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2003年全国各地高考数学模拟试题选析数列


2003 年第 23 期               数学通讯

35

2003 年全国各地高考数学模拟试题选析

数    列
组长 : 徐新斌   执笔 : 陈长伟
( 湖北省孝感高级中学试题研究小组   432100)

中图分类号 : O12 - 44      文献标识码 : A      文章编号 : 0488 - 7395 ( 2003) 23 - 0035 - 03
1  高考回顾
n ( n - 1)

数列是高中代数的重要内容之一 , 由于它既具 有函数特征 ,又能构成独特的递推关系 ,使得它既与 中学数学其他部分知识如 : 函数 、 方程 、 不等式 、 解析 几何 、 二项式定理等有较紧密的联系 ,又有自己鲜明 的特征 ,因此它是历年高考考查的重点 、 热点和难 点 ,在高考中占有极其重要的地位 ,试题往往综合性 强、 难度大 ,承载着考察学生数学思维能力和分析 、 建模 、 解决问题的能力以及函数与方程的思想 ,转化 与化归的思想 、 分类讨论的思想 . 从近几年试题来 看 ,数列部分内容的分值约占总分的 12 %左右 , 大 多为一道选择题或填空题 ,一道解答题 . 而解答题大 多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题 . 为了 适应新课程改革的需要 ,突出对考生能力的考查 ,形 成选拔必需的区分度 , 关于数列的试题经常在数列 知识 、 函数知识 、 不等式的知识和解析几何知识等的 交汇点处命题 , 使数列试题呈现综合性强 、 立意新 、 角度新 、 难度大的特点 . 针对高考命题的趋向 , 各地 在高考模拟中 ,数列部分的试题呈现出注重基础 、 凸 显能力的特色 ,出现了不少新颖而精彩的好题 ,以下 撷取珠玉共同欣赏 . 2  新题评析 例 1  ( 北京市海淀区 ) 等比数列 { a n } 中 , a1 =
1 512 ,公比 q = .用 П n 表示它的前 n 项之积 : П n 2 ) = a1 ? a2 ? … ? a n ,则 П 中最大的是 (    1 ,П 2 , … ( A) П 11 .   (B) П 10 . ( C) П 9 .   ( D) П 8. (解  由 a n = 512 ? 1 ) 2
2
n- 1

= 9 或 10 时取最大值 , 且 n = 9 时 ,

2

为偶

数 , n = 10 时 ,

n ( n - 1)

2

为奇数 ,故 П 9 最大 ,选 ( C) .

评析   本题综合考查了等差数列和等比数列的 基础知识 . П n 的最大值要考虑两个因素 , 其一是 П n 的符号 ,其二是因子 a n 的绝对值是否大于 1. 因 此本题的求解不仅需求学生掌握等差 、 等比数列的 基础知识 ,还需求学生具备较强的解决问题的能力 . 例 2 ( 苏州市) 已知 { a n } 是首项为 1 , 公比为 2
1 2 n 的等比数列 , 则 a1 C0 n + a 2 Cn + a 3 Cn + … + a n + 1 Cn 等 (    ) 于 n n+1 ( A) 3 .    (B) 3 . ( C) 2 n + 2 . ( D) 2 n + 1 . 2 2 解  由 a n = 2 n - 1 得原式 = 1 + C1 2 + Cn ? 2 + n? n n n …+ Cn 2 = ( 1 + 2) = 3 ,故选 (A) . n?

例 3  ( 南昌市) 若数列 { a n } ( n ∈N3 ) 是等差 数列 ,则有数列 bn =
a1 + a2 + …+ a n ( x ∈N3 ) 也 n

为等差数列 ,类比上述性质 , 相应地 : 若数列 { c n } 是 (n 等比数列 ,且 c n > 0 ( n ∈N3 ) ,则有 d n = ∈N3 ) 也是等比数列 . 解  d n =
n

c1 ? c2 ? … ? cn

= ( - 1) 2

n- 1

10 ? 2

n

得: П n = ( - 1)

n ( n - 1)

2

? 2

n (19 - n)

,又

n ( 19 - n )

,当 n

评析   本题考查学生类比思维 ,直觉猜想能力 . 从对数学的感悟的角度考察学生对等差 、 等比数列 间的运算对偶关系 . 不可多得 . 例 4  ( 杭州市) 如图 1 ,已知动圆与直线 y = 2 2 3 相切并与定圆 x + y = 1 相内切 . (Ⅰ ) 记动圆圆心的轨迹为曲线 C ,求曲线 C 的 方程 ; (Ⅱ ) 过原点作斜率为 1 的直线交曲线 C 于第 1 一象限一点 P1 ,又过点 P1 作斜率为 的直线交曲 2

收稿日期 :2003 - 09 - 18

36
线 C 于 P2 ,再过 P2 作斜率为

数 学 通 讯               2003 年第 23 期
1 的直线交曲线 C 于 4 1 n 2 4 > 3 n + 10. 1) 当 n = 3 时 ,显然成立 ;
k 2) 假设当 n = k ( k ≥ 3 , k ∈N) 时 4 > 3 k + 10 , 则当 n = k + 1 时 ,4 k + 1 = 4. 4 k > 4 ( 3 k + 10 ) = [ 3 ( k n

点 P3 , …, 如此继续 , 一般地 , 过点 Pn 作斜率为 的直线交曲线 C 于点 Pn + 1 . 设点 Pn ( x n , y n ) . ①令 bn = x 2 n + 1 - x 2 n - 1 , 求 证 : 数列{ bn } 是等比数列 ; ② 设数列{ bn } 的前 n 项和为
S n ,试比较

+ 1) + 10) ] + 9 k + 27 > 3 ( k + 1) + 10 ,

3 1 S +1与 的 4 n 3 n + 10

大小 . ) 设动圆圆心 C ( x , 解  ( Ⅰ
y ) ,由题意得 x + y +1= y+
2 2 2

即 n = k + 1 时 , 4 n > 3 n + 10 也成立 . 由 ( 1 ) , ( 2) 知 4 n > 3 n + 10 对 n ≥ 3 , n ∈N 都成立 . [ 方法 2 ]   利用二项定理 n n 4 = (1 + 3) 1 2 2 n n = 1 + Cn ? 3 + Cn ? 3 + …+ Cn ? 3
>1+3n+
图1  例4图

n ( n - 1)

2

2 ? 3

> 1 + 3 n + 9 = 3 n + 10 ( n ≥ 3) .

3 ,化简得圆心的轨迹方程为 x = 4 ( y + 1 ) . ( 或由定 义直接得到) (Ⅱ ) ①因为 Pn ( x n , y n ) , Pn + 1 ( x n + 1 , y n + 1 ) 在

∴当 n = 1 时 , 当 n =2时,

3 1 S +1> ; 4 n 3 n + 10

曲线 C 上 ,所以 2 2 x n = 4 ( y n + 1 ) , x n + 1 = 4 ( y n + 1 + 1) . 又因为直线 Pn Pn + 1 的斜率为 ∴ 即
yn +1 - yn 1 = , xn+1 - xn 2 n
2 2

3 1 S +1= ; 4 n 3 n + 10 3 1 S +1< . 4 n 3 n + 10

当 n≥ 3 , n ∈N 时 ,

1 n , 2

1 x n+1 - x n 1 ? = , 4 xn+1 - xn 2 n 1 得 xn+1 + xn = n- 2 , 2

评析   本题将数列 、 解析几何 、 不等式 、 数学归 纳法 、 二项式定理等部分知识有机地结合在一起 ,考 查学生对上述各部分知识的掌握情况的同时 , 也考 察了学生的推理能力 ,分析问题解决问题的能力 . 例 5  ( 北京海淀区 ) 已知数列 { a n } 中 , a1 >
- 1 ,对任意自然数 n ,都有 a n + 1 = (Ⅰ ) 设 a1 = 1 ,求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ ) 试比较 a n 与 2 的大小 ,并证明你的结论 ; (Ⅲ ) 当 a1 ≠ 2 时 ,证明 : 对于任意自然数 n ,或
an + 2 . an + 1

∴ bn = x 2 n + 1 - x 2 n - 1 = ( x2 n +1 + x2 n ) - ( x2 n + x2 n - 1 )
= 1 2
2n- 2

-

1 2 ,
2n- 3

= -

1 2
2n- 2

者都满足 a2 n - 1 < a2 n + 1 ,或者都满足 a2 n - 1 > a2 n + 1 .
) 依 a1 = 1 ,可依次推得 : a2 = 解  ( Ⅰ 7 17 , a4 = . 5 12 (Ⅱ ) 依 a1 > - 1 及 a n + 1 =
an + 2 1 =1+ an + 1 an + 1

bn + 1 1 1 则 = ,所以数列{ bn } 是以 为公比的等 bn 4 4

3 , a3 = 2

比数列 ; ②由 ① 知 bn = Sn = - (

1 2
2n- 2

,则

1 1 1 1 0 + 2 + 4 + …+ 2 n - 2 ) 2 2 2 2 4 1 (1 - n ) , = 3 4 3 1 S +1= n , 4 n 4

可以推得 a n > - 1. 研究
an + 1 an + 2 an + 1

2= = =

2

所以

因此只要比较 4 n 与 3 n + 10 的大小 . 当 n = 1 时 , 4 < 13 , ∴ 4 n < 3 n + 10 ; 当 n = 2 时 ,16 = 16 , ∴ 4 n = 3 n + 10 ; 当 n = 3 时 ,64 > 19 , ∴ 4 n > 3 n + 10 , 猜测当 n ≥3 , n ∈N 时 ,4 n > 3 n + 10. n 以下证明 n ≥ 3 , n ∈N 时 ,4 > 3 n + 10. [ 方法 1 ]   用数学归纳法证明 n ≥ 3 , n ∈N 时 ,

( 2 - 1) ( 2 - a n ) an + 1 ( 2 - 1) 2 (a - 2 ) ( 1) ( a n - 1 + 1) ( a n + 1) n - 1

( 2 - 1) 2 注意到 : ( >0, a n - 1 + 1) ( a n + 1)

① 当 a1 = 2 时 ,假设 n = k 时 , ak = 2 ,则依 (1) 推出 ak + 1 = 2 ,

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因此对于任意自然数 n , a n = 2 . ②当 - 1 < a1 <
2 时 , 由 a2 2 = ( 2 - 1) ( 2 - a1 ) > 0 ,推出 a2 > 2 , a3 < 2 . a1 + 1

假设 n = k 时 , 若 - 1 < ak < 2 , 则依 ( 1 ) 推出
ak + 2 < 2 ,若 ak > 2 ,则依 (1) 推出 ak + 2 > 2 .

因此 ,当 n 是奇数时 , a n < 2 ; 当 n 是偶数时 ,
an > 2 .

③当 a1 > 2 时 ,同理可证 : 当 n 是奇数时 , a n > 2 ; 当 n 是偶数时 , a n <
2. (Ⅲ ) 研究
a2 n + 1 - a2 n - 1 = (1 +

境 ,凡是坡度在 25° 以上的坡荒地都要绿化造林 , 经 初步统计 ,在三峡库区坡度大于 25° 的坡荒地面积约 有 2640 万亩 ,若从 2003 年初开始绿化造林 ,第一年 造林 120 万亩 ,以后每年比前一年多绿化 60 万亩 . (Ⅰ ) 若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成 功 ,问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化 ? (Ⅱ ) 若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平 均为 0. 1 万立方米 , 每年树木木材量的自然增长率 为 20 % ,那么当整个库区 25° 以上荒地全部绿化完 的那一年底 ,一共有木材多少万立方米 ? ( 保留 1 位 小数 ,1. 2 9 = 5. 16 ,1. 2 8 = 4. 30) ) 设 a1 = 120 , d = 60 ,第 n 年后可以使 解  ( Ⅰ 绿化任务完成 . 则有
S n = 120 n + n ( n - 1)

1
a2 n + 1

) - a2 n - 1 1 1 - a2 n - 1

2

? 60 ≥ 2640 ,

=1+ (1 +
2

a2 n - 1 + 1

) +1

2 ( 2 - a2 n - 1 ) = 2 a2 n - 1 + 3
2

(2)

解得 n ≥ 8. 故到 2010 年 , 可以使库区内 25° 以上的坡地全 部绿化 . (Ⅱ ) ∵到 2010 年造林数量为 : a8 = 120 + 7 × 60 = 540 ( 万亩) , 设到 2010 年木材总量为 S ,依题意有 : 8 7 6 S = ( 120 × 1. 2 + 180 × 1. 2 + 240 × 1. 2 + …  + 540 × 1. 2) × 0. 1 8 7 = 6 ×( 2 × 1. 2 + 3 × 1. 2 + …+ 9 × 1. 2) 8 7 ( 1) 令 S′ =2× 1. 2 + 3 × 1. 2 + …+ 9 × 1. 2 两边乘以 1. 2 得 9 8 2 1. 2 S′ =2× 1. 2 + 3 × 1. 2 + …+ 9 × 1. 2 ( 2) ( 2) - ( 1 ) 得 9 8 7 0. 2 S′ =2× 1. 2 + ( 1. 2 + 1. 2 + … 2  + 1. 2 ) - 9 × 1. 2 2 7 1. 2 ( 1 - 1. 2 ) 9 =2× 1. 2 + - 10. 8 1 - 1. 2 9 =7× 1. 2 - 18. 9 (7 × ∴ S′ = 5? 1. 2 - 18) ≈90. 6 , ∴S =6× 90. 6 = 543. 6 ( 万立方米) . 答 : 到 2010 年底共有木材 543. 6 万立方米 . 评析   本题具有浓郁的时代特色 , 解答的过程 不仅涉及抽象建模 、 知识运用 ,还能从中体会到数学 的科学价值和人文价值 . 3  命题趋向 高考试题中数列的走向 , 估计在题型和分值上 将继续保持稳定 , 即一小一大两道题 , 约占总分的 12 % ; 在试题难度上 , 小题主考双基 , 属容易题或中 档题 ,大题主考能力 , 在重点考数列的概念 、 等差数 列、 等比数列的有关知识的基础上 ,利用新颖的构题 考察应 用 意 识 、 建模能力、 推理能力和数学思想 方法 .

) 可知 , - 1 < a2 n - 1 ①当 - 1 < a1 < 2 时 ,依 ( Ⅱ < 2 ,故 2 - a2 n - 1 > 0 且 2 a2 n - 1 + 3 > 0. 则由 ( 2) 得 ,

对任意自然数 n ,有 a2 n + 1 > a2 n - 1 .
) 中可知 , a2 n - 1 > 2 , 故 ②当 a1 > 2 时 , 依 ( Ⅱ 2 - a2 n - 1 < 0. 因此 , 对任意自然数 n , 有 a2 n + 1 <
a2 n - 1 .
2

评析   本题以数列搭台 , 唱了一曲不等式的重 头戏 . 问题的解决不仅要求学生掌握好不等式的基 础知识 ,还需要学生有较强的逻辑推理能力以及分 类讨论 、 转换化归的数学思想 . 例 6  ( 天津市) 使用计数器依照预先编制的程 序进行计算 ,当依次输入两个数据为 1 和 1 时 ,输出 的结果为 2 ; 若依次输入两个数据为 m 和 n 时 ,输出 的结果为 k ; 依次输入两个数据为 m 和 n + 1 时 ,输 出的结果为 k + 3 ,则当依次输入两个数据为 1 和 n 时 ,输出的结果应为 . 解  题中条件可表示为 : f (1 ,1) = 2 , f ( m , n ) = k ,则 f ( m , n + 1) = k + 3 ,于是有 f ( m , n + 1) f ( m , n ) = 3 , 即输入的两个数据中第一个数不变 , 第二 个 数 据 增 加 1 时 , 输 出 结 果 增 加 3 , 亦 即 f ( m ,1) , f ( m ,2) , f ( m ,3) , …, f ( m , n ) , … 成等差 ( ) ( ) 数列 ,公差 d = 3 ,故 f 1 , n = 2 + n - 1 ? 3 =3n 1. 即结果为 3 n - 1. 评析   本题将一个等差数列求通项的问题非常 精彩地嵌入了一个 “计数器” 中 ,独特地 、 巧妙地考察 了学生的数学思维能力和数学建模能力 . 例 7  ( 重庆市 ) 为了保护三峡库区的生态环


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