ?
考点:递推数列及数列求和. 11.A 【解析】 试 题 分 析 : ∵ 函 数

f ? x ? ? 2x ? 5, g ? x ? ? 4x ? x2





f ( x) f (? x) ? (2x ? 5)(2? x ? 5) ? 26 ?10 2 x ? 2? x
? 16 ,故 p1 : 若 x ? R ,则 f ? x ? f ? ? x? 的最大值为 16 ,为真命题;在同一坐标系中作出
函数 f

? x? ? 2x

的 图 象 如 下 图 所 示 , 由 图 可 得 : p2 : 不 等 式 ?5 , g ? ?x ? 4 x?2 x

f ? x? ? g ? ?x的解集为集合 ?x | ?1 ? x ? 3? 的真子集,为真命题; p3 : 当 a ? 0 时,若 ?x1, x2 ??a, a ? 2?, f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,则 a ? 3 ,为真命题;故选:A.

考点:命题的真假判断与应用. 【思路点晴】本题考查了简易逻辑、均值不等式、不等式的解集、恒成立等问题,属于中等 题.处理最值问题常考方法有:二次函数的最值、基本不等式求最值、三角换元求最值、导 数法等等,根据所给函数的结构合理选择;解不等式问题常用方法:借助单调性解不等式、 数形结合法、对称法等等;而恒成立问题往往转化为最值问题. 12.C 【解析】

答案第 3 页,总 11 页

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x ? 0 时, f ?( x ) ? 试题分析: f ?( x) ? 2 x ? 1 ;x ? 0 时,

1 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 且 x1 ? x2 , x2

当 x1 ? x2 ? 0 或 0 ? x1 ? x2 时,f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) , 故 x1 ? 0 ? x2 , 当 x1 ? 0 时, 函数 f(x) 在 点 A(x1,y1) 处 的 切 线 方 程 为 y - (x1 ? x1 ? a) ? (2x1 ? 1)(x ? x1 ) , 即
2 处的切线方程为 y ? (2x1 ? 1) x ? x1 ? a; 当 x 2 ? 0 时 , 函 数 f(x)在 点 B(x 2,y 2) 2

? 1 ? x 2 ? 2 x1 ? 1 1 1 1 2 ? , y - (- ) ? 2 ( x ? x2 ) ,即 y ? 2 x ? ,两切线重合的充要条件是 ? 2 x2 x2 2 x2 x2 2 ?? ? ? x ? a 1 ? ? x2
1 ?1 2 1 1 1 2 x2 ? (0,1) , 消 去 x1 得 : ? ( ?t ,则 且 x1 ? (? ,0) ? ,令 )2 ? a ? ? 2 x2 x2 2 x2
a? t 4 ? 2t 2 ? 8t ? 1 t 4 ? 2t 2 ? 8t ? 1 ,构造函数 g(t) , t ? (0,1) , g?(t) ? ? t3 ? t ? 2 , 4 4

g??(t) ? 3t 2 ? 1 ? 0 ? t ?

3 3 3 ,所以 g ?(t ) 在 单调递增,又 (0, ) 单调递减,在 ( , 1 ) 3 3 3

1 ? ( ? 2, ) , g?(0) ? 0, g ?(1) ? 0, 所以 g?(x) ? 0, (0,1) 单调递减, 所以 g(x ) 在 所以 g(x) 4 1 ( ? 2, ) ,故选 C. 即a? 4
考点:导数的几何意义. 【方法点晴】 本题主要考查了导数的几何意义及函数的值域问题, 属于难题. 求曲线的切线 方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点 P( x0 , y0 ) 及斜率,其 求 法 为 : 设 P( x0 , y0 ) 是 曲 线 y ? f ( x) 上 的 一 点 , 则 以 P 的 切 点 的 切 线 方 程 为 :

y ? y0 ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) .若曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴(即导数不
存在)时,由切线定义知,切线方程为 x ? x0 .

13.

2 2

【解析】

18? ? cos63 ( ? ? sin 18?) ? sin(63? ? 18?) ? sin 45? ? 试题分析:原式 ? sin 63?cos

2 . 2

答案第 4 页,总 11 页

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考点:诱导公式与两角差的正弦公式. 14. 4 【解析】 试题分析: f( 3) ? f (9) ? 1 ? log6 9, f(4) ? 1 ? log6 4 , f ?3? ? f ? 4? ? 2 ? log6 36 ? 4 . 考点:分段函数与对数运算. 15. 7 【解析】 试题分析:在 ?ABC 中, cos

?

AC2 ? BC 2 ? AB2 2 ,化简得 BC ? 3BC ? 2 ? 0 ,得 ? 3 2 ? AC ? BC

D在 = ? 1 BC ? 1 ( 舍 去 ) BC ? 2 , 所 以 C D = B C - B , A C D 中 1 AD 2 ? 9 ? 1 ? 2 ? 1? 3 ? ? 7 ,则AD= 7,故答案为 7 . 2
考点:余弦定理. 【方法点晴】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知 条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条 件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工 具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果. 16. 2
n?2

?4
2 2 2 2

【解析】

a ? b ? an ? bn a ? bn 1 1 1 1 1 试题分析: , ? ? n n ? ( ? )? n 2 2 an?1 a ? b ? a ? b 2anbn 2 an bn 2anbn n n n n a ? b ? an ? bn a ? bn 1 1 1 1 1 同理易得: , ? ? n n ? ( ? )? n b n?1 a ? b - a 2 ? b 2 2anbn 2 an bn 2anbn n n n n
两式相加得:
2 2 2 2

1 a n?1

?

1 1 1 1 1 ? ? ,故 { ? } 为常数列,所以 cn ? 2 ? 2n ? 2n ?1 ,所 bn ?1 an bn a n bn
n?2

以数列 ?cn ? 的前 n 项和为 2

?4 .

考点:递推数列及前 n 项和. 【方法点晴】 本题考查了递推数列及数列求和知识,属于中等题.本题充分体现了凑形的思想, 由 Cn 的形式,对已知两个递推关系取倒数,二者相加即可得到相邻两项的关系,前后项相 等,故新数列为常数列,从而明确了新数列的通项公式,新数列为等比数列,然后利用等比 数列前 n 项和公式就可以得到答案. 17. (1)充分不必要条件; (2) p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? q 为真命题. 【解析】 试题分析: (1)由平行条件可得 m ? 1 ,再由 a ? 10 可得 m= ? 1 ,故前者是后者的充分

答案第 5 页,总 11 页

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非必要条件; (2)若 a ? b , m ? ?19 , p 为真命题,若集合 A 的子集个数为 2 ,∴ m ? 1 或 ?2 ,故 q 为假命题,∴ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? q 为真命题. 试题解析: 解: (1) 若 a / /b , 则 6m ?3m ? , . . . . . . . . . . . . . 1 m ? 1 ? ,∴ m ? 1( m ? 0 舍去) 分 此时 a ? ?1,3? , a ? 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 若 a ? 10 ,则 m ? ?1 ,若“ a / / b ”是“ a ? 10 ”的充分不必要条件. . . . . . . . . . . .4 分 (2) 若a ?b, 则 m ?m ? 1?? 1 , ∴ p 为真命题, . . . . . 5 8m ?0 ,∴ m ? ?19( m ? 0 舍去) 分
2 由 x?m

?

? ? x ? m ? 2? ? 0 得 x ? m

2

,或 x ? 2 ? m ,若集合 A 的子集个数为 2 ,则集合 A

中只有 1
2 个元素,则 m ? 2 ? m ,∴ m ? 1 或 ?2 ,故 q 为假命题, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

分 ∴ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? q 为真命题. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 考点:简易逻辑知识. 18. (1) 【解析】 试题分析: (1)由面积公式确定 ,再由余弦定理确定 ,然后结合正弦定理即可得到;(2) ①由勾股定理易得二者垂直;②利用面积公式建立半径方程,解之即可. 试题解析: ( 1 ) ∵ ?ABC 的 面 积 为

3 ?1 7 ; (2)①证明见解析;② r ? . 2 2

1 3 bc sin A ? bc cos A , ∴ t a nA ? 2 2

3, ∴

A?

?
3

. . . . .3 分
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 9 ? 6 ? 7 ,∴ a ?

. . . . . . . . . . . . .5 分 7,

∴由余弦定理得

sin A a 7 ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 sin B b 2

(2)①∵ ?ACD 与 ?ABC 的面积之比为 AD : AB ? 1: 3 ,∴ AD ? 1 , . . . . . . . . . . . . . . .8 分 由余弦定理得 CD ? 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 ∴ AD ? CD ? AC ,∴ AD ? CD 即 AB ? CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分
2 2 2

答案第 6 页,总 11 页

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②(法一)在 Rt ?ADC 中, r ?

AD ? CD ? AC 3 ?1 . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? 2 2 3 ?1 1 1 C ?r ? ?1? 3 得 r ? . . . . . . . . . . . .12 分 2 2 2

(法二)设 ?ACD 的周长为 C ,由

考点:解三角形. 19. (1) 277.5 , (2)投入甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大,且最大收益 为 282 万元. 【解析】 试题分析: (1) 由题意, 把 50 代入所给函数求出即可; (2) 每年两个大棚的总收益为 f ? x ? , 确定函数的定义域,利用二次函数图象在闭区间上求最值即可. 试题解析: (1)因为甲大棚投入 50 万元,则乙大棚投入 150 万元, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分

1 ?150 ? 120 ? 277.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 4 1 1 (2) f ? x ? ? 80 ? 4 2 x ? ? 200 ? x ? ? 120 ? ? x ? 4 2 x ? 250 , 4 4
所以 f ? 50 ? ? 80 ? 4 2 ? 50 ? 依 题 意 得

? x ? 20 ? 20 ? x ? 180 ? ?200 ? x ? 20
2 ?x ?. 5 . . . . .8 分 0 ?x 2 ?0





f

? ??

1 x 4

4 ?

2x??

1

8

0

令t ?

? x ?? ? 2 5, 6 5 ? ,
1 2 1 t ? 4 2t ? 250 ? ? t ? 8 2 4 4

则 f ? x? ? ?

?

?

2

? 282 ,

当 t ? 8 2 ,即 x ? 128 时, f ? x ?max ? 282 , 所 以 投 入 甲 大 棚 128 万 元 , 乙 大 棚 72 万 元 时 , 总 收 益 最 大 , 且 最 大 收 益 为 282 万 元. . . . . . . . . . .12 分 考点:函数的实际应用问题. 20. (1) an ? 2n ? 1, bn ? b1 ? q 【解析】
2 试题分析: (1)S n ? n ? an ? 1, S n ?1 ? ? n ? 1? ? an ?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式作差得 an ? 2n ? 1, 2

n?1

(2) Tn ? Sn ? n? ? 3n ; 3n?1 ? n2 ? 2n .

(2)利用错位相减法求和即可. bn ? b1 ? qn?1 ? 3n ;
2 试题解析: (1)由题意知, S n ? n ? an ? 1, S n ?1 ? ? n ? 1? ? an ?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式作差得 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 an ? 2n ?1 ? an ? an?1 ,即 an?1 ? 2n ?1? n ? 2? .

答案第 7 页,总 11 页

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所以 an ? 2n ? 1,则 a1 ? 3, a4 ? 9 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 所以 b1 ? 3, b2 ? 9, q ? (2) bn ? 3 , bn?1 ? 3
n

b2 ? 3 ,所以 bn ? b1 ? qn?1 ? 3n . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 b1
, 因为数列 ?an ? 是由连续的奇数组成的数列, 而 bn 和 bn ?1 都是奇数,

n?1

所 以 bn 与 bn ?1 之 间 包 含 的 奇 数 个 数 为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 cn ? 3n ?1.

3n ?1 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1 , 所 以 2

an cn ? ? 2n ? 1? ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? 3n ? ? 2n ? 1? .设 ?? 2n ? 1? 3n ? 的前 n 项和为 Tn ,

Tn ? 3? 31 ? 5? 32 ??? ? 2n ?1? 3n ,①
3Tn ? 3? 32 ? 5 ? 33 ??? ? 2n ?1? 3n?1 ,②
9 ? 3n ?1 ①---②,得 ?2Tn ? 9 ? 2 . . . . . . . . .11 ? ? 2n ? 1? 3n ?1 ? ?2n? 3n ?1 ,则 Tn ? n? 3n?1 , 1? 3
分 所以数列 ?ancn ? 的前 n 项和为 Tn ? Sn ? n? 3
n?1

. . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? n2 ? 2n .

考点:递推数列及前 项和. 【思路点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公 比为负数的情形;(2)在写出“ Sn ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“ Sn ? qSn ”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的 公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 21. (1) y ?

4 1 x? ; (2)证明见解析. 3 3

【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义确定切线的斜率,建立方程,解之即可; (2)由题可得

f ? ? x ? ? ? x ? a ?1? ex ? 0 对 x ? ? b ? e a , 2 ? 恒成立,即 x ? ?a ? 1 对 x ? ? b ? e a , 2 ? 恒成立,
即 b ? e ? a ? 1对 a ??1, 2? 恒成立,构造新函数,研究单调性求最值即可.
a

试题解析: (1)∵ f ? ? 0? ? a ?1 ? 2a ? 2 ,∴ a ? 3 或

1 . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 3

x 当 a ? 3 时, f ? x ? ? ? x ? 3? e , f ? 0? ? 3 ,∴ l 的方程为: y ? 4 x ? 3 . . . . . . . . . . . .4 分

答案第 8 页,总 11 页

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当a ? 分

1? x 1 1 4 1 ? 时, f ? x ? ? ? x ? ? e , f ? 0 ? ? ,∴ l 的方程为: y ? x ? . . . . . . . . . . . . . . .6 3 3 3 3? 3 ?

a (2)由题可得 f ? ? x ? ? ? x ? a ? 1? ex ? 0 对 x ? b ? e , 2 恒成立, . . . . . . . . . . . . . . .7 分 a x ∵ e ? 0 ,∴ x ? a ? 1 ? 0 ,即 x ? ?a ? 1 对 x ? b ? e , 2 恒成立,

?

?

?

?

∴ ?a ? 1 ? b ? e ,即 b ? e ? a ? 1对 a ??1, 2? 恒成立,
a a

设 g ? a ? ? e ? a ?1, a ??1,2? ,
a a 2 则 g ? ? a ? ? e ?1 ? 0 , ∴ g ? a ? 在 ?1, 2? 上递增, ∴ g ? a ?max ? g ? 2? ? e ? 3 , ∴b ? e ?3.
2

又 b ? e ? 2 ,即 b ? e ? a ? 1对 a ??1, 2? 恒成立, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
a a

考点:导数的应用. 22. (1) 2 ; (2)存在, ? 【解析】

? ln 2 ? 1 ? , 2? . ? 4 ?

? x ? 1 ? 2 ln x , 试题分析: (1) 设 F(x) 对其求导, 及最小值, 从而得到 f ( x) 的解析式,
2

进一步求值域即可; (2)分别对 a ? 0 和 a ? 0 两种情况进行讨论,得到 g( x) 的解析式,进 一步构造 h ( x) ,通过求导得到最值,得到满足条件的 a 的范围. 试题解析: (1) 设 F ? x ? ? x ?1? 2 n l , x F?? x 2? ? x ?
2

1 ?? x 1 ? 2 2? x ? ? x x

?, . . . . . . . . . . . . . 1

分 令 F ? ? x ? ? 0 , 得 x ? 1, F ? x ? 递 增 ; 令 F ? ? x ? ? 0 , 得 0 ? x ? 1 F ,? 减, . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

? x递

n ∴ F ? x ?min ? F ?1? ? 0 , ∴ F ? x? ? 0 , 即 x ? 1 ?2l
2

x, ∴ f ?x ? ? x

2

. . . . . . . . . . . . 3 ?1 .

分 设 G ? x? ? 3? x ?

? ?

1? 2 ? ? x ? 1? ,结合 f ? x ? 与 G ? x ? 在 ? 0,1? 上图象可知,这两个函数的图象 2?

在 ? 0,1? 上有两个交点,即 h ? x ? 在 ? 0,1? 上零点的个数为 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (或由方程 f ? x ? ? G ? x ? 在 ? 0,1? 上有两根可得)
答案第 9 页,总 11 页

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(2)假设存在实数 a ? ? ?2, ??? ,使得 g ? x ? ?

3 x ? 4a 对 x ? ? a ? 2, ??? 恒成立, 2

3 ? x ? ln x ? x ? 4a ? 2 ? 则? ,对 x ? ? a ? 2, ??? 恒成立, 1? 3 2 2 ?? x 2 ? ? ? a ? ? x ? 2a ? 4a ? x ? 4a ? 2? 2 ? ?
1 ? ? ln x ? 2 x ? 4a 即? , 对 x ? ? a ? 2, ??? 恒成立 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 ?? x ? 2 ? ? x ? a ? ? 0 ?
分 ①设 H ? x ? ? ln x ?

1 1 1 2? x x, H ? ? x ? ? ? ? , 2 x 2 2x

令 H ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 2, H ? x ? 递增;令 H ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 2, H ? x ? 递减, ∴ H ? x ?max ? h ? 2? ? ln 2 ?1 ,

2 , 1 ∴ a? 当 0 ? a ? 2 ? 2 即 ?2 ? a ? 0 时 , 4a ? l n ?

ln 2 ? 1 ,∵ a?0 ,∴4 4

? ln 2 ? 1 ? a ?? ,0? . ? 4 ?
故 当

? 2? ?l n a ?? ,0? ? 4 ?
a?0



1



l xn ?

1 ?x 2

4 a 对

x ?? a ? 2, ???





立, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 当

a?2?2







H ? x?



? a ? 2, ???











1 H ? x ? ? H ? a ? 2 ? ? ln ? a ? 2 ? ? a ? 1 . 2
∵ ? ln ? a ? 2 ? ?

? ?

1 1 1 ?? a ? 1? ? ? ? 0 ,∴ H ? a ? 2? ? H ? 0? ? ln 2 ?1 ? 0 , 2 ? a?2 2

故当 a ? 0 时,ln x ? 分 ② 若

1 x ? 4a 对 x ? ? a ? 2, ??? 恒成立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2
对 x ? ? a ? 2, ??? 恒 成 立 , 则 a ? 2 ? a
2

? x ? 2? ? x ? a2 ? ? 0

, ∴

. . . . . . . . . .11 分 a ???1 ,? . 2 由①及②得, a ? ?

? ln 2 ? 1 ? , 2? . ? 4 ?

答案第 10 页,总 11 页

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故存在实数 a ? ? ?2, ??? ,使得 g ? x ? ? 且 a 的取值范围为 ?

3 x ? 4a 对 x ? ? a ? 2, ??? 恒成立, 2

? ln 2 ? 1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 , 2? . ? 4 ?

分 考点:导数应用. 【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题;利用导数来判断函数的单调性,进一步求最值; 属于难题.本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断 交点个数, 如果函数较为复杂, 可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象. 方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题, 可参变分离, 转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题, 往往可利用参变分离的方法, 转化为求函数最 值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

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