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第5讲 指数函数、对数函数


第 5 讲 指数函数、对数函数
一、分数指数幂 1、规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是 a n ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (2)正数的负分数指数幂的意义是 a
m ?n

m

?

?

?

1
m n

?

1
n

a 2、分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即 ?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q?

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1? .

? 2 ? ? a r ? ? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ? r ? 3?? ab ? ? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?
s

说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。 二、指数函数 1.指数函数定义:一般地,函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R . 2.指数函数 y ? a x 在底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1 这两种情况下的图象和性质:

a ?1
图 象 (1)定义域: 性 质 (4)在 R 上是 函数 三、对数的性质 (2)值域: (3)过定点

0 ? a ?1

(4)在 R 上是 函数

1.对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1)的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那么数 b 叫做 a 为底 N 的对 数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。即 a b ? N , log a N ? b .

a
指数式 a ? N 对数式 loga N ? b
b

N

b

说明: (1)? 在指数式中幂 N >0,∴在对数式中,真数 N >0. (负数与零没有对数) . 0 (2)? 对任意 a ? 0 且 a ? 1 ,都有 a ? 1 ∴ log a 1 ? 0 ,同样: loga a ? 1 . (3)如果把 a b ? N 中的 b 写成 log a N ,则有 aloga N ? N (对数恒等式). 2、两种特殊的对数: (1)常用对数:以 10 作底 log10 N 写成 ; .

(2)自然对数:以 e 作底为无理数, e =2.71828……, loge N 写成 3、对数的运算性质: 如果 a>0,a?1,M>0,N>0,那么 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a M ? log a M - log a N ;
N

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . -1-

4、换底公式: log a N ? log m N (a>0,a?1; m ? 0, m ? 1 ). log m a 说明:两个较为常用的推论: n (1) loga b ? logb a ? 1 ; (2) log a m b n ? log a b ( a 、 b ? 0 且均不为 1) . m 四、对数函数 1、对数函数的定义:函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数。 2、对数函数性质列表:

a ?1
图 象

0 ? a ?1

性 质

(1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)在(0,+∞)上是

函数

(4)在 (0, ??) 上是

函数

1、计算下列各式的值(式中字母都是正数). (1) 5
1?log0.2 3



? 1 ?3 ? (2) ? m 4 n 8 ? ; ? ?

8

(3)

a2 a 3 a2

? a ? 0? ;

(4)

lg 243 ; lg 9

(5) log9 27 ;

(6) log 3

54

625 ;

(5)

?

3

5 ? 125 ? 4 5 ;

?

(8)lg14 ? 21g

7 ? lg 7 ? lg18 ; 3

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (9) ; lg1.2

1 5 1 1 1 ? 2 ?? ? ? ? 3 2 3 2 (10) ? 2a b ?? ?6a b ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ; ? ?? ? ? ?

(11) log4 3 ? log9 2 ? log2 4 32 .

2、求 x 的值: -2-

(1) log 3 x ? ?

3 ; 4

(2) log ?

?2x ?

2 ?1? ? ?

?3x

2

? 2 x ? 1? ? 1 ;

(3) log x 3 ? ? ;

3 5

(4) log x 2 ?

7 . 8

3、化简: (1) 5
x ?1

? 5x ? 5x ?1 ;

(2) ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 ) .

1

1

1

1

4、已知 x ? x ?1 ? 3 ,求下列各式的值:(1) x 2 ? x

1

?

1 2

;(2) x 2 ? x

3

?

3 2

.

5、已知 log m 4 ? log n 4 ,比较 m , n 的大小。

6、 (1)已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,求 log36 45 (用 a, b 表示) .
b

(2)若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 .

7、设 3 ? 4 ? 6 ? t ? 1 ,求证:
x y z

1 1 1 ? ? . z x 2y

8、求下列函数的定义域、值域:
1

(1) y ? 8 2 x ?1

(2) y ? 1 ? ( ) x

1 2

(3) y ? 3

?x

(4) y ?

a x ?1 (a ? 0, a ? 1) . ax ?1

9、求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ;

(2) y ? loga (4 ? x) ; -3-

(3) y ? loga (9 ? x 2 ) .

10、求下列函数的值域: (1) y ? log2 ( x ? 3) ;

(2) y ? log 2 (3 ? x2 ) ;

(3) y ? loga ( x2 ? 4x ? 7) ( a ? 0 且 a ? 1 ).

11、判断函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性。

12、求函数 y ? 2log 1 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间。
2 3

13、若函数 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。

ax ?1 14、当 a ? 1 时,证明函数 y ? x 是奇函数。 a ?1

15、设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数。

-4-


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