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广东省珠海一中等六校2015届高三数学上学期第二次联考试卷 理(含解析)


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广东省珠海一中等六校 2015 届高三上学期第二次联考数学试卷(理 科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.每小题只有一个正确答案,请把正 确答案填涂在答题卡相应位置) 1. (5 分)已知集合 A={x|( ) <1},B={x|x<1},则 A∩B=() A. ? B. R C. (0,1) D. (﹣∞,1)
x

2. (5 分)命题:“? x∈R,|x|≤0”的否定是() A. ? x∈R,|x|>0 B. ? x∈R,|x|>0 C. ? x∈R,|x|<0

D. ? x∈R,|x|<0

3. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S7=49,则 a2,a6 的等差中项是() A. B. 7 C. ±7 D.

4. (5 分)函数 f(x)=e 在点(0,1)处的切线的斜率是() 2 A. e B. e C. 2

2x

D. 1

5. (5 分)已知等边三角形 ABC 的边长为 1,则 A. B. ﹣ C.

?

=() D.

6. (5 分)已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(﹣2sin3,﹣2cos3) ,则 sinα =() A. ﹣cos3 B. cos3 C. ﹣sin3 D. sin3 7. (5 分)数列{an}中,a1=p,an+1=qan+d(n∈N ,p,q,d 是常数) ,则 d=0 是数列{an}成等比 数列的() A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
*

8. (5 分)已知向量



不共线,向量

=x

+y

,则下列命题正确的是()

A. 若 x+y 为定值,则 A、B、C 三点共线 B. 若 x=y,则点 C 在∠AOB 的平分线所在直线上 C. 若点 C 为△AOB 的重心,则 x+y=

D. 若点 C 在△AOB 的内部(不含边界) ,则

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二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分.) 9. (5 分)已知函数 f(x)=2lnx+sinx,则 f′(x)=. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x +m﹣2 是定义在[n,n+4]上的奇函数,则 m+n=. 11. (5 分)如图 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象,则 φ =.
3

12. (5 分)

=.

13. (5 分)已知 a>b>c>1,且 a,b,c 依次成等比数列,设 m=logab,n=logbc,p=logca, 则 m,n,p 这三个数的大小关系为. 14. (5 分)给出下列命题: (1)设 ﹣ ; 、 是两个单位向量,它们的夹角是 60°,则(2 ﹣ )?(﹣3 +2 )=

(2)已知函数 f(x)=
x

,若函数 y=f(x)﹣m 有 3 个零点,则 0<m<1;

(3)已知函数 f(x)=|2 ﹣1|的定义域和值域都是[a,b](b>a) ,则 a+b=1; (4)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)?[1﹣f(x)]=1+f(x) ,f(﹣1)=2+ f= ﹣2. 其中,正确命题的序号为.

,则

三、解答题(本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (12 分)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acosC=2b﹣c. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= ,b=4,求边 c 的大小.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 16. (12 分)已知正项等比数列{an}中,a1=1,且 2a1,a3,3a2 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(2n﹣1)?an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
2

17. (14 分)已知函数 f(x)=sin(2x+ (1)求 f( )的值;

)+sin(2x﹣

)+2sin x﹣1.

(2)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (3)说明 y=f(x)的图象是如何由函数 y=sinx 的图象变换所得. 18. (14 分)已知数列{an}的首项 a1=a,其前 n 和为 Sn,且满足 Sn+1+Sn=3(n+1) (n∈N ) . (1)用 a 表示 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; * (3)对任意的 n∈N ,an+1>an,求实数 a 的取值范围.
3 2 2 *

19. (14 分)已知函数 f(x)= x ﹣bx +cx+d,设曲线 y=f(x)过点(3,0) ,且在点(3,0) 处的切线的斜率等于 4,y=f′(x)为 f(x)的导函数,满足 f′(2﹣x)=f′(x) . (1)求 f(x) ; (2)设 g(x)=x ,m>0,求函数 g(x)在[0,m]上的最大值;

(3)设 h(x)=f′(x)+(2x+1)t,若 h(x)<4 对 t∈[0,1]恒成立,求实数 x 的取值 范围. 20. (14 分)设函数 f(x)=alnx+x +bx(a,b∈R,a≠0,且 x=1 为 f(x)的极值点. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)=0 恰有两解,试求实数 a 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 g(x)=f(x+1)﹣x +x+2,证明: (n∈N ) .
* 2 2



广东省珠海一中等六校 2015 届高三上学期第二次联考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.每小题只有一个正确答案,请把正 确答案填涂在答题卡相应位置) 1. (5 分)已知集合 A={x|( ) <1},B={x|x<1},则 A∩B=() A. ? B. R C. (0,1) D. (﹣∞,1)
x

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 指数函数单调性的应用;交集及其运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用;集合. 分析: 运用指数函数的单调性,即可化简 A,再由交集的运算即可得到. 解答: 解:A={x|( ) <1}={x|( ) <( ) } ={x|x>0}, 则 A∩B={x|0<x<1}. 故选 C. 点评: 本题考查集合的交集,考查指数函数的单调性及运用:解不等式,属于基础题. 2. (5 分)命题:“? x∈R,|x|≤0”的否定是() A. ? x∈R,|x|>0 B. ? x∈R,|x|>0 C. ? x∈R,|x|<0
x x 0

D. ? x∈R,|x|<0

考点: 特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题,即可得到命题的否定. 解答: 解:∵命题“? x∈R,|x|≤0”为特称命题, ∴根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为:? x∈R,|x|>0. 故选 B. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题, 全称命题的否定是特称命题. 3. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S7=49,则 a2,a6 的等差中项是() A. B. 7 C. ±7 D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 S7=49 结合等差数列的性质求得 a4=7,再由等差中项的概念列式求解 a2,a6 的等差 中项. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 S7=49,得:a4=7, ∴a2,a6 的等差中项是 a4=7. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,关键是由 S7=49 求得 a4,是 基础题. 4. (5 分)函数 f(x)=e 在点(0,1)处的切线的斜率是() 2 A. e B. e C. 2 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,得到函数在 x=0 处的导数得答案. 2x 解答: 解:由 f(x)=e ,得 2x f′(x)=2e ,
2x

D. 1

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴函数 f(x)=e 在点(0,1)处的切线的斜率是 f′(0)=2. 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜 率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.
2x

5. (5 分)已知等边三角形 ABC 的边长为 1,则 A. B. ﹣ C.

?

=() D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量数量积的定义,即 即可. 解答: 解:由题意, COS120°= . ,再将题目中条件代入计算

故答案选:B. 点评: 本题是对数量积定义的考查,属于简单题,在选择时,学生往往可能因为对特殊角 的三角函数值的不熟练而选错. 6. (5 分)已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(﹣2sin3,﹣2cos3) ,则 sinα =() A. ﹣cos3 B. cos3 C. ﹣sin3 D. sin3 考点: 专题: 分析: 解答: r= 任意角的三角函数的定义. 计算题. 直接利用任意角的三角函数三角函数的定义,求出 sinα 的值即可. 解:因为角 α 的终边过点 P(﹣2sin3,﹣2cos3) ,所以 =2, =﹣cos3.

由任意角的三角函数的定义可知:sinα =

故选:A. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. 7. (5 分)数列{an}中,a1=p,an+1=qan+d(n∈N ,p,q,d 是常数) ,则 d=0 是数列{an}成等比 数列的() A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. n 分析: 运用特例分析;若 d=0 时,an+1=qan,如果 an=0,则数列{an}不是等比数列,如 an=2 , 而 d 不一定为 0,根据充分必要条件的定义判断.
*

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵数列{an}中,a1=p,an+1=qan+d(n∈N ,p,q,d 是常数) , ∴若 d=0 时,an+1=qan,如果 an=0,则数列{an}不是等比数列, ∴d=0 是数列{an}成等比数列的不是充分条件, ∵数列{an}成等比数列, ∴应该是当 q=0,d≠0 时,an 是常数列,此时公比为 1,因此是不必要条件吧? ∴d=0 是数列{an}成等比数列的不必要条件, 故选:D 点评: 本题考查了充分必要条件的定义,数列问题,属于容易题.
*

8. (5 分)已知向量



不共线,向量

=x

+y

,则下列命题正确的是()

A. 若 x+y 为定值,则 A、B、C 三点共线 B. 若 x=y,则点 C 在∠AOB 的平分线所在直线上 C. 若点 C 为△AOB 的重心,则 x+y=

D. 若点 C 在△AOB 的内部(不含边界) ,则

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: 由共线向量基本定理判断 A 错误;由向量的加法运算判断 B 错误;由向量的加法运 算结合三角形重心的性质判断 C 错误;排除 A,B,C 则可知 D 正确. 解答: 解:向量 即 , , 不共线,向量 =x +y ,则当 x+y=1 时, =x +(1﹣x) ,

A、B、C 三点共线,x+y 为其它定值时,A、B、C 三点不共线,命题 A 错误; 若 x=y,由 =x +y ,得 =x( + ) ,则点 C 在以 为临边的平行四边形的对

角线上,命题 B 错误; 若点 C 为△AOB 的重心,则 = + =x +y ,则 x+y=2,命题 C 错误;

故选:D. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了共线向量基本定理,考查了平面向量的 加法运算,训练了排除法求解选择题,是中档题. 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分.) 9. (5 分)已知函数 f(x)=2lnx+sinx,则 f′(x)= +cosx.

考点: 导数的加法与减法法则. 专题: 导数的概念及应用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据基本初等函数的导数与导数的运算法则,进行计算即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=2lnx+sinx, ∴f′(x)=2? +cosx = +cosx. 故答案为: +cosx. 点评: 本题考查了基本初等函数的导数以及导数的加减运算问题,是基础题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x +m﹣2 是定义在[n,n+4]上的奇函数,则 m+n=0. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 具有奇偶性的函数定义域关于原点对称,由此求得 n 的值;由奇函数定义 f(﹣x)= ﹣f(x)可解得 m 值,从而可得答案. 解答: 解:因为 f(x)是[n,n+4]上的奇函数, 所以[n,n+4]关于原点对称,即 n+n+4=0,解得 n=﹣2. 3 3 又总有 f(﹣x)=﹣f(x) ,即(﹣x) +m﹣2=﹣(x +m﹣2) ,化简得 2(m﹣2)=0,所以 m=2. 所以 m+n=2+(﹣2)=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查函数的奇偶性,属基础题,难度不大.定义域关于原点对称是函数具备奇 偶性的必要不充分条件. 11. (5 分)如图 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象,则 φ =
3



考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据图象先求出 A 和周期 T,再求出 ω 的值,把点(﹣ 的范围化和特殊角的正弦值求出 φ 的值. 解答: 解:由图知 A=3, = ? = ﹣(﹣ )=π ,∴ω =1; ,0)代入 f(x) ,由 φ

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 又 f(﹣ ∴﹣ )=0,

+φ =2kπ ,k∈Z. (k∈Z) ,又|φ |< ,

∴φ =2kπ + ∴φ = .

故答案为:



点评: 本题考查了正弦函数图象和性质,以及复合三角函数的周期公式应用,考查了读图 能力. 12. (5 分) =π .

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 本题的求解宜借助图形求定积分,由题意知,此定积分的面积应为半径为 2 的圆的 面积的 解答: 解:令 y 由定积分的定义知 故所求的定积分的值为 π 故答案为 π ,x +y =4,如图 的值等于此圆面第二象限部分的面积
2 2

点评: 本题考查定积分的定义及其几何意义,求解本题的关键是根据定积分的几何意义将 求定积分的问题转化为求几何图形的面积问题. 对于一些原函数不易求出的积分问题, 利用几 何意义求解比较方便. 13. (5 分)已知 a>b>c>1,且 a,b,c 依次成等比数列,设 m=logab,n=logbc,p=logca, 则 m,n,p 这三个数的大小关系为 p>m>n.

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考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性、对数的换底公式,属于基础题. 解答: 解:∵a,b,c 依次成等比数列, 2 ∴b =ac. ∵a>b>c>1, ∴p=logca= >1,0<m=logab= = < =1,0<n=logbc= = < =1.

∴ =

=



=1.

∴m>n. ∴p>m>n. 故答案为:p>m>n. 点评: 本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式,属于基础题. 14. (5 分)给出下列命题: (1)设 ﹣ ; 、 是两个单位向量,它们的夹角是 60°,则(2 ﹣ )?(﹣3 +2 )=

(2)已知函数 f(x)=
x

,若函数 y=f(x)﹣m 有 3 个零点,则 0<m<1;

(3)已知函数 f(x)=|2 ﹣1|的定义域和值域都是[a,b](b>a) ,则 a+b=1; (4)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)?[1﹣f(x)]=1+f(x) ,f(﹣1)=2+ f= ﹣2. 其中,正确命题的序号为(1) (2) (3) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) , 利用数量积的概念及运算性质对 (2 ﹣ ) ? (﹣3 +2

,则

) 计算可判断 (1) ;

(2) ,依题意,作图分析,可判断(2) ; x (3) ,利用函数 f(x)=|2 ﹣1|的图象与性质可判断(3) ; (4) ,依题意,可求得 f(x)是以 8 为周期的函数,可判断(4) . 解答: 解: (1) ∵ =﹣6 +7 ? 、 是两个单位向量, 它们的夹角是 60°, 则 (2 ﹣2 =﹣6+7×1×1× ﹣2=﹣ ,故(1)正确; ﹣ ) ? (﹣3 +2 )

(2)由 f(x)﹣m=0 得:m=f(x) ,

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由图可知,函数 y=f(x)﹣m 有 3 个零点,则 0<m<1,故(2)正确; x x (3) ,∵函数 f(x)=|2 ﹣1|在[0,+∞)上是单调递增函数,函数 f(x)=|2 ﹣1|的定义域 和值域都是[a,b](b>a) , 因此应有 ,又 b>a,解得 ,

∴a+b=1,故(3)正确. (4) ,∵f(x+2)?[1﹣f(x)]=1+f(x) ,f(﹣1)=2+ ∴f(x)≠1,



∴f(x+2)=

,f(x+4)=

=

=﹣



∴f[(x+4)+4]=f(x) ,即 f(x+8)=f(x) , ∴f(x)是以 8 为周期的函数, ∴f=f(252×8﹣1)=f(﹣1)=2+ ≠ ﹣2,故(4)错误. 故答案为: (1) (2) (3) . 点评: 本题考查数量积的概念与运算性质,考查函数的零点与函数的周期性的判定与应用, 考查指数函数图象与性质,属于难题. 三、解答题(本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (12 分)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acosC=2b﹣c. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= ,b=4,求边 c 的大小. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由已知得 sinC=2cosAsinC,从而求得 cosA= ,结合已知即可求出角 A 的大小; (2)由余弦定理即可求得边 c 的大小. 解答: 解: (1)因为 2acosC=2b﹣c,所以 2sinAcosC=2sinB﹣sinC =2sin(A+C)﹣sinC

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com =2(sinAcosC+cosAsinC)﹣sinC 即 sinC=2cosAsinC, 又因为 0<C<π ,所以 sinC≠0, 所以 cosA= , 又因为 0<A<π 所以 A= .
2 2 2 2

?4 分

?8 分

(2)因为 a =b +c ﹣2bccosA,即 21=16+c ﹣4c 2 所以 c ﹣4c﹣5=0,解得 c=﹣1(舍) ,c=5. ?12 分. 点评: 本题主要考察了余弦定理的综合应用,属于基础题. 16. (12 分)已知正项等比数列{an}中,a1=1,且 2a1,a3,3a2 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(2n﹣1)?an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等比数列{an}的公比为 q,由 2a1,a3,3a2 成等差数列知,2a1+3a2=2a3,从而 解得 q=2 即可求出数列{an}的通项公式; 2 n﹣1 2 3 (2)由已知和(1)可求出 Tn=1+3×2+5×2 +?+(2n﹣1)×2 ,2Tn=1×2+3×2 +5×2 +?+ n﹣1 n (2n﹣3)×2 +(2n﹣1)×2 ,做差即可求出数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, 由 2a1,a3,3a2 成等差数列知,2a1+3a2=2a3, 2 ∴2q ﹣3q﹣2=0∵an>0∴q=2 ?4 分 n﹣1 * (1)∵a1=1∴an=2 (n∈N ) ?6 分 n﹣1 * (2)∵bn=(2n﹣1)?an,an=2 (n∈N ) 2 n﹣1 ∴Tn=1+3×2+5×2 +?+(2n﹣1)×2 2 3 n﹣1 n ∴2Tn=1×2+3×2 +5×2 +?+(2n﹣3)×2 +(2n﹣1)×2 ?8 分 2 3 n﹣1 n ∴﹣Tn=1+2(2+2 +2 +?+2 )﹣(2n﹣1)×2 =1+
n+1

﹣(2n﹣1)×2
n

n

=2 ﹣3﹣(2n﹣1)×2 n =﹣(2n﹣3)×2 ﹣3 n * ∴Tn=(2n﹣3)×2 +3(n∈N ) . ?12 分 点评: 本题主要考察了等差数列的通项公式和前 n 项和 Tn 的求法,属于中档题.
2

17. (14 分)已知函数 f(x)=sin(2x+ (1)求 f( )的值;

)+sin(2x﹣

)+2sin x﹣1.

(2)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (3)说明 y=f(x)的图象是如何由函数 y=sinx 的图象变换所得.

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考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 化简可得 f(x)=2sin(2x﹣ (1)代值计算可得 f( )=2; ≤2x﹣ ≤2kπ + 可得单调递增区间; ) ,

(2)由周期公式可得周期为 π ,解不等式 2kπ ﹣ (3)由函数图象变换的原则可得. 解答: 解:化简可得 f(x)=sin(2x+ = = sin2x+ cos2x+

)+sin(2x﹣

)+2sin x﹣1

2

sin2x﹣ cos2x﹣cos2x ) ﹣ )=2sin =2;

sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣

(1)代值可得 f(

)=2sin(2×

(2)由周期公式可得 f(x)的最小正周期为 由 2kπ ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ + 可得 kπ ﹣

=π , ≤x≤kπ + ,

∴函数 f(x)的单调递增区间为:[kπ ﹣

,kπ +

](k∈Z)

(3)把函数 y=sinx 的图象上每一点的向右平移

个单位,

再把所得图象上的每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) , 再把所得图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) , 就得到函数 y=f(x)的图象. 点评: 本题考查三角函数的图象和性质,涉及三角函数的周期性和单调性以及图象变换, 属基础题. 18. (14 分)已知数列{an}的首项 a1=a,其前 n 和为 Sn,且满足 Sn+1+Sn=3(n+1) (n∈N ) . (1)用 a 表示 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; * (3)对任意的 n∈N ,an+1>an,求实数 a 的取值范围. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)直接在数列递推式中取 n=1,即可得到 a2=12﹣2a1,代入首项后得答案; (2)在数列递推式中取 n=n﹣1 得另一递推式,作差后得到从第二项开始,数列的偶数项和 奇数项均构成公差为 6 的等差数列,则数列{an}的通项公式可求; (3) 由 a2>a1 求得 a 的范围, 再由 an+1>an 分 n 为偶数和奇数求得 a 的范围, 取交集后得答案.
2 *

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解析: (1)由 Sn+1+Sn=3(n+1) ,取 n=1,得 a1+a2+a1=12, ∴a2=12﹣2a1, 又 a1=a, ∴a2=12﹣2a; (2)由条件 Sn+1+Sn=3(n+1) ,得
2 2



两式相减得 an+1+an=6n+3(n≥2) , 故 an+2+an+1=6n+9, 两式再相减得 an+2﹣an=6(n≥2) , ∴a2,a4,a6,?构成以 a2 为首项,公差为 6 的等差数列; a3,a5,a7,?构成以 a3 为首项,公差为 6 的等差数列. 由(1)得 a2n=6n+6﹣2a; 2 由条件 Sn+1+Sn=3(n+1) ,取 n=2 得 a1+a2+a3+a1+a2=27,得 a3=3+2a, 从而 a2n+1=6n﹣3+2a, ∴
*



(3)对任意的 n∈N ,an+1>an, 当 n=1 时,由 a2>a1,有 3×2+(6﹣2a)>a,得 a<4 ①; 当 n≥2 时,由 an+1>an,有 n﹣1 n﹣2 3(n+1)+(6﹣2a)?(﹣1) >3n+(6﹣2a)?(﹣1) ,即 n﹣1 n﹣2 3+(6﹣2a)?(﹣1) >(6﹣2a)?(﹣1) . 若 n 为偶数,则 3﹣(6﹣2a)>6﹣2a,得 若 n 为奇数,则 3+(6﹣2a)>﹣(6﹣2a) ,得 由①、②、③得 . ②; ③.

点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了数列不等式的解法,体现 了分类讨论的数学思想方法,是压轴题.
3 2

19. (14 分)已知函数 f(x)= x ﹣bx +cx+d,设曲线 y=f(x)过点(3,0) ,且在点(3,0) 处的切线的斜率等于 4,y=f′(x)为 f(x)的导函数,满足 f′(2﹣x)=f′(x) . (1)求 f(x) ; (2)设 g(x)=x ,m>0,求函数 g(x)在[0,m]上的最大值;

(3)设 h(x)=f′(x)+(2x+1)t,若 h(x)<4 对 t∈[0,1]恒成立,求实数 x 的取值 范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,f′(2﹣x)=f′(x) ,可得 f′(x)的图象关于直线 x=1 对称,求 出 b,再利用 f(3)=0,f′(3)=4,求出 c,d,即可求 f(x) ;

- 13 -

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(2)g(x)=x

=x|x﹣1|=

,作出函数的图象,即可求函数 g(x)

在[0,m]上的最大值; 2 (3)h(x)=f′(x)+(2x+1)t=(x﹣1) +(2x+1)t,当 t∈[0,1]时,h(x)<4 等价 于 g(t)=(2x+1)t+(x﹣1) ﹣4<0,只要
2 2

,即可求实数 x 的取值范围.

解答: 解: (1)求导可得 f′(x)=x ﹣2bx+c ?1 分 ∵f′(2﹣x)=f′(x) ,∴f′(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴b=1 ?2 分 又由已知有:f(3)=0,f′(3)=4, ∴c=1,d=﹣3 ?4 分 ∴f(x)= x ﹣x +x﹣3 (2)f′(x)=x ﹣2x+1, g(x)=x 其图象如图所示. 当 x ﹣x= 时,x=
2 2 3 2

?5 分

=x|x﹣1|=

?7 分

,根据图象得:
2

(ⅰ)当 0<m< 时,g(x)最大值为 m﹣m ; (ⅱ)当 <m≤ (ⅲ)当 m> 时,g(x)最大值为 ; 时,g(x)最大值为 m ﹣m.
2 2

?10 分

(3)h(x)=f′(x)+(2x+1)t=(x﹣1) +(2x+1)t, 2 记 g(t)=(2x+1)t+(x﹣1) ﹣4,有 ?11 分 2 当 t∈[0,1]时,h(x)<4 等价于 g(t)=(2x+1)t+(x﹣1) ﹣4<0, ∴只要 ,即 ,

∴﹣1<x< , ∴实数 x 的取值范围为﹣1<x<

,?14 分.

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点评: 本题考查求实数 x 的取值范围,考查导数知识的综合运用,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. 20. (14 分)设函数 f(x)=alnx+x +bx(a,b∈R,a≠0,且 x=1 为 f(x)的极值点. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)=0 恰有两解,试求实数 a 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 g(x)=f(x+1)﹣x +x+2,证明: (n∈N ) . 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用 x=1 为 f(x)的极值点,可得 a+b+2=0,当 a=1 时,利用导数小 于 0,可求 f(x)的单调递减区间; (2)分类讨论,结合 f(x)=0 恰有两解,求实数 a 的取值范围; (3)当 a=1 时,g(x)=ln(x+1) ,即证:
2 * 2 2





.先证明:当

x≤2 时,lnx< (x ﹣1) ,可得 >2( ﹣ ) ,叠加,即可证明结论.

=2(



) .令 x=k+1,得

解答: 解:由已知求导得:f′(x)= +2x+b, ∵x=1 为 f(x)的极值点,∴f′(1)=0,∴a+b+2=0.?2 分 (1)当 a=1 时,b=﹣3, 进而 f′(x)= ,

∵函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∴f(x)的单调减区间为( ,1) . ?4 分 (2)由 a+b+2=0,得 b=﹣a﹣2,则 f(x)=alnx+x ﹣(a+2)x, (x>0) ,
2

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com f′(x)= , (x>0) ,

(ⅰ)当 a<0 时,f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,则 f(x)的极小值为 f(1) , 2 ∵lnx≤x﹣1,∴f(x)≥x ﹣2x﹣a, 则当 x→+∞时,f(x)→+∞, + 又∵当 x→0 时,f(x)→+∞,∴要使 f(x)=0 恰有两解,须 f(1)<0,即 a>﹣1. 因此,当﹣1<a<0 时,f(x)=0 恰有两解. (ⅱ)当 0<a<2 时,f(x)在(0, ) 、 (1,+∞)递增,在( ,1)递减, 则 f(x)的极大值为 f( ) ,f(x)的极小值为 f(1) . ∵f( )=aln + ﹣( +a)≤a( ﹣1)+ ﹣( +a)= (a﹣8) ,

∴当 0<a<2 时,f( )<0,此时 f(x)=0 不可能恰有两解. (ⅲ)当 a>2 时,f(x)在(0,1) 、 ( ,+∞)递增,在(1, )递减, 则 f(x)的极大值为 f(1) ,f(x)的极小值为 f( ) . ∵f(1)=﹣a﹣1<0,∴当 a>2 时,f(x)=0 不可能恰有两解. (ⅳ)当 a=2 时,f(x)在(0,+∞)单调递增,f(x)=0 不可能恰有两解. 综合可得,若 f(x)=0 恰有两解,则实数 a 的取值范围是﹣1<a<0.?9 分 (3)当 a=1 时,g(x)=ln(x+1) , 即证: > .

由于

=2(1+ ﹣



)=2

( ﹣

) .

所以原题转化为证明: :

>2

( ﹣

) ,也就是证明

>2( ﹣ =
2

) ,设 k+1=x,进一步转化为证明

>2(







即证明 lnx< (x ﹣1) . 因此先证明:当 x≥2 时,lnx< (x ﹣1) .
2

设 h(x)=lnx﹣ (x ﹣1) ,h′(x)=

2



当 x≥2 时,h′(x)<0,则 h(x)在(2,+∞)递减,h(x)≤h(2) ,

- 16 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵e >16,∴3>ln16=4ln2,即 ln2< , ∴h(2)=ln2﹣ <0,∴h(x)<0,即 lnx< (x ﹣1) . ∴ 令 x=k+1,得 =2( >2( ﹣ ﹣ ) , ) .
2 3



>2

( ﹣

)=2(1+ ﹣



)=

. ?14 分

点评: 本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用,考查利用导数研究函数的极值,考 查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于难题.

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