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2013届高考数学一轮复习资料(7)


一轮复习资料( 2013 届高考数学一轮复习资料(7)
时量: 分钟;满分: 时量:90 分钟;满分:150 分 姓名: 姓名: 班级: 班级:
一、单项选择题(5×10=50 分) 单项选择题( 10= 1.已知函数 f ( x ) = 2 cos(2 x + π ) ,下面四个结论中正确的是( 6 A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2π B.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x =



π
对称

6

C.函数 f ( x ) 的图象是由 y = 2cos 2 x 的图象向左平移

π
个单位得到

6

π? ? D.函数 f ? x + ? 是奇函数 6? ?
2.关于直线 a、b、l 及平面 α 、 β ,下列命题中正确的是( A.若 a∥ α ,b∥ β ,则 a∥b B.若 a∥ α ,b⊥a,则 b⊥ α C.若 a ? α ,b ? α ,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥ α D.若 a⊥ α ,a∥ β ,则 α ⊥ β 3 . 函 数 f (x ) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x) = f (2 ? x), 且 ( x ? 1) f '( x ) < 0 , 若 )

1 ) a = f (0), b = f ( ), c = f (3), 则 a, b, c 的大小关系( 2 A. a > b > c B. c > b > a C. b > a > c D. a > c > b 4.有两个盒子装着写有数字的卡片,其中一个盒子装有数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 各一张,另 一个盒子装有数字 2 , 3 , 6 , 8 各一张,从两个盒子中各摸出一张卡片,则摸出两张
数字为相邻整数卡片的概率是( A. ) C.

1 4

B.

1 5

3 10

D.

7 20

5.已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F 与椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点重合,它 a 2 b2


们在第一象限内的交点为 T ,且 TF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为 (

A.

1 2

B.

2 2

3
C. 2

D. 2 ? 1

6、已知全集 U = N ,集合 A = { x ∈ N | lg( x ? 1) < 1} , B = { x ∈ N | ( x ? 3)( x ? 7) ≤ 0} ,

则集合 A I CU B = A、 {8,9,10} 7、计算



) B、 {3,4,5,6,7}

C、 {2,7,8,9,10}

D、 {2,8,9,10}

3?i = 1+ i ( ) A、 1+ 2i B、 1? 2i C、 2 + i 1 π 条件( 8、 cos x = ”是“ x = 2k π + , k ∈ Z ”的 “ 2 3
A、充分不必要 C、充要 9、 sin(

D、 2 ? i )

B、必要不充分 D、既不充分也不必要

3π 3 ? x ) = ,则 cos 2 x = ( ) 2 5 7 14 16 19 B、 C、 ? D、 A、 ? 25 15 25 25 10、 已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x + 4) = f ( x ) , 当 x ∈ (0,2) 时, f ( x ) = 2 x 2 ,则 f (7) = (
A、 ? 2 B、 2 ) C、 ? 98 D、 98

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

f ( x) = x 2 ?
11.函数

1 + a ln x x 在 (1, 2) 上存在单调递增区间的充要条件是


12.阅读程序框图,该程序输出的结果是

y = log 1 x + log 1 x
2

13.函数

3

3

的单调递减区间是

{a } a = 33, an +1 ? an = 2n, 14.已知数列 n 满足 1 则
__________.

an n 的最小值为

uuu v uuu v AD ⊥ AB , BC = 3 BD , 15.如图,在△ABC中, uuuv uuuv uuuv | AD |= 1 ,则 AC ? AD = 。
三、解答题。(共 75 分)

uv a, b, c , m = (1,sin A + 3 cos A) , 16.12分) ( 设锐角△ABC的三内角A、 C的对边分别为 B、 向量
v 3 uv v n = (sin A, ) 2 ,且 m 与 n 共线。

(1)求角A的大小; (2)若 a = 2 , c = 4 3 sin B ,且△ABC的面积小于 3 ,求角B的取值范围。

f ( x ) = ln
17.(12分)已知函数

x?4 x + x ? 6 12

(1)求 f ( x ) 的单调区间以及极值; (2)函数 y = f ( x ) 的图像是否为中心对称图形?如果是,请给出严格证明;如果不 是,请说明理由。

18. (15分)已知数列

{an }



{bn }

a1 =
满足:

b 1 bn +1 = n 2 1 ? an 。 4 , an + bn = 1 ,

(1)求数列

{bn } 的通项公式;

cn =
(2)若

2 an ? an 2n (1 ? 2an )(1 ? 3an ) ,求数列{ cn }的前n项和 S n 。

19. (16 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中,AD∥BC,∠DAB=90?,PA⊥平 面 ABCD,PA=AB=BC=1,AD=2,M 是 PD 的中点。 (1)求证:MC∥平面 PAB;

(2)在棱 PD 上求一点 Q,使二面角 Q—AC—D 的正切值为

2 。 2

/ 20. (20分)已知函数 f ( x ) 是在 (0, +∞ ) 上每一点处均可导的函数,若 xf ( x) > f ( x) 在

(0, +∞ ) 上恒成立。

g ( x) =
(1)①求证:函数

f ( x) x 在 (0, +∞) 上是增函数;

②当

x1 > 0, x2 > 0 时,证明: f ( x1 ) + f ( x2 ) < f ( x1 + x2 ) ;

(2)已知不等式 ln( x + 1) < x 在 x > ?1 且 x ≠ 0 时恒成立,求证:

1 n 1 1 1 ln(n + 1) 2 > , (n ∈ N * ) ln 2 2 + 2 ln 32 + 2 ln 42 + + 2 2 (n + 1) 2(n + 1)(n + 2) 2 3 4 …

参考答案 1-5 DDCAD 6-10 DBBAA

a ∈ (?
11.

27 , +∞ ) 2 ; 12.729;

13. (0, 3] ;

21 14. 2 ;

15. 3

uv v 16.解: (1)∵ m 与 n 共线,
sin 2 A + 3 sin A cos A =


sin A(sin A + 3 cos A) =


3 2

1 ? cos A 3 3 3 π + sin 2 A = sin(2 A ? ) = 1 2 ,∴ 2 2 2 可得 6
A=

2A ?
∵A是锐角,∴

π
6

=

π
2 ,故

π
3

.

(2)∵ a = 2 , c = 4 3 sin B ,

S ?ABC =


1 1 ac sin B = 4 3 sin 2 B = 2 3 ? 2 3 cos 2 B < 3 cos 2 B > 2 2 得 0 < 2B <

π

∵B是锐角,∴

(0, ). 3 ,故角B的取值范围是 6

π

f / ( x) =
17. (1)

x( x ? 10) 12( x ? 4)( x ? 6)

∵ x ∈ ( ?∞, 4) U (6, +∞ )

/ 由 f ( x) > 0 得 f ( x ) 在区间 ( ?∞, 0] 和 [10, +∞ ) 上递增 / 由 f ( x) < 0 得 f ( x ) 在区间 [0, 4) 和 (6,10] 上递减

[ f ( x )]极小值 =f (0) = ln
于是有

2 3 5 [ f ( x)]极大值 =f (10) = ln + 3; 2 6

5 (5, ) f ( x ) 图像上取得极值的两点的中点为 12 。下证,函数 f ( x ) 图像关于 (2)因为
此点对称。 设 f ( x ) 的定义域为D, ? ∈ D,有:

= f ( x ) + f (10 ? x) ln

x?4 x 6 ? x 10 ? x 5 + + ln + = x ? 6 12 4? x 12 6

5 (5, ) 所以,函数 y = f ( x ) 的图像关于点 12 对称。

b1 =
18.解(1)∵

b 1 1 3 b = bn bn +1 = n 2 = = n +1 2 1 ? an , an + bn = 1 ,∴ 1 ? an 1 + an 2 ? bn 4;

bn +1 ? 1 =


b ?1 2 ? bn 1 1 1 ?1 = n = = ?1 2 ? bn 2 ? bn ,∴ bn +1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

1 1 1 = ?1 = + (?1) × (n ? 1) = ?4 ? n + 1 = ? n ? 3 b ? 1 bn ? 1 b ? 1 b1 ? 1 ∴ n +1 ,∴ n ?
bn ? 1 = ?


1

1 n+2 ? bn = n+3 n+3

1 ?1 an = 2 an ? an 1 1 1 cn = n 2n ( ? 2)( ? 3) an = 1 ? bn = an an 2 (1 ? 2an )(1 ? 3an ) n + 3 ,∴ (2)∵
= n+2 1 1 ? n n ?1 (n + 1) ? 2n n(n + 1) ? 2 = n ? 2
S n = c1 + c2 + ??? + cn = 1 ?


1 1 1 1 1 + ? + ? 1 1 2 2 2 × 2 2 × 2 3 × 2 3 × 2 4 × 23 +……

1 1 1 ? 1? n ?1 n (n + 1) ? 2 = (n + 1) ? 2n + n?2

19. (1)过 M 作 MN∥PA 交 AD 于 N,连接 CN, ∵PA⊥平面 ABCD 且 MP=MD,∴MN⊥平面 ABCD 且 NA=ND, ∴AB=BC=AN=CN=1, 又∠NAB=90?,DA∥BC,∴四边形 ABCN 为正方形, ∴AB∥NC,∴平面 PAB∥平面 MNC。 ∴MC∥平面 PAB。 (2)在(1)中连接 NB 交 AC 于 O,则 NO⊥AC,连接 MO,∵MN∥平面 ABCD, MO⊥AC,∴∠MON 就是二面角 M—AC—D 的平面角,∵tan∠MON=
2 , 2

∴点 M 就是所求的 Q 点。

g ( x) =
20. (1) 解 ①由

f / ( x) ? x ? f ( x) f ( x) g / ( x) = / / x , x2 , xf ( x) > f ( x) 可知 g ( x) > 0 由

在 (0, +∞ ) 上恒成立,

g ( x) =
从而有

f ( x) x 在 (0, +∞ ) 上是增函数。 f ( x) x 在 (0, +∞ ) 上是增函数,当 x1 > 0, x2 > 0 时,有

g ( x) =
②由①知

f ( x1 + x2 ) f ( x1 ) f ( x1 + x2 ) f ( x2 ) > , > x1 + x2 x1 x1 + x2 x2 ,于是有: f ( x1 ) < x1 x2 f ( x1 + x2 ), f ( x2 ) < f ( x1 + x2 ), x1 + x2 x1 + x2













f ( x1 ) + f ( x2 ) < f ( x1 + x2 )
(2)由(Ⅰ)②可知:

f ( x1 ) + f ( x2 ) < f ( x1 + x2 )

, (

x1 > 0, x2 > 0

)恒成立

由数学归纳法可知:

xi > 0(i = 1, 2,3, ???, n)

时,有:

f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + ??? + f ( xn ) < f ( x1 + x2 + x3 + ??? xn )( n ≥ 2) x > 0(i = 1, 2,3, ???, n) 设 f ( x) = x ln x ,则,则 i 时,

恒成立

(1) 恒 成立

xn =


1 1 1 1 S n = x1 + x2 + ??? xn = 2 + 2 + ??? + 2 ( n + 1) ,记 2 3 ( n + 1) 2 1 1 1 1 + + ??? + = 1? 1? 2 2 ? 3 n( n + 1) n +1 , 1 1 1 1 + ??? + = ? . 2?3 ( n + 1)( n + 2) 2 n + 2

Sn <


Sn >


( x1 + x2 + ??? + xn ) ln( x1 + x2 + ??? + xn ) < ( x1 + x2 + ??? + xn ) ln(1 ?

1 ) n +1

(2)

1 1 1 ln 2 2 + 2 ln 32 + 2 ln 42 + 2 3 4 … 将 ( 2 ) 代 入 ( 1 ) 中 , 可 知 : 2

+

1 n ln(n + 1)2 < ? 2 (n + 1) 2(n + 1)(n + 2)

1 1 1 1 ln(n + 1)2 ln 2 2 + 2 ln 32 + 2 ln 42 + + 2 (n + 1) 2 3 4 … 于是: 2 > n , (n ∈ N * ) 2(n + 1)(n + 2)


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