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20010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江苏卷)含详解


绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ试题

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) 。本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 参考公式: 锥体的体积公式: V 锥体=

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是高。 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上 . .. 1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3 ? B, a+2=3, a=1. 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等,z 的模为 2。 3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是_ ▲__. [解析]考查古典概型知识。 p ? 3 ? 1
6 2

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率 分布直方图如图所示, 则其抽样的 100 根中, 有_▲___ 根在棉花纤维的长度小于 20mm。 [解析]考查频率分布直方图的知识。

100×(0.001+0.001+0.004)×5=30 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x ? R)是偶函数,则实数 a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到 4 12

MF 4 MF=4。 ? e ? ? 2 ,d 为点 M 到右准线 x ? 1 的距离,d =2, d 2

7、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______

[解析]考查流程图理解。 1 ? 2 ? 22 ?

? 24 ? 31 ? 33, 输出 S ? 1 ? 2 ? 22 ?

? 25 ? 63 。

8、 函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数, a1=16, 则 a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ? 所以 ak ?1 ?

ak , 2

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2
2 2

9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。
[来源

圆半径为 2,

圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, 10、定义在区间 ? 0 ,

|c| ? 1 , c 的取值范围是(-13,13) 。 13

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 2?

PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3

? 2 2 11、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是__▲___。 x?0 ?1,

2 ?1 ? x ? 2 x [解析] 考查分段函数的单调性。 ? ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2

? ?1 ? x ? 0

12、设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y





。来源

[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。

x3 x2 2 x3 x2 2 1 1 1 1 ( ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] , 4 ? ( ) ? 2 ? [2, 27] , 4 的最大值是 27。 xy 8 3 y y y y xy

13 、 在 锐 角 三 角 形 ABC , A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,

b a ? ? 6 cos C , 则 a b

t a nC t a n C ? =____▲_____。 t a nA t a n B
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

tan A ? tan B ?

1 tan C 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

(方法二) ?

b a

a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 a ? 6 cos C ? 6ab cos C ? a 2 ? b 2 , 6ab ? ? a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ? b 2ab 2

tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
由正弦定理,得:上式= ?

1 c2 c2 c2 ? ? ? ?4 cos C ab 1 (a 2 ? b 2 ) 1 3c 2 ? 6 6 2

14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是____▲____。 S? 梯形的面积

[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为 x ,则: S ?

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? (0 ? x ? 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

(方法一)利用导数求函数最小值。

S ( x) ?

4 (3 ? x)2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x)2 ? (?2 x) ? , ? S ( x ) ? ? 2 (1 ? x2 )2 3 1? x 3

4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x)2 ? (?2 x) 4 ?2(3x ? 1)( x ? 3) ? ? ? ? (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2 3 3
1 S ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1, x ? , 3 1 1 当 x ? (0, ] 时, S ?( x) ? 0, 递减;当 x ? [ ,1) 时, S ?( x) ? 0, 递增; 3 3
故当 x ?

1 32 3 时,S 的最小值是 。 3 3

(方法二)利用函数的方法求最小值。

4 t2 4 1 1 1 1 ? 2 ? ? 令 3 ? x ? t , t ? (2,3), ? ( , ) ,则: S ? t 3 2 3 ?t ? 6t ? 8 3 ? 8 ? 6 ?1 t2 t
故当 ?

1 t

3 1 32 3 , x ? 时,S 的最小值是 。 8 3 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。 (1) (方法一)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则

AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4).
所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2.

故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

11 。 5

2 11 或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? AB ? OC ?? 2 5 | OC |

16、 (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC,∠BCD=900。 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC。 由∠BCD=900,得 CD⊥BC, 又 PD DC=D,PD、DC ? 平面 PCD,

所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC。 (2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB, DE∥平面 PBC, 点 D、 E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF=

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2

(方法二)体积法:连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1。 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V ?

1 1 S ?ABC ? PD ? 。 3 3

因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1,所以 PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 。 由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S?PBC ? 由 VA? PBC ? VP? ABC , S

2 。 2

1 3

PBC

?h ?V ?

1 ,得 h ? 2 , 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。

17、 (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H h H ? tan ? ? AD ? , 同理:AB ? ,BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ? H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

AD—AB=DB,故得

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时, 取等号) d
故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。

18、 (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 9 5

F。设过点 T( t , m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关) 。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。
2 2 2 2 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2) 将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得: M (2, ) 、 N ( ,? ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3

直线 NTB 方程为:

5 5 y ?0 x ?3 ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) 、 N( ,? )。 解得: M ( 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) y? x? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一) 当 x1 ? x2 时, 直线 MN 方程为: ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m ? m2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 MD ND 2 3m ? 60 40 ? m2 ? 1 20 ? m2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。

19、 (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 的等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ; (2)设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? cSk 都成立。求证: c 的最大值为

? S ?是公差为 d
n

9 。 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2

Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , Sn ? n2d 2 ,
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。 故所求 an ? (2n ?1)d 2 (2) (方法一)

m2 ? n2 恒成立。 Sm ? Sn ? cSk ? m d ? n d ? c ? k d ? m ? n ? c ? k , c ? k2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 又 m ? n ? 3k且m ? n , 2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ?

m2 ? n 2 9 ? , k2 2

故c ?

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

(方法二)由 a1 ? d 及 Sn ?

a1 ? (n ? 1)d ,得 d ? 0 , Sn ? n2d 2 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

S m ? S n ? (m 2 ? n 2 )d 2 ?

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 d ? d k ? Sk 。 2 2 2

9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a ? 。设 k 为偶数,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 且 S m ? S n ? (m ? n )d ? d [( k ? 1) ? ( k ? 1) ] ? d (9k ? 4) 。 2 2 2
所以 c 的最大值 cmax ? 于是,只要 9k 2 ? 4 ? 2ak 2 ,即当 k ? 所以满足条件的 c ? 因此 c 的最大值为

2 1 2 2 时, S m ? S n ? d ? 2ak ? aS k 。 2 2a ? 9

9 9 ,从而 cmax ? 。 2 2

9 。 2

20、 (本小题满分 16 分) 设 f ( x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) 。如果存在实数 a 和函数

h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称
函数 f ( x) 具有性质 P ( a ) 。 (1)设函数 f ( x) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数。 x ?1

(i)求证:函数 f ( x) 具有性质 P (b) ; (ii)求函数 f ( x) 的单调区间。 (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P (2) 。给定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,
若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结 合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 (1)(i) f '( x ) ?

1 b?2 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) x ( x ? 1)2 x( x ? 1) 2 1 ? 0 恒成立, x( x ? 1)2

∵ x ? 1 时, h( x) ?

∴函数 f ( x) 具有性质 P (b) ;

b b2 (ii)(方法一)设 ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? ) 2 ? 1 ? , ? ( x) 与 f ' ( x) 的符号相同。 2 4
当1 ?

b2 ? 0, ?2 ? b ? 2 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; 4

当 b ? ?2 时,对于 x ? 1 ,有 f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? ?2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? ?1 ,而 ? (0) ? 1 , 2

对于 x ? 1 ,总有 ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x2 ? bx ? 1 ? x2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 所以 f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? 2 时 , ? ( x) 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴 x ?

b ? 1 , 方 程 ? ( x ) ? 0的 两 根 为 : 2

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 ,而 , ? 1, ? ? (0,1) 2 2 2 2 b ? b2 ? 4
当 x ? (1,

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1, ) 2 2

b ? b2 ? 4 上递减;同理得: f ( x) 在区间 [ , ??) 上递增。 2
综上所述,当 b ? 2 时, f ( x) 在区间 (1,??) 上递增;
2 2 当 b ? 2 时, f ( x) 在 (1, b ? b ? 4 ) 上递减; f ( x) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上递增。 2 2

(2)(方法一)由题意,得: g '( x) ? h( x)( x ? 2x ? 1) ? h( x)( x ?1)
2

2

又 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0, 所以对任意的 x ? (1,??) 都有 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上递增。 又 ? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? (2m ?1)( x1 ? x2 ) 。 当m ?

1 , m ? 1 时, ? ? ? ,且 ? ? x1 ? (m ?1) x1 ? (1 ? m) x2 , ? ? x2 ? (1 ? m) x1 ? (m ?1) x2 , 2

综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1) 。 (方法二)由题设知, g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x2 ? 2 x ? 1) ,其中函数 h( x) ? 0 对于任
2 意的 x ? (1,??) 都成立。所以,当 x ? 1 时, g '( x ) ? h( x )(x ? 1) ? 0,从而 g ( x) 在区间

(1,??) 上单调递增。
①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1, x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1, x2 ) ,所以
由 g ( x) 的单调性知 g (? ) 、 g ( ? ) ? ( g ( x1 ), g ( x2 )) , 从而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,符合题设。 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于 是 由 ? ? 1, ? ? 1 及 g ( x) 的 单 调 性 知
g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,所以| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题设不符。
③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 ,进而得| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题设 不符。 因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。

数学Ⅱ(附加题) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 。 ....... ............

若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A. 选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证 能力。 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。
A O B C D

B. 选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0) , B(-2,0) , C(-2,1) 。设 k 为非零实数,矩阵 M= ?

?k 0? ?0 1 ? ,N= ? ? ? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1, ? 0 1? ?1 0 ?

△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 [解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点, 考查运算求解能力。 满分 10 分。 解:由题设得 MN ? ?

? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2? ?0 0 k ? 、B1(0,-2) 、C1( k ,-2) 。 ?? ??? ? ,可知 A1(0,0) ?1 0 ? ?0 0 1 ? ?0 ?2 ?2?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ?1 ? 2 。 所以 k 的值为 2 或-2。

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解: ? 2 ? 2?cos? ,圆ρ =2cosθ 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 2x,( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 的普通方程为: 3x ? 4 y ? a ? 0 , 又圆与直线相切,所以

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 32 ? 42

? 1, 解得: a ? 2 ,或 a ? ?8 。

D. 选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 [解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )

? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ]
因为实数 a、b≥0, ( a ? b )2 ? 0,[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] ? 0 所以上式≥0。即有 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 (方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]

当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。

[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、(本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等 品率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二 等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 [解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分 10 分。 解: (1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, 由此得 X 的分布列为: X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。

(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件。 由题设知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 n ? 又 n ? N ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 。
3 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192 所求概率为 P ? C4

14 , 5

答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。

23、(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一) (1)证明:设三边长分别为 a , b, c , cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ,∵ a , b, c 是有理数, 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 是有理数,分母 2bc 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭
性, ∴

b2 ? c2 ? a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc

(2)①当 n ? 1 时,显然 cosA 是有理数; 当 n ? 2 时,∵ cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2 A 也是有理数; ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。 当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A , 2 2 解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A
∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k ? 1) A 是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。 (方法二)证明: (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 是有理数。 2 AB ? AC

(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数。
2 ①当 n ? 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos A 也是有理数。

②假设当 n ? k (k ? 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数。 当 n ? k ? 1 时,由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,

sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,
及①和归纳假设,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。


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