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历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 g单元 立体几何(文科2016年) 含答案


数 学 G 单元 立体几何 G1 空间几何体的结构 19.G1、G4 如图 1?5,四棱锥 P ? ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB =AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (1)证明:MN∥平面 PAB; (2)求四面体 N ? BCM 的体积. 图 1?5 2 19.解:(1)证明:由已知得 AM= AD=2,取 BP 的中点 T,连接 AT,TN.由 3 1 N 为 PC 的中点知 TN∥BC,且 TN= BC=2. 2 又 AD∥BC,所以 TN 綊 AM,所以四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN∥AT. 因为 AT? 平面 PAB,MN? 平面 PAB,所以 MN∥平面 PAB. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,N 为 PC 的中点, 1 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA. 2 取 BC 的中点 E,连接 AE.由 AB=AC=3,得 AE⊥BC,AE= AB2-BE2= 5. 1 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5,故 S△BCM= ×4× 5=2 5. 2 所以四面体 N ? BCM 的体积 VN ? BCM 1 PA 4 5 = ×S△BCM× = . 3 2 3 17.G1、G7、B12 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状 是正四棱锥 P ? A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1(如图 1?5 所示), 并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. (1)若 AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1 为多少时,仓库的容积最大? 图 1?5 17.解:(1)由 PO1=2 知 O1O=4PO1=8. 因为 A1B1=AB=6, 1 1 2 3 所以正四棱锥 P ? A1B1C1D1 的体积 V 锥= ·A1B2 1·PO1= ×6 ×2=24(m ), 3 3 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的体积 V 柱=AB2·O1O=62×8=288(m3). 所以仓库的容积 V=V 锥+V 柱=24+288=312(m3). (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 0<h<6,O1O=4h.连接 O1B1. 2 2 因为在 Rt△PO1B1 中,O1B2 1+PO1=PB1, 所以 2a2 +h2=36,即 a2=2(36-h2). 2 1 13 26 于是仓库的容积 V=V 柱+V 锥=a2· 4h+ a2· h= a2h= (36h-h3), 0<h<6, 3 3 3 从而 V′= 26 (36-3h2)=26(12-h2). 3 令 V′=0,得 h=2 3或 h=-2 3(舍). 当 0<h<2 3时,V′>0,V 是单调增函数; 当 2 3<h<6 时,V′<0,V 是单调减函数. 故 h=2 3时,V 取得极大值,也是最大值. 因此,当 PO1=2 3 m 时,仓库的容积最大. 19.G1,G11 将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆 ︵ 柱,如图 1?3,AC长为 ︵ 5π π , A1B1长为 ,其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. 6 3 (1)求圆柱的体积与侧面积; (2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小. 图 1?3 19.解:(1)由题意可知,圆柱的母线长

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