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2013年浙江省高三名校交流模拟卷(理科)数学(含详细解析)2012.4


2012 年浙江省高三名校交流模拟卷 理科数学
一﹑选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 P A.

8.已知 ? 为锐角,则“ sin ? A. 充分必要条件 C. 充分而不必要条件

?

1 1 4 2 且 cos ? ? ”是“ sin 2? ? 3 3 9

”的

(

)

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( )

? {x | y ? 1 ? x , x ? R},集合 P ? {y | y ? 1 ? x , x ? R} ,则
B. P ? Q

( D.

)

9.若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为

P?Q

??

C. P ? Q

?R

P ? CRQ
( )

A.

5 5
m? 1 1 ? x ? m? 2 2

B.

5 2

C.2

D.

5
[x]
,即

2.已知复数 z

? 2 ? i , z 是 z 的共轭复数,则

z ? z
? 3 ? 4i 5
D.

10. 若

(其中

, m 为整数) 则称 m 为离实数 x

最近的整数,记作

[ x] ? m

.设集合

A.

3 ? 4i 5

3. 若 抛 物 线

3 ? 4i 5 2 y ? 2 px( p ? 0)
B.

C.

? 3 ? 4i 5
( )

A ? {( x, y) | f ( x) ? x ? [ x], x ? R}, B ? {( x, y) | g ( x) ? ax2 ? bx, x ? R} ,若集合 A ? B 的子集恰有两个,则 a, b 的
取值不可能是 ... A. ( B. ) C.

上 纵 坐 标 为

2 2

的 点 到 焦 点 的 距 离 为 3, 则 此 抛 物 线 的 方 程 为 :

a ? 5, b ? 1

a ? 4, b ? ?1

a ? ?2, b ? ?1

D.

a ? ?4, b ? 1

A.

y 2 ? 2x

B.

y 2 ? 4x

C.

y 2 ? 8x

D.

y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8x
( )

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知函数 g ( x) 12.若 C15 值为
n?1

4.设 a 是空间中的一条直线, ? 是空间中的一个平面,则下列说法正确的是 A. 过 a 一定存在平面 ? ,使得 ?

? f ( x) ? 1 为奇函数,若 f (1) ? 1 ,则 f (?1) ?



// ?
?b

B. 过 a 一定不存在平面 ? ,使得 ?

??

1 2 ? C15n?2 (n ? N * ) ,则二项式 ( x ? ) n 的展开式中常数项的 x
. . .

C. 在平面 ? 内一定存在直线 b ,使得 a

D. 在平面 ? 内一定不存在直线 b ,使得 a // b

5.某几何体的三视图如图,若各视图均为边长为 2 的正方形,则这个 几何体的体积是 A. ( B. )

13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果是

2 14.若 tan( x ?
正视图 侧视图

y) ? 3 tan(x ? 2 y) ? 3 ,则 tan(x ? y) ?

4 3

8 3

C.

16 3

D.

20 3

15.设袋中有 8 个形状﹑大小完全相同的小球,其中 2 个球上标有数字 0, 3 个球上标有数字 1,另 3 个球上标有数字 2.现从中任取 3 个球,用随机 变量 ? 表示这 3 个球上数字的最大值与最小值之差.则 ? 的数学期望

? x ? y ?1 ? 0 ? 6.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z ? x ? ky 的最小值为 2, ? y?2?0 ?
则 k 的值为 A. ? ( B.0 C.1 D.2 )

E? ?
俯视图 (第 5 题)



(第 13 题)

16.向量 a , b, c , d 满足:

| a |? 1 , | b |? 2 , b 在 a 上的投影为


1 , (a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 , 2

1 2

| d ? c |? 1 ,则 | c | ? | d | 的最大值是

7.已知数列 {an } 共有 8 项,且满足 ai 项和 S 8 A. 37

?{0,1}(1 ? i ? 5) , a j ?{?1,1}(6 ? j ? 8) ,若 {an } 的前 8
( )

17. 已 知 函 数 是

f ( x) ? x 2 ?


4 2 ? x(cos ? ? 1) ? (sin ? ? 1), x ? 0 2 x x

.若

f ( x) ? M

恒成立,则

M

的取值范围

?

4 ,则满足条件的数列 {an } 的个数为
B.38 C.70

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明﹑证明过程或演算过程)

D.322

18.(本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角

A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a ? 3 , cos

A?C 3 . ? 2 3

(1)求 cos

B 的值;

OA, OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S 2 .若 k1 , k , k 2 恰好构成等比数列,求
(2)分别求 b 的取值范围及

AB? AC 的取值范围.

S1 ? S 2 S

的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)设等差数列 {an } 公差为 d ( d

? N * ),等比数列 {bn } 公比为 q ,若 a2 , a3 , a5 分别为 {bn }

的前三项,且

d ?q.
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)若数列 {cn } 满足: b1c1

? b2 c2 ? ?bn cn ? an ,求数列 {cn an } 的前 n 项和 Tn .

22. (本小题满分 15 分)设 (1)若 a 20. (本小题满分 14 分)在如图(1)所示的等腰梯形 分别为 D
/

f ( x) ? ( x ln x ? ax ? a 2 ? a ? 1)e x , a ? ?2 .

? 0 ,求 f (x) 的单调区间;

ABCD/ 中, AB // CD / , AB ? BC ? 2 ,?ABC ? 1200 , E, F , G

(2)讨论

/

C , AE , BC 的中点,现将 ?AED / 沿 AE 翻折至图(2)的位置

1 f (x) 在区间 ( ,?? ) 上的极值点个数; e 1 (3)是否存在 a ,使得 f (x ) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切?若存在,求出所有 a 的值.若不存在,说明理由. e

(点 D 翻至点 D ) H 为 CD 的中点. , (1)求证: DF

// 平面 EGH



(2)当异面直线 EH 与 求二面角 D

AD 所成角为

? 时, 3

图(1)

? AE ? B 的余弦值.

(第 20 题)

图(2)

21. (本小题满分 15 分)设椭圆 C

:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为 a2 b2

直径的圆的周长为

5? .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆相交于

A, B 两点,设直线 OA, l , OB 的斜率分别为 k1 , k , k 2 , (其中k ? 0) . ?OAB

的面积为

S

,以

参考答案及详细解析 一.选择题:1.C 2.A 1.C 化简得: P 3.D 4.C 5.B 6.C 7. B 8. A 9.D 10.B 故选 C 8.A 2.A

若 a j 中有两个 ? 1(即还有一个 1) ,则 a i 中有五个 1,数列种数为 C5 故选 B 由于 ? 为锐角,注意到“ sin ?

5

1 ?C3 ? 3 .综上:数列种数共有 5 ? 30 ? 3 ? 38 .

? {x | x ? 1} , Q ? { y | y ? 0} ,结合数轴可知:只有 C 正确.

?

z ? 2 ? i , z ? 2 ? i ,则

z (2 ? i ) 2 3 ? 4i ? ? .故选 A z 22 ? i 2 5
且 x0

1 1 4 2 或 cos ? ? ”时均有: sin 2? ? “ 3 3 9

” ,反之也成立.不妨设 sin ?

?

1 的解 3



? ? ?1

,设

cos ? ?

3.D 设抛物线上纵坐标为 2 得

2 的点的横坐标为 x0 ,则有: 2 px0 ? 8

?

p ? 3 ,消去 x0 得: p 2 ? 6 p ? 8 ? 0 ,解 2

1 3

的解为

? ? ?2

.结合图像由单调性可知

sin ? ?

1 3



cos ? ?

1 3

的解为:

p ? 2 或 p ? 4 .故此抛物线的方程为 y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8x .故选 D // ?
,故 A 错误

?1 ? ? ? ? 2 ( ?1 , ? 2 关于
故 sin 2?

? 4 2 对称),故 2?1 ? 2? ? 2? 2 ( 2?1 ? 2? 2 ? ? ) ,由于 sin 2? 1 ? sin 2? 2 ? , 4 9
? 1 3


4.C

在 A 选项中,若直线 a 在平面 ? 内,则不存在平面 ? 使得 ? 在 B 选项中,过直线 a 一定存在平面 ? 使得 ?

?

4 2 9

成立,即充分性成立.由于 ? 为锐角,故以上过程可逆推,即必要性也成立.综上得: sin ? “

? ? ,故 B 错误
cos ? ?

在 D 选项中,若直线 a // 平面? ,则在平面 ? 内存在直线 b 使得 a // b ,故 C 错误 只有 C 选项是正确的. 故选 C

1 4 2 ”是“ sin 2? ? 3 9

”的充分必要条件.故选 A

9.D 方法一:如图所示,设双曲线的方程为 5.B 该几何体是以正方体的六条面对角线为边 构成的正四面体,也可看作是正方体被截去四个墙角后留下的 几何体,由间接法计算其体积得: V 故选 B 6.C 方法一:检验选项. 对 A 选项:直线过点 (0,2) 时, z min 对 B 选项:直线过点 (0,2) 时,

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

两焦点分别为 E , F .且 F 关于其中一条渐近线的对称点 为

1 1 8 ? 23 ? 4 ? ? ? 23 ? . 3 2 3
(第 5 题)

A



AF

的中点为 B .因为 B 为 AF 的中点,

O为
O

EF

的中点且 OB

? AF

,故 ?AEF 为直角三角形. 不妨

? ?1 ? 2 ,

z min ? 0 ? 2 , ? 2, ? 4 ? 2 .故选 C
(第 6 题)

? m ? n ? 2a ? ? 2 2 2 设 | AF |? m , | AE |? n ,则有: ? m ? n ? 4c , ?tan?AEF ? m ? b ? n a ?
消去 m, n 可得: b

(第 9 题)

? 2a ,故 c ? 5a ,即: e ? 5 .
中 , | OF

对 C 选项:直线过点 (0,2) 时, z min 对 D 选项:直线过点 (0,2) 时, z min

方法二:在

Rt?OBF

|? c , | OB |? a , | BF |? b . ? OB



?AEF

的中位线,? |

AE |? 2a ,

| AF |? 2b ,故 2b ? 2a ? 2a ,得: b ? 2a , c ? 5a ,即: e ? 5 .故选 D

( ( 方法二: 特殊点带入检验.当 z 取到最值时, 直线必过可行区域中三角形的某个顶点, 故可以把三个顶点 (0,2) , 2,1) , 3,2)
逐一代入检验,结果只有 k 7.B 以aj

? 1 正确.

故选 C

(6 ? j ? 8) 中出现的 ? 1 个数作为对象来讨论.(1)若 a j 中没有 ? 1(即全为 1) a i (1 ? i ? 5) 中只有一个 1, ,则
1 3 1 3 ,则 ?C3 ? 5 .(2)若 a j 中有一个 ? 1 (即还有两个 1) a i 中有三个 1,数列种数为 C5 ?C3 ? 30 .(3)

10.B

分析可知 且当 x ? (?

f (x) 是周期为 1 的周期函数,
1 1 时: f ( x) ? x .作图如下: , ] 2 2

数列种数为 C5

1 2

?

1 2

(第 10 题)

集合 A ? B 的子集恰有两个,即

A ? B 中只有一个元素.注意到 f (x) 与 g (x)

必有一个公共点 (0,0) ,故逐一检验:选项

(| a

? b | ? | a ? b | )= 1 ?
知 ,

A, D 表示的抛物线均与直线 y ? x 相切于原点,且与函数 f (x) 无其余公共点,选项 C 表示的抛物线与 f (x) 相交,但交
点也只有一个. 选项 B 表示的抛物线与 二.填空题: 11.

2 2



1 1 f (x) 相交,交点有两个,分别为 (0,0) 及 ( , ) .故选 B 2 2 1 2 81 56



| d ? c |? 1

D

在 以

C

为 圆 心 , 1 为 半 径 的 圆 上 , 故 当

C, D

共 线 时

|d |

最 大 , 故

(| c | ? | d |) m
17. (??,2 ? 2 方法一:

a =x

2 | c |max ?1 = 3 ? 2

?3 ?3

12. 6 由

13.

y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8x

14.

15.

16. 3 ?

2

17. (??,2 ? 2

2]

2]

11.

f (1) ? 1 得 g (1) ? 2 ,又 g (x) 为奇函数,故 g (?1) ? ?2 , f (?1) ? g (?1) ? 1 ? ?3


12. 6

n ? 1 ? 2n ? 2

,无解舍去.故

(n ? 1) ? (2n ? 2) ? 15

,即

n?4

,

1 (x ? )4 x

展开式通项为:

1 r r Tr ?1 ? C 4 x 4? r (? ) r ? (?1) r C 4 x 4? 2 r ,令 4 ? 2r ? 0 得 r ? 2 ,故常数项值为 6 x 1 1 13.2 初始值 S ? 2 .程序运行一次后得 S1 ? ?3 ,运行二次后得 S 2 ? ? .,运行三次后得 S 3 ? 2 3
,由于 2012 ? 503 ? 4 ,故 S 2012 ? S 4 ? 2 . S 4 ? 2 ,……..(往后依次重复出现前四次的值) 14.

,运行四次后得

4 2 ? x(cos ? ? 1) ? (sin ? ? 1) 2 x x 1 2 2 2 f ( x) ? [( x ? cos ? ) 2 ? ( ? sin ? ) 2 ? ( x ? ) 2 ? 2( x ? ) ? 5] , 2 x x x 2 2 2 2 首先, ( x ? cos ? ) ? ( ? sin? ) 可看作单位圆上点与反比例函数 y ? 上点之间距离的平方,结合图形易得:当 x x ? 2 2 2 x ? 2 , ? ? 时 ( x ? cos ? ) 2 ? ( ? sin ? ) 2 取 到 最 小 值 1. 其 次 , ( x ? ) 2 ? 2( x ? ) ? 5 可 看 作 关 于 4 x x x 2 t ? x ? (t ? 2 2 ) 的二次函数,当 t ? 2 2 ,即 x ? 2 时函数取到最小值 3 ? 4 2 .两式相加即得 f (x) 的最小值 x f ( x) ? x 2 ?
为2?2

1 2

方法一:注意到 x ?

y ? (2 x ? y) ? ( x ? 2 y) ,故

2 ,当且仅当 x ? 2 时取到.故 f (x) ? 2 ? 2 2 ,即 M ? 2 ? 2 2
cos? ? 1 2 2 sin ? 2 (sin? ? 1) 2 ? (cos? ? 1) 2 f ( x) ? ( x ? ) ?( ? ) ? 2 x 2 4

tan(2 x ? y ) ? tan(x ? 2 y ) 1 tan(x ? y) ? ? 1 ? tan(2 x ? y ) tan(x ? 2 y ) 2
2 方法二: tan( x ?
4 ? ? 1 所以 tan( 2 x ? y ) ? tan( 3 y ? ) ? ? cot 3 y ? 3 ,故 tan(x ? y ) ? tan( 3 y ? ) ? 2 4 2
15.

方法二:

y) ? 3 tan(x ? 2 y) ? 3 ,即 tan(x ? 2 y) ? 1 ,即 x ? 2 y ? k? ?

?

81 56

由题知 ?

? 0,1,2 .且 P(? ? 0) ?

2 2 , ? 3 C8 56

P(? ? 1) ?

1 1 1 1 C3 ? C2 ? C3 ? 2 ? C3 ? C32 27 27 , P (? ? 2) ? 1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 1) ? , ? 3 56 56 C8

2 ? 2 2 sin(? ? ) cos? ? 1 2 2 sin ? 2 4 ? (x ? ) ?( ? ) ? 2 x 2 4 ? 数形结合可得:当 x ? 2 , ? ? 时, f (x ) ? 2 ? 2 2 ,即 M ? 2 ? 2 2 4 4 2 2 方法三: f ( x) ? x ? 2 ? x(cos ? ? 1) ? (sin ? ? 1) x x 4 2 1 2 ? x 2 ? 2 ? ( x ? ) ? ( cos ? ? sin ? ) x x x x
? x2 ?
令t ,由

?

81 故 E? ? 0 ? P(? ? 0) + 1 ? P(? ? 1) + 2 ? P(? ? 2) = . 56
16. 3 ?

4 2 1 4 ? (x ? ) ? ? 2 2 2 x x x x

(合一变形后根据三角有界性得到)

2

不妨设向量 a , b, c , d 有相同的起点 O ,终点分别为

A, B, C , D .由 b

在 a 上的投影为

1 2

知a?b?

1 2

? x?

2 (t ? 2 2 ) , g (t ) ? t 2 ? t ? t 2 ? 4 ? 4 , x

(a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 知 : C

在以

AB

为直径的圆上.

故当向量

c 过 AB

中点时,其模最大,此时: | c | =

1 2

? g ' (t ) ? 2t ? 1 ?

1 t2 ? 4

? 4 2 ?1?

1 ?0, 2
上单调递增,故

? g (t ) ? t 2 ? t ? t 2 ? 4 ? 4



t?2 2

g (t ) ? g (2 2 )

.即:

f (x) ? 2 ? 2 2

,即

M ? 2?2 2 .
三.解答题 18.解: (1)? cos( A ? C )

故 {bn } 的前三项为: d ,2d ,4d ,即: q 故 an

? 2 ,又? d ? q ,? d ? 1 ……6 分

A?C 1 ? 1 ? ? ,……3 分 2 3 1 ? cos B ? ? cos( A ? C ) ? ……5 分 3 ? 2 cos 2 a b 2 2 ? .由正弦定理 ,变形得: b ? ,……7 分 sin A sin B sin A

? n ? 1 , bn ? 2 n?1 ……7 分
? 1 时, c1 ? 0 ,
当n

(2).当 n

即:

1 2 2 (2)由 cos B ? ,得: sin B ? 3 3

? 0, n ? 1 ? ? 2 时, bn cn ? an ? an?1 ? 1 ,故 cn ? ? 1 .…9 分 ,n ? 2 ? 2 n?1 ? n ?1 1 2 3 n ?1 c n a n ? n ?1 .故 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ①. 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ②. 2 2 2 2 2

? 0 ? sin A ? 1,? b ? 2 2 ,当且仅当 A ? 900 时,等号成立……9 分
b2 ? c2 ? a2 解法一:由余弦定理得 cos A ? 2bc
故 ,

由①-②得:

AB ? AC ? bc cos A ?
2

b2 ? c2 ? 9 ,……11 分 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 1 n ?1 2 n ?1 n ?1 2 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n ? 1 ? n ……13 分 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n ?1 故: Tn ? 2 ? n ?1 .……14 分 2
20. 如图(1)所示的等腰梯形 ABCD 中,由平面几何方法, 过
/

1 ? c 2 ? 9 ? 2 ? 3 ? c ? c 2 ? 2c ? 9 ,……12 分 3 1 2 1 1 1 2 故 AB ? AC ? c ? c ? (c ? ) ? ? ? .当且仅当 c ? 时等号成立. ……14 分 2 4 4 2 3 sin C 解法二:由正弦定理得: c ? , sin A
又因为 b 故

A,B 两点分别作 CD / 的垂线,结合已知条件经计算易得:
图(1)
/
/

CD ? 4 .故 ?AED

, ?BEC 及 ?AEB 均为正三角形,且三点

AB ? AC ? bc cos A ?

6 2 sin C cos A 6 2 sin( A ? B) cos A ……11 分 ? sin 2 A sin 2 A

BFD / 在一条直线上.易得 BD / ? AE 且 BF // EC .……2 分
(1).解法一:在图(2)中,连接 BD,BF ,? G , H 分别为 BC , CD 的中点,故 GH 又 DF

?

2 2 (sin A cos A ? 2 2 cos2 A) 1 ? 8 cot2 A ? 2 2 cot A ? ? ,……13 分 2 4 sin A

// BD ,又 BF // EC ,故面 FBD // 面 EGH
.……6 分



? 面FBD,故 DF // 平面 EGH

(第 20 题)

2 当且仅当 cot A ? ? 时等号成立. ……14 分 8
1 1 1 1 AB ? AC ? AB ? ( AB ? BC ) ? c 2 ? 3c ? (? ) ? c 2 ? c ? (c ? ) 2 ? ? ? 3 2 4 4 1 当且仅当 c ? 时等号成立. ……14 分 2
解法三: 解法四: (建坐标系,过程略)

解法二:连接 CF 交 EG 于 M ,连 HM ,易得 M 为 CF 的中点,故

HM

为 ?CDF 的中位线, ?

DF // HM

,故

DF // 平面 EGH

.……6 分

(2)以 F 为坐标原点,FB ,FA 所在射线分别为 x, y 轴建立如图所示空间直角坐标系.显然 ? BFD 为二面角 D 的平面角,设 ?BFD 则有: D(0,

? AE ? B

??



3 cos? , 3 sin ? ) , C(?2, 3,0) , A(1,0,0) , E (?1,0,0) .……8 分
3 3 3 ? cos? , sin ? ) , 2 2 2

19.解:(1).设等差数列 {an } 的首项为 a ,则由 a 2 , a3 , a5 成等比数列可得:

(a ? 2d ) ? (a ? d )(a ? 4d ) ,化简得: ad ? 0 ,? d ? N ,? a ? 0 , ……4 分
2
*

H

为 CD 的中点,故 H (?1,

3 3 3 ? cos? , sin ? ) , AD ? (?1, 3 cos? , 3 sin ? ) , EH ? (0, 2 2 2
3 3 3 3 3 ? EH ? AD ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos ? ? ,……11 分 2 2 2 2 2
异面直线 EH 与

?

3? ? 5? ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? 16 2 4

为定值. ……13 分

?

S1 ? S 2 5? ? ? 4 S

1 2 ? m2 ? | m |

?

5? ? 当且仅当 m ? 1 ? (? 2 , 2 ) 时等号成立. 4

AD 所成角为

? , 3

综上:

S1 ? S 2 5? ? [ ,?? ) ? ……15 分 4 S
? 0 时: f ( x) ? ( x ln x ? 1)e x , x ? 0 ) (

故 cos

?
3

?

AD ? EH | AD || EH |
?? 1 3

=

3 (cos? ? 1) 2 6 | 2? cos? ? 1 4

=

6 cos? ? 1 ……13 分 4

22.解: (1)当 a 故

f ' ( x) ? (ln x ? 1 ? x ln x ? 1)e x ? ln x( x ? 1)e x ……2 分
? 1 时: f ' ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时: f ' ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时: f ' ( x) ? 0 .

解得: cos ?

……14 分

当x 故

21.解: (1)由题可知, a

? 2b 且 a 2 ? b 2 ? 5 ,解得: a ? 2, b ? 1 ,……3 分

f (x) 的减区间为: (0,1) ,增区间为 (1,??) ……4 分

故椭圆的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ……5 分 4
y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

(2)

f ' ( x) ? (ln x ? x ln x ? ax ? a 2 )e x
? ln x ? x ln x ? ax ? a 2 ,故 g ' ( x) ?
1 1 1 ? ln x ? 1 ? a , g '' ( x) ? ? 2 ? ,…6 分 x x x

令 g (x ) (2)设直线 l 的方程为 显然 g 由?x
''

(1) ? 0 ,又当 x ? 1 时: g '' ( x) ? 0 .当 x ? 1 时: g '' ( x) ? 0 .

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4(m ? 1) ? 0 ,由韦达定理有: ? y2 ? 1 ?4 ?

故g

'

(x) min ? g ' (1) ? 2 ? a ,? a ? ?2 ,? g ' ( x) ? g ' ( x) min ? 2 ? a ? 0 .
1 ,?? ) 上单调递增,……7 分 e 1 e 1 e 1 e

故 g (x ) 在区间 (

8km ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 2 ? x1 x 2 ? 4(m ? 1) ? 1 ? 4k 2 ?

且?

? 16(1 ? 4k ? m ) ? 0 ……7 分
2 2

注意到:当 定. ……8 分 ①当 g (

x ? ?? 时, g (x) ? ?? ,故 g (x) 在 ( ,?? ) 上的零点个数由 g ( ) ? (a ? 1)( a ? 1 ? ) 的符号决

(kx ? m)(kx2 ? m) 2 ,即: km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 ? k1 , k , k 2 构成等比数列,? 2k ? k1k 2 = 1 x1 x2
由韦达定理代入化简得: k 此时 ?
2

1 1 1 ) ? 0 ,即: ? 2 ? a ? ?1 ? 或 a ? 1 时: g (x) 在区间 ( ,?? ) 上无零点,即 e e e

f (x) 无极值点.
②当 g (

?

1 1 .? k ? 0 ,? k ? .……9 分 4 2

1 1 1 ) ? 0 ,即: ? 1 ? ? a ? 1 时: g (x) 在区间 ( ,?? ) 上有唯一零点,即 e e e

? 16(2 ? m 2 ) ? 0 ,即 m ? (? 2, 2 ) .
1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2

f (x) 有唯一极值点.
1 1 或 a ? 1 时: f (x ) 在 ( ,?? ) 上无极值点. e e 1 1 当 ? 1 ? ? a ? 1 时: f (x ) 在 ( ,?? ) 上有唯一极值点. ……10 分 e e 1 1 (3) 假设存在 a , 使得 f (x ) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切, f (x ) 必与 x 轴相切于极值点处, (2) 则 由 可知:? 1 ? ? a ? 1 . e e
综上:当 ? 2

故S

?

? a ? ?1 ?

1 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? | m | ? 2 ? m 2 ? | m | ……11 分 2 ? ? 3 3 2 2 2 ? ( x12 ? y12 ? x 2 ? y 2 ) ? ? ( x12 ? x 2 ? 2) 又 S1 ? S 2 ? 4 4 4 4 ?

不妨设极值点为 x0 ,则有:

? f ' ( x0 ) ? (ln x0 ? x0 ln x0 ? ax0 ? a 2 )e x0 ? 0 ?(*)同时成立. ……11 分 ? f ( x0 ) ? ( x0 ln x0 ? ax0 ? a 2 ? a ? 1)e x0 ? 0 ?
联立得: ln x0 令t

? a ? 1 ? 0 ,即 x0 ? e ?( a?1) 代入(*)可得 e ?( a?1) ? (a ? 1) ? a 2 ? 0 .

1 ? ?(a ? 1), t ? (?2, ) , h(t ) ? e t ? t ? (t ? 1) 2 .……12 分 e
'

则h

1 1 (t ) ? e t ? 2t ? 3 , h '' (t ) ? e t ? 2 ,当 t ? ( ?2, ) 时 h '' (t ) ? h '' ( ) ? e e ? 2 ? 0 e e
1 e 1 2

1

1 2 ' 1 ' ?2 ' (? e ? e ? 2).故 h (t ) 在 t ? ( ?2, ) 上单调递减.又 h (?2) ? e ? 1 ? 0 , h ( ) ? e e ? ? 3 ? 0 .故 h (t ) e e e
'

1

在 t ? ( ?2,

1 ) 上存在唯一零点 t 0 . e
'

即当 t ? (?2, t 0 ) 时 h

1 (t ) ? 0 , h(t ) 单调递增.当 t ? (t 0 , ) 时 h ' (t ) ? 0 , h(t ) 单调递减. e
1

因为 h(?2)

1 1 3 ? e ?2 ? 1 ? 0 , h ' ( ) ? e e ? 2 ? ? 1 ? 0 . e e e
1 ) 上有唯一零点. ……14 分 e

故 h(t ) 在 t ? (?2, t 0 ) 上无零点,在 t ? (t 0 , 由观察易得 h(0)

? 0 ,故 a ? 1 ? 0 ,即: a ? ?1 .
1 ? ?1 使得 f (x) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切. ……15 分 e

综上可得:存在唯一的 a

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