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《2011年高考数学总复习系列》


《2011 年高考数学总复习系列》——高中数学必修二 第一章 立体几何初步
一、基础知识(理解去记) (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共 点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直 线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
E' F' 侧面 A' B'
l

D' C'

1.2 相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关 系:

底面 侧棱 E F A B D C

?斜棱柱 ? 底面是正多形 ? ????? 正棱柱 ? ? ① 棱柱 ? 棱垂直于底面 ? ? ????? 直棱柱 ? ?其他棱柱? ? ?
侧棱垂直于底面 侧棱与底面边长相等

②四棱柱

底面为平行四边形 底面为正方形

平行六面体 正四棱柱

直平行六面体 底面为矩形 正方体

长方体

1.3 棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 补充知识点 长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方 和;【如图】 AC ? AB ? AD ? AA
2 1 2 2 2 1

D1 A1 D B1

C1

②(了解)长方体的一条对角线 AC1 与过顶点 A 的三条棱所成 的 角 分 别 是 ?, ? ? , 那 么 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 , ,
2 2 2

C A B

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2 ;
③ (了解 )长方 体的一条 对角线 AC1 与 过顶点 A 的 相邻三 个面所 成的角分 别是 ?,?,? , 则
2 2 cos2 ? ? cos ? ? cos? ? , sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 . 2

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1.4 侧面展开图:正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.5 面积、体积公式:

S直棱柱侧 ? c ? h S直棱柱全 ? c ? h ? 2S底,V棱柱 ? S底 ? h

(其中 c 为底面周长,h 为棱柱的高)

注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式,因此考生可以不用刻意地去记 2.圆柱 2.1 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边 O' A' B' 旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线 2.2 圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆; 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3 侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长 A O B 为邻边的矩形. 2.4 面积、体积公式:
2 2

C'

轴 轴截面 侧面 底面

C

S 圆柱侧= 2? rh ;S 圆柱全= 2? rh ? 2? r ,V 圆柱=S 底 h= ? r h (其中 r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥 3.1 棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有 S 一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何 侧面 顶点 高 体叫做棱锥。 侧棱 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边 形, 并且顶点在底面的射影是底面的中心, 这样 的棱锥叫做正棱锥。 底面 斜高 3.2 棱锥的性质: D C O ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, H A B 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构 成四个直角三角形。)(如上图: ? SOB,? SOH ,? SBH ,?OBH 为直角三角形) 3.3 侧面展开图:正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。 3.4 面积、体积公式:S 正棱锥侧=

1 1 1 ch? ,S 正棱锥全= ch? ? S底 ,V 棱锥= S底 ? h .(其中 c 为底面周长, h? 侧 2 2 3

面斜高,h 棱锥的高) 4.圆锥 4.1 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体 叫圆锥。 4.2 圆锥的性质: S ①平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到 顶点 截面的距离与顶点到底面的距离之比; ②轴截面是等腰三角形;如右图: ? SAB 母线 轴 ③如右图: l ? h ? r .
2 2 2

l A r

h 轴截面
O

侧面

4.3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线 长为半径的扇形。 4.4 面积、体积公式:
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B 底面

S 圆锥侧= ? rl ,S 圆锥全= ? r (r ? l ) ,V 圆锥= ? r 2 h (其中 r 为底面半径,h 为圆锥的高,l 为母线长) 5.棱台 5.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面 与底面之间的部分称为棱台. 5.2 正棱台的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; ②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形; ③ 如右图:四边形 O`MNO, O`B`BO 都是直角梯形 ④ 棱 台 经 常 补 成 棱 锥 研 究 . 如 右 图 : ? S O 与 S O N ?, S `S OO? `BB 相 与 ` M? 似 ,注意考虑相似比. ` 5.3 棱台的表面积、体积公式: 1 S全=S上底+S下底+S 侧, V棱台= (S+ SS ` ? S `)h , 3 (其中 S , S `是上,下底面面积,h 为棱台的高) 6.圆台 6.1 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间 的部分叫做圆台. 6.2 圆台的性质: ①圆台的上下底面,与底面平行的截面都是圆; ②圆台的轴截面是等腰梯形; ③圆台经常补成圆锥来研究。如右图: ? SO`A与? SOB相似 ,注意相似比的应用. 6.3 圆台的侧面展开图是一个扇环; 6.4 圆台的表面积、体积公式: S全=? r 2 ? ? R 2 ? ? ( R ? r )l ,

1 3

S

上底面 高 A' 下底面
D

D' O' B'

C' M

侧棱 侧面 斜高
C N

顶点

O A B

S

A r O' 轴 母线 l B R h 轴截面 O

上底面 D 侧面

C 下底面

1 1 V 圆台 = (S+ SS ` ? S `)h= (? r 2 ? ? rR ? ? R 2 )h ,(其中 r,R 为上下底面半径,h 为高) 3 3
7.球 7.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 或空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球; 7.2 球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ②r ?

球面 半径

R 2 ? d 2 (其中,球心到截面的距离为 d、球的半径为

球心

轴 O R A r

R、截面的半径为 r) 7.3 球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方体,球与正 方体等的内接与外切.
D' A' B' O O C' A' C'

d O1

B

注:球的有关问题转化 为圆的问题解决.
D A

C B A c

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7.4 球面积、体积公式: S球 ? 4? R 2 ,V球 ?

4 3 ? R (其中 R 为球的半径) 3

(二)空间几何体的三视图与直观图 根据最近几年高考形式上看,三视图的考察已经淡化,所以同学只需了解即可 1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正 视图相等,“宽度”与俯视图。(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”. (2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。 3.直观图: 3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画 出的空间图形。 3.2 斜二测法: step1:在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy,(即取 ?xoy ? 90? ); step2:画直观图时,把它画成对应的轴 o ' x ', o ' y ' ,取 ?x 'o ' y ' ? 45 ? or135 ? ,它们确定的平面表示水平 ( ) 平面; step3:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴(或 在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于 y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。 结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的

2 倍. 4

解决两种常见的题型时应注意: (1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”. (2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 二 点、直线、平面之间的位置关系 (一) 平面的基本性质 1.平面——无限延展,无边界 1.1 三个定理与三个推论 公理 1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 用途:常用于证明直线在平面内. 图形语言: 符号语言: 公理 2:不共线的三点确定一个平面. 图形语言: ... 推论 1:直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言: 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 图形语言: 推论 3:两条平行直线确定一个平面. 图形语言: 用途:用于确定平面。
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公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的 交线). 用途:常用于证明线在面内,证明点在线上. 图形语言: 符号语言: 形语言,文字语言,符号语言的转化:

(二)空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系: ?

?共面:a ? b=A,a//b ?异面:a与b异面

平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述: a // b, b // c ? a // c 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 异面直线: (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; (2)判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。

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P

图形语言:

?

A

a

P ?? ? A ?? ? ? 与 异面 符号语言: ?? PA a a ??? A? a ? ?

异面直线所成的角:(1)范围: ? ? ? 0?,90?? ;(2)作异面直线所成的角:平移法. 如右图,在空间任取一点 O,过 O 作 a '// a, b '// b ,则 a ', b ' 所成的

a'

? 角为异面直线 a, b 所成的角。特别地,找异面直线所成的角时,经常
把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点 等)上,形成异面直线所成的角.

a b ?

? b' O

?l ? ? ? 2.直线与平面的位置关系: ? ?l ? ? ? A ?l ? ? ?l // ? ? ?
图形语言:

?平行:? //? ? 3.平面与平面的位置关系: ? ?斜交:? ? ? =a 相交 ? ? ?垂直:? ? ? ?
(三)平行关系(包括线面平行,面面平行) 1.线面平行: ①定义:直线与平面无公共点.

a // b ? ? ②判定定理: a ? ? ? ? a // ? (线线平行 ? 线面平行)【如图】 b ??? ? ? ? ③性质定理: a ? ? ? ? a // b (线面平行 ? 线线平行)【如图】 ? ? ? ? b? ?
④判定或证明线面平行的依据: (i)定义法(反证): l ? ? ? ? ? l // ? (用于判断);

a // ?

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a // b ? ? (ii)判定定理: a ? ? ? ? a // ? “线线平行 ? 面面平行”(用于证明); b ??? ?

? // ? ? ? (iii) ? ? a // ? “面面平行 ? 线面平行”(用于证明);(4) b ? ? ? ? a // ? (用于判断); a ??? a ??? ?
2.线面斜交: l ? ? ? A ①直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜 线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 PO ? ? 于 O,则 AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, 则 ?PAO 就是直线 PA 与平面 ? 所成的角。 范围: ? ? ? 0?, 90?? ,注:若 l ? ?或l // ? ,则直线 l 与平面 ? 所成的 角为 0? ;若 l ? ? ,则直线 l 与平面 ? 所成的角为 90? 。 3.面面平行: ①定义: ? ? ? ? ? ? ? // ? ; ②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述: a, b ? ? , a ? b ? O, a // ? , b // ? ? ? // ? 【如下图①】
Oa ? ? b
Oa ? O a' ? b

b?a?

P

?

A

? O

b'

图① 图② 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行 符号表述: a, b ? ? , a ? b ? O, a ', b ' ? ? , a // a ', b // b ' ? ? // ? 【如上图②】 判定 2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述: a ? ? , a ? ? ? ? // ? .【如右图】 ③判定与证明面面平行的依据: (1)定义法;(2)判定定理及推论(常用)(3)判定 2 ④面面平行的性质: (1)

? // ? ? ? ? a // ? (面面平行 ? 线面平行); a ???

? ?

a

? // ? ? ? (2) ? ? ? ? a ? ? a // b ;(面面平行 ? 线线平行) ? ? ? ? b? ?
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(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】 (四)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直) 1.线面垂直 ①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .

a, b ? ? ? a ? b ? O? ? ? ②判定定理: l ? ? ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) ? l?a ? l ?b ? ?
③性质:(1) l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直);(2) a ? ? , b ? ? ? a // b ;

④证明或判定线面垂直的依据:(1)定义(反证);(2)判定定理(常用);(3)

a // b ? ? ? b ? ? (较 a ???

??? ? a ? ? ? b? ? // ? ? ? 常用);(4) ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直)常用; ? ? a ? ? ;(5) a ?? a ??? ?
a?b ? ?
⑤三垂线定理及逆定理: (I)斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中, PO ? ? (1)斜线相等 ? 射影相 等;(2)斜线越长 ? 射影越长;(3)垂线段最短。【如图】 P ; PB ? PC ? OB? OC PA ? PB ? OA ? OB (II)三垂线定理及逆定理:已知 PO ? ? ,斜线 PA 在平面 ? 内的射影 为 OA, a ? ? , ①若 a ? OA ,则 a ? PA ——垂直射影 ? 垂直斜线,此为三垂线定 O B 理; ? A C ②若 a ? PA ,则 a ? OA ——垂直斜线 ? 垂直射影,此为三垂线定 P 理的逆定理; 三垂线定理及逆定理的主要应用:(1)证明异面直线垂直;(2)作、证二面 角的平面角;(3)作点到线的垂线段;【如图】 a A O 3.2 面面斜交 ? ①二面角:(1)定义:【如图】 OB ? l , OA ? l ? ?AOB是二面角?-l ? ? 的平面角 范围: ?AOB ?[0?,180?] ②作二面角的平面角的方法:(1)定义法;(2)三垂线法(常用);(3) 垂面法. 3.3 面面垂直 (1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90? ,则 ? ? ? ;

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(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面互相垂直.

? a B

a ??? ? ? ? ? ? (线面垂直 ? 面面垂直) a???
( 3 ) 性 质 : ① 若 ? ? ? , 二 面 角 的 一 个 平 面 角 为 ?M O N , 则

? A

?MON ? 90? ;

? ?? ? a ? ? ? AB ? ? ② ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直); a ?? ?
a ? AB ? ?
?
? A a

? a B

A



? ? ?? A ?? ? ?

?? a ?? A? a ? a??? ?

? ? ?? ? ? a ? ? 或a // ? a?? ?

.

?

④ 二、基础题型(必懂) 1、概念辨析题: (1)此题型一般出现在填空题,选择题中,解题方法可采用排除法,筛选法等。 (2)对于判断线线关系,线面关系,面面关系等方面的问题,必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提 下,利用长方体,正方体,实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它,你认为错误 的命题必须找出反例。 (3)相关例题:课本和辅导书上出现很多这样的题型,举例说明如下: 例:(09 年北京卷)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个说法:① m ? ? , n // ? ? m ? n ;② ? // ? , ? // ? ,m ? ? ? m ? ? ;③ m // ? , n // ? ? m // n ④ ? ? ? , ? ? ? ? ? // ? ,说法正确的序号是:_________________ 2、证明题。证明平行关系,垂直关系等方面的问题。 (1)基础知识网络:

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平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?
??

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定

线线垂直 判定

性质 判定

性质

判定推论

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行 三、趋近高考(必懂)

面面平行

线面垂直

1.(2010 全国卷 2 理)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 【答案】C (B) 3 (C)2 (D)3

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4 时,体积最大,

此时

,故选 C. 的体积是

2.(2010 陕西文)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体 [B] (A)2 (C) (B)1 (D)

2 3

1 3 1 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2 2
1

【答案】 B 【解析】 如图,该立体图形为直三棱柱,所以其体积为

2

3.(2010 辽宁文)已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC ,
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SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
(A)4 ? 【答案】A 【解析】选 A.由已知,球 O 的直径为 2R ? SC ? 2 ,?表面积为 4? R 2 ? 4? . 4.(2010 安徽文)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积 是 (A)372 (C)292 【答案】B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长 方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。 (B)360 (D)280 (B)3 ? (C)2 ? (D) ?

S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 .
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体,画 出直观图,得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积 之和。 5.(2010 重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (C)恰有 4 个 【答案】 D 【解析】放在正方体中研究,显然,线段 OO1 、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等, 所以排除 A、B、C,选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、 CD 的距离相等 6.(2010 浙江文)若某几何体的三视图(单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是 (B)恰有 3 个 (D)有无穷多个

352 3 cm 3 320 3 (B) cm 3
(A)
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224 3 cm 3 160 3 (D) cm 3
(C) 【答案】B 【解析】选 B,本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题 7. (2010 福建文) 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示, 则其侧面积等于 ( ... A. 3 C. 2 3 【答案】D 【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为 ) B.2 D.6

2?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,选 D. 4

8.(2010 全国卷 1 文)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积 的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

【答案】B 【 解 析 】 过 CD 作 平 面 PCD , 使 AB ⊥ 平 面 PCD, 交 AB 与 P, 设 点 P 到 CD 的 距 离 为 h , 则 有

4 3 1 1 2 V四面体A B C D? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 Vmax ? 3 3 2 3

第二章 平面解析几何初步
一、基础知识(理解去记) 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线 与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条 曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3)用坐标表示条件, 列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围;(5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线 上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步)。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它的倾斜角。规定 平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。根据直线上一点 及斜率可求直线方程。
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4.直线方程的几种形式:【必会】【必考】 (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式:y-y0=k(x-x0); (3)斜截式:y=kx+b; (4)截距式:

x y ? ? 1; a b
x ? x1 y ? y1 ? ; x 2 ? x1 y 2 ? y1
? x ? x 0 ? t cos? ? (其中θ 为该直线倾斜角),t 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P ? y ? y 0 ? t sin ? ?

(5)两点式:

(6)法线式方程:xcosθ +ysinθ =p(其中θ 为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离); (7)参数式: ?

(x, y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否则取负)。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小 正角叫 l1 到 l2 的角;l1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记到角为θ ,夹角为α ,则 tan θ =

k ? k1 k 2 ? k1 ,tanα = 2 . 1 ? k1 k 2 1 ? k1 k 2

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 ? l2 的充要条件是 k1k2=-1。
2 2 7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 。

8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线 方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0;由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2) =0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C ? C1 ). 10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表示的区域 为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤:(1)确定各变量,并以 x 和 y 表示;(2)写出线性约束条件 和线性目标函数;(3)画出满足约束条件的可行域;(4)求出最优解。 12 . 圆 的 标 准 方 程 : 圆 心 是 点 (a, b), 半 径 为 r 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 其 参 数 方 程 为

? ?x ? a ? r c o s (θ 为参数)。 ? ? y ? b ? r s in?
13.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为 ? ? 若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为

1 ? D E? ,? ? ,半径为 D 2 ? E 2 ? 4F 。 2 2? 2 ?

? x ? x? ?y ? ? ? E? 0 x 0 x ? y 0 y ? D? 0 ? 2 ? ? 2 ? ? ?

y? ? ? F ? 0. ? ?



数学必修 2 第 13 页 共 21 页

14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分),这条直线叫两圆的根轴。给定 如 下 三 个 不 同 的 圆 : x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则 它 们 两 两 的 根 轴 方 程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直 线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙日定理。 二、基础例题(必会) 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例 1 (经典例题) 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1, A 为原点, 所在直线为 x 轴, 以 AC 建立直角坐标系。 设点 B, 坐标分别为 C (0,2a) ,(2a,0),

x y ? ? 1 , ①直线 BC 方程为 x+y=2a, ②设直线 BD 和 AE a 2a 1 1 的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD ? AE,所以 k1k2=-1.所以 k 2 ? ,所以直线 AE 方程为 y ? x , 2 2
则点 D 坐标为(a, 0)。直线 BD 方程为

1 ? ? y ? x, ?4 2 ? 由? 解得点 E 坐标为 ? a, a ? 。 2 ?3 3 ? ? x ? y ? 2a ?
所以直线 DE 斜率为 k 3 ?
0

2 a 3 4 a?a 3

? 2. 因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例 2 (经典例题)半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两条边截 0 圆所得的弧所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建立直角坐标系见图 10-2,设⊙D 的 半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点分别为 E,F,设半径为 r,则 直线 AB,AC 的方程分别为 y ? (x1,y1),(x2,y2),则 y1 ?

3 x , y ? ? 3x .设⊙D 的方程为(x-m)2+y2=r2.①设点 E,F 的坐标分别为

3 x1 , y 2 ? ? 3x 2 ,分别代入①并消去 y 得

2 ( x1 ? m) 2 ? 3x12 ? r 2 ? 0.( x2 ? m) 2 ? 3x2 ? r 2 ? 0.

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。

m ? ? x1 ? x 2 ? 2 , ? 由韦达定理 ? ? ,所以 m2 ? r 2 ?x x ? ? 1 2 4 ?
|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不可能在双曲线 的同一支上。
数学必修 2 第 14 页 共 21 页

[证明]

假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标分别为

? 1 ? x1 , ? x1 ?

?? 1 ?, ? x 2 , ?? x2 ??

?? 1 ?, ? x3 , ?? x3 ??

? ?, 且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由假设知直线 QR,PQ ? ?

1 1 1 1 ? ? x x2 x x2 1 1 ?? . ?? 的斜率分别为 k1 ? 3 , k2 ? 1 x1 ? x 2 x1 x 2 x3 ? x 2 x 2 x3

由到角公式 tan? ?

k 2 ? k1 ? 1 ? k1 k 2

?

1 1 ? x1 x 2 x 2 x3 x ( x1 ? x3 ) ? 2 2 ? 0. 1 x1 x 2 x3 ? 1 1? 2 x1 x 2 x3

所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 f ( x) ? [解] 因为 f ( x) ?

x 4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。

( x 2 ? 2) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? ( x ? 0) 2 表示动点 P(x, x2)到两定点 A(3, 2), B(0, 1)

的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时,f(x)取最大值|AB|= 10 . 4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,求 m 为何值时, Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的 交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交点。设 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 若 m ? 0 , 则 k1 ? k2= m? ?

? 1? ? ? ?1 , S ? m?
,|BC|=

Δ

ABC=

1 | AC | ? | BC | , 由 点 到 直 线 距 离 公 式 2
? 1 1 ? m2


|AC|=

| ?1 ? m 2 ? m | 1? m
2

?

| m2 ? m ?1 | m ?1
2

| ?m ? 1 ? m | 1? m
2

1 m2 ? m ? 1 1 ? m ? 3 2 2 ? ?1 ? 2 所以 SΔ ABC= ? ? 。因为 2m≤m +1,所以 SΔ ABC≤ 。又因为-m -1≤2m,所以 2 2 2 ? m ? 1? 4 m ?1

1 m 1 ,所以 SΔ ABC≥ . ? 2 2 m ?1 4 3 1 当 m=1 时,(SΔ ABC)max= ;当 m=-1 时,(SΔ ABC)min= . 4 4 ?
5.线性规划。 例 6 设 x, y 满足不等式组 ?

?1 ? x ? y ? 4, ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。
数学必修 2 第 15 页 共 21 页

?1 ? x ? y ? 4, ?1 ? x ? y ? 4, ? ? [解] (1)由已知得 ? y ? 2 ? 2 x ? 3, 或 ? y ? 2 ? 3 ? 2 x, ?2 x ? 3 ? 0, ? 2 x ? 3 ? 0. ? ?
解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5;CD:y=-2x+1;AD: x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶点 C 时,f(x, y)最 大,C 点坐标为(-3,7),于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a≤2,则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y) 最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取最小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到直线 y=2 的距 离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。 [解] 设直线 OP 的参数方程为 ?

? x ? t cos? (t 参数)。 ? y ? t sin ?

代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα =0. 所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 2 2 当 t=±2 时,轨迹方程为 x +y =4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例 8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动点,以 A 为圆心, AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点, 记 BC=1。 2 2 以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16,连结 OT1,OT2。因为 OT2 ? MT2,T1H ? MT2,所以 OT2//HT1,同理 OT1//HT2, 又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM ? T1T2,OT1 ? MT1,所以 OT1 ? ON?OM。设点 H 坐标为(x,y)。
2

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为 ?

b y ?x y? , ? ,将坐标代入 OT12 =ON?OM,再由 ? 得 5 x ?2 2?

16 ? ? ? 16 ? 2 ?x? ? ? y ? ? ? . 5? ? ?5?
在 AB 上取点 K,使 AK=

2

2

4 AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。 5

例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。 [证明] 过 D 作 OD ? AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为

? ??
2

,因为 OD ? AB,所以 2? tan

? ??
2

? ?1 ,

所以 tan

? ??
2

1 ? ? 。所以 sin(? ? ? ) ? 2

4 2 ?? . 5 ?? ? ? ? 1 ? tan 2 ? ? ? 2 ?

2 tan

? ??

数学必修 2 第 16 页 共 21 页

例 10 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分别为 A(cosα ,sin α ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则α ∈(0,π ).由对称性可 设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可),从而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ),
2 2 所以|OD|= (cos? ? 2 sin ? ) ? sin ? ?

4 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 1

= 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ?

?? ? 3 ? 2 2 sin? 2? ? ? . 4? ?

因为 ? 2 2 ? 2 2 sin? 2? ? 当? ?

? ?

??

? ? 2 2 ,所以 2 ? 1 ?| OD |? 2 ? 1. 4?

7 3 ? 时,|OD|max= 2 +1;当 ? ? ? 时,|OD|min= 2 ? 1. 8 8

例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并求这一系列圆 的公切线的方程。 [证明] 由 ?

?a ? 2m ? 1, 消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。 设公切线方程为 y=kx+b, ?b ? m ? 1

则由相切有 2|m|=

| k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b | 1? k
2

,对一切 m≠0 成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0

对一切 m≠0 成立

3 ? k?? , ?? 4k ? 3 ? 0, ? 3 7 ? 4 所以 ? 即? 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y= ? x ? 和 x=1. 4 4 ?k ? b ? 1 ? 0, ?b ? 7 . ? 4 ?

三、趋近高考【必懂】
1.(2010 江西理)8.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,
2 2

则 k 的取值范围是

? 3 ? 0 ? ? ,? A. ? 4 ?
【答案】A

? 3 3? 3? ? , ? ?? ??, ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 4? ? 3 3 ? B. ? C.

? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?

【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形 结合的运用. 解法 1:圆心的坐标为(3.,2),且圆与 y 轴相切.当 | MN |? 2 3时 , 由点到直线距离公式,解得 [ ?

3 , 0] ; 4
数学必修 2 第 17 页 共 21 页

解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ?? ,排除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 2.(2010 安徽文)(4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 【答案】A 【解析】设直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,又经过 (1, 0) ,故 c ? ?1 ,所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 【方法技巧】因为所求直线与与直线 x-2y-2=0 平行,所以设平行直线系方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,代入此直 线所过的点的坐标,得参数值,进而得直线方程.也可以用验证法,判断四个选项中方程哪一个过点(1, 0)且与直线 x-2y-2=0 平行. 3.(2010 重庆文)(8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 实数 b 的取值范围为 (A) (2 ? 2,1) (C) (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??) 【答案】D 解析: ? (B) [2 ? 2, 2 ? 2] (D) (2 ? 2, 2 ? 2) (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同的公共点,则 ? y ? sin ?

? x ? 2 ? cos ? , 2 2 化为普通方程 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆, y ? sin ? ?

因为直线与圆有两个不同的交点,所以

2?b 2

? 1, 解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2
2,? b ? 2 ? 2

法 2:利用数形结合进行分析得 AC ? 2 ? b ? 同理分析,可知 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 4.(2010 重庆理)(8) 直线 y=

? x ? 3 ? 3 cos ? , 3 ? x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? ?? ? ?0, 2? ? ? 交与 A、B ? 3 y ? 1 ? 3 sin ? ? ?
5 ? 3

两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A.

7 ? 6

B.

5 ? 4

C.

4 ? 3

D.

【答案】C

数学必修 2 第 18 页 共 21 页

解析:数形结合

?1 ? ? ? 30 ?

?2 ? 30 ? ? ? ? ?

由圆的性质可知 ?1 ? ?2

?? ? 30 ? ? 30 ? ? ? ? ?
故? ? ? ?

4 ? 3

5.(2010 广东文)

6. (2010 全国卷 1 理) (11) 已知圆 O 的半径为 1, PB 为该圆的两条切线, B 为两切点, PA、 A、 那么 PA ? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ??? ? ?

7.(2010 安徽理)9、动点 A ? x, y ? 在圆 x ? y ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周。
2 2

已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 函数的单调递增区间是 A、 ? 0,1? B、 ?1, 7 ?

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的 2 2

C、 ? 7,12?

D、 ? 0,1? 和 ? 7,12?

数学必修 2 第 19 页 共 21 页

【答案】 D 【解析】画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 ? ,则 t ? 0 时 ? ?

?
3

,每秒钟旋转

? ? 3? 7? ? ? [ , ] ,在 ? 7,12? 上 ? ?[ , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增的。
3 2 2 3
2 2

? ,在 t ? ? 0,1? 上 6

【方法技巧】由动点 A ? x , y ? 在圆 x ? y ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与三角函数的定 义类似,由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出,当 t 在 [0,12] 变化时,点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得单调递增区间. 8.(2009 江苏卷 18)(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直 线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆

C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所有满足
条件的点 P 的坐标。 【解析】 (1)设直线 l 的方程为:y ? k ( x ? 4) , kx ? y ? 4k ? 0 即 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

7 24

求直线 l 的方程为: y

? 0或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l 2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由垂径定理,得::圆心 C1 到直线 l1 与 C 2 直线 l 2 的距离相等。

数学必修 2 第 20 页 共 21 页

故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2

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