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高三数学能力题训练二


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

高三数学能力题训练二
1. 某企业产品的成本前两年每年递增 20%,经过引进先进的技术设备,并实施科学管理,后两年的成本 每年递减 20%,那么该企业的成本现在与原来比较 ( ) A.不增不减 B.均增 8% C.均减 5% D.均减 8% 已知 an ? logn ?1 (n ? 2)(n ? N? ) 我们把使乘积 a1·a2·a3·?·an 为整数的数 n 叫做“劣数” ,则在区 间(1,2004)内的所有劣数的和为 A.1024 B.2003 3. 若函数 f(x)=x- A. [-1,+∞ ) 4. ( C.2026 D.2048 ( ) )

2.

p p ? 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是 x 2
B. [1,+∞ ) C. ( -∞,-1] D. ( -∞,1]

设函数 f ( x ) ? x | x | + b x + c 给出下列四个命题: ①c = 0 时,y ? f ( x ) 是奇函数 ③y ? f ( x ) 的图象关于(0 , c)对称 其中正确的命题是 A.①、④ B.①、③ ) B.线段 AB 和线段 CD D.线段 AC 和线段 BD C.①、②、③ D.①、②、④ 轨迹是图 ②b ? 0 , c >0 时,方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根 ④方程 f ( x ) ? 0 至多两个实根 ( )

5.

函数 y=x -2x 在区间[a,b]上的值域是[-1,3],则点(a,b)的 中的( A.线段 AB 和线段 AD C.线段 AD 和线段 BC

2

6.

某种电热水器的水箱盛满水是 200 升,加热到一定温度,既可用来洗浴。洗浴时,已知每分钟放水 34 升,在放水的同时按 4 升/分钟 2 的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时,放水程序自动 停止,现假定每人洗浴用水量为 65 升,则该热水器一次至多可供 A.3 人洗浴 B.4 人洗浴 C.5 人洗浴 D.6 人洗浴 ( )

7.

1 (n ? 0) 已 知 f ?x ? ? bx ? 1 为 x 的 一次 函数 , b 为不 等于 1 的 常量 ,且 g ?n ? ? ? , 设 ? f [ g (n ? 1)],(n ? 1) ?

an ? g ?n? ? g ?n ? 1??n ? N ? ? ,则数列 ?an ? 为
A.等差数列 8. B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列





已知 f ?x ? ? 2 cos??x ? ? ? ? m ,恒有 f ? x ?

? ?

??

?? ? ? ? f ?? x ? 成立,且 f ? ? ? ?1 ,则实数 m 的值为 3? ?6?
( ) D.-3 或 1

A. ? 1 9.

B. ? 3

C.-1 或 3

函数 y=asinx-bcosx 的一条对称轴方程为 x ? A.45° B.135° C.60°

?
4

,则直线 ax-by+c=0 的倾斜角是(



D.120°

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10. 已知 A 是△ABC 的一个内角,且 sin A ? cos A ? A.锐角三角形 B.钝角三角形

2 ,则△ABC 是 3
D.形状不确定





C.直角三角形

11. 已知 a ? 2 , b ? 1 , a 与 b 的夹角为 60 ? , 则使向量 a ? ? b 与 ? a ? 2 b 的夹角为钝角的实数 ? 的取值范围是 A. (??, ? 1 ? 3) C. (??, ? 1 ? 3) ? ( ? 1 ? 3, ? ?) B. ( ? 1 ? 3, ? ?) D. (?1 ? 3, ? 1 ? 3) ( )

12. 已知△ABC 的三个顶点的 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,下列结论中正确的是 ( A.P 在△ABC 内部 C.P 在 AB 边所在直线上 B.P 在△ABC 外部 D.P 是 AC 边的一个三等分点 )

13. 如果函数 f(x)的定义域为 R,对于 m, n ? R, 恒有f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 6, 且f (?1) 是不大于 5 的 正整数,当 x>-1 时,f(x)>0. 那么具有这种性质的函数 f(x)= 个函数即可)
2

.(注:填上你认为正确的一

14. 若对于任意 a ? [-1,1], 函数 f(x) = x + (a-4)x + 4-2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围是 15. 设数列{an}满足 a1=6,a2=4,a3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,求数列{an}的通项公式 __________________

?1? 16. 已知 an ? 2 ? ? ? ,把数列 ?an ?的各项排成三角形状; ? 3?
a1

n

a2
a5

a3
a7

a4

a6

a8

?? 记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8)= 17. 已知函数 f ( x ) ? m( x ? (1)求 m 的值; (2)若 g ( x ) ? f ( x ) ? 18. 函数 f ( x ) ? 2 x ?

1 1 1 ) 的图像与函数 h( x ) ? ( x ? ) ? 2 的图象关于点 A(0,1) 对称; x 4 x a 在区间(0,2 ] 上为减函数,求实数 a 的取值范围. 4x

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a 为实数). x

(1)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域;

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(2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)函数 y ? f ( x ) 在 x ? ( 0 , 1 ] 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值 19. 已知一个数列{an}的各项是 1 或 3.首项为 1,且在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 3,即 1,3, 1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,….记数列的前 n 项的和为 Sn. (1)试问第 2004 个 1 为该数列的第几项? (2)求 a2004; (3)S2004; (4)是否存在正整数 m,使得 Sm=2004?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. 20. 假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末加 1000 元; (Ⅱ)每半年结束时加 300 元。请你选择。 .... ... (1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种? 21. 已知数列 ?an ? 的前 n 项的“均倒数”为 (1)求 ?an ? 的通项公式;

1 , 2n ? 1

an ,试判断并说明 cn?1 ? cn ?n ? N ?的符号; 2n ? 1 an (3)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? ,是否存在最大的实数 ? ,当 x ? ? 时,对 2n ? 1
(2)设 c n ? 于一切自然数 n ,都有 f ( x) ? 0 。 (4)已知 bn ? t
an

?t ? 0?,数列 ?bn ?的前 n 项为 S n ,求 Sn ?1 的值。
Sn

22. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ? n ? N ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ?

?

?

1 2 3 n ?n ? N , 且n ? 2?, 求函数 ? ? ??? n ? a1 n ? a2 n ? a3 n ? an

f (n) 的最小值; 1 , S n 表示数列 ?bn ?的前项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 (3)设 bn ? an S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若
存在,写出 g ?n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

高三数学综合训练 08 参考答案

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1 D 2 C 3 A 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D 9 B 10 B 11 D 12 D

13. .x+6 或 2x+6 或 3x+6 或 4x+6 或 5x+6 14. (-∞?1)∪(3,+∞) 15. 5 16. 2· ( )

17. 解:(1)设 P( x, y) 为函数 h(x) 图象上一点,点 P 关于 A 的对称点为 Q( x ?, y ?) ,则有 x ? ? ? x ,且

1 3

89

1 1 y ? ? 2 ? y , ? 点 Q( x ?, y ?) 在 f ( x) ? m( x ? ) 上 , ? y ? ? m( x ? ? ) , 将 x, y 代 入 得 , x x? 1 1 1 2 ? y ? m(? x ? ) ,整理得, y ? m( x ? ) ? 2 ,? m ? . x x 4 1 1? a ) ,设 x1 , x2 ? ?0,2?,且 x1 ? x 2 (2)? g ( x) ? ( x ? 4 x x x ? (1 ? a) 1 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 ? 0 对一切 x1 , x2 ? ?0,2?恒成立.?9 分 4 x1 x2 ? x1 x2 ? (1 ? a) ? 0 对一切 x1 , x2 ? ?0,2?恒成立,
???, [3, ??) .(可用导数完成) 18. 解: (1)显然函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , ? ? ) ; ?????3 分 (2) 若函数

y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,则任取 x1 , x 2 ? ( 0.1] 且 x1 ? x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成
a

立, 即 ( x1 ? x2 )(2 ? x x ) ? 0 1 2 只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, 故 a 的取值范围是 ( ?? ,?2] ; 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; 由(2)得当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值, 当 x ? 1 时取得最小值 2 ? a ; 当 ?2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0. 当x?
?2a 2 ?2a 2

??????????5 分

由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 , ??????????7 分 (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值,

] 上单调减,在 [

?2a 2

, 1 ] 上单调增,无最大值,

时取得最小值 2 ? 2a .

??????????12 分

19. 解:将第 k 个 1 与第 k+1 个 1 前的 3 记为第 k 对,即(1,3)为第 1 对,共 1+1=2 项; (1,3,3,3) 为第 2 对,共 1+(2×2-1)=4 项; (1, 3,3,3, ?,3) 为第 k 对,共 1+(2k-1) =2k 项;?.故前 k 对 ? ?? ? ?
共2 k ?1个3

共有项数为 2+4+6+…+2k=k(k+1). ????2 分 (Ⅰ)第 2004 个 1 所在的项为前 2003 对所在全部项的后 1 项, 即为 2003(2003+1)+1=4014013(项) . ????4 分 (Ⅱ)因 44×45=1980,45×46=2070,故第 2004 项在第 45 对内,从而 a2004=3.?7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,前 2004 项中共有 45 个 1,其余 1959 个数均为 3,于是 S2004=45+3× 1959=5922. ????9 分 2 (Ⅳ)前 k 对所在全部项的和为 Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k +k.

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易得,S25(25+1)=3×25 +25=1900,S26(26+1)=3×26 +26=2054,S651=1901,且自第 652 项到第 702 项均为 3,而 2004-1901=103 不能被 3 整除,故不存在 m,使 Sm=2004.????12 分 20. 解:设方案一第 n 年年末加薪 an,因为每年末加薪 1000 元,则 an=1000n; 设方案二第 n 个半年加薪 bn,因为每半年加薪 300 元,则 bn=300n; (1)在该公司干 10 年(20 个半年),方案 1 共加薪 S10=a1+a2+??+a10=55000 元。 方案 2 共加薪 T20=b1+b2+??+b20=20×300+ 20 ? (20 ? 1) ? 300 =63000 元;??6 分 2 (2)设在该公司干 n 年,两种方案共加薪分别为: n(n ? 1) 2 Sn=a1+a2+??+an=1000×n+ ? 1000 =500n +500n 2 2 2n ? (2n ? 1) T2n=b1+b2+??+b2n=2n×300+ ????10 分 ? 300 =600n +300n 2 令 T2n≥Sn 即:600n2+300n>500n2+500n,解得:n≥2,当 n=2 时等号成立。 ∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案;如果只干 2 年,随便选;如果只干 1 年,当然选择第一方 案。 ????12 分 21. 解: (1) a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? n?2n ? 1? , a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? (n ? 1)?2n ? 1? 两式相减,得 an ? 4n ? 1?n ? 2? , a1 ? 3,? an ? 4n ? 1?n ? N ? (2) c n ? ??4 分
2 2

an 4n ? 1 3 3 ? ? 2? , cn ?1 ? 2 ? , 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3
3 3 ? ? 0,即c n ?1 ? c n 。 2n ? 1 2n ? 3
????8 分

c n ?1 ? c n ?

(3)由(2)知 c1 ? 1 是数列 ?cn ? 中的最小项, ∵ x ? ? 时,对于一切自然数 n ,都有 f ( x) ? 0 ,即 ? x ? 4 x ?
2
2

an ? cn , 2n ? 1

2 ∴ ? x ? 4 x ? c1 ? 1,即 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,解之,得 x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3 ,

∴取

? ? 2 ? 3。

??????12 分

(4) bn ? t 4n?1 , S n ? t 3 ? t 7 ? ? ? t 4n?1 , ?t ? 0? 当 t ? 1 时, S n ? n ,

Sn ?1 n ? 1 S 1 ? t 4n ? 4 ;当 t ? 0 且 t ? 1 时, n ?1 ? 。 ? Sn n Sn 1 ? t 4n

综上得,

Sn ?1 Sn

?n ?1 ? n , ? t ? 1? ? ?? ??????12 分 1 ? t 4n ? 4 ? , ? t ? 0, t ? 1? ? 1 ? t 4n ?

22. 略

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