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《3.3.2函数的极值与导数》教学案


3.3.2《函数的极值与导数》教学案 教学目标: 1. 2. 3. 理解极大值、极小值的概念; 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 掌握求可导函数的极值的步骤. 教学重点: 极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极 值的步骤. 教学难点: 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程: 创设情景 观察图 3.3-8,我们发现,t ? a 时,高台跳水运动员距水 面高度最大.那么,函数 h (t ) 在 此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规 律? 放大 t ? a 附近函数 h (t ) 的图像,如图 3.3-9.可以看出 h?( a ) ;在 t ? a ,当 t ? a 时, 函数 h (t ) 单调递增, h?(t ) ? 0 ;当 t ? a 时,函数 h (t ) 单调递减, h?(t ) ? 0 ;这就说明 ,在 t ? a 附近,函数值先增( t ? a , h?(t ) ? 0 )后减( t ? a , h?(t ) ? 0 ).这样,当 t 在 a 的 附近从小到大经过 a 时, h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) 连续变化,于是有 h?(a) ? 0 . 3.3-8 3.3-9 对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢? 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出, 判别极大、 极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导 数异号 新课讲授 一、导入新课 观察下图中 P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点 的函数值以及点 P 位置的特点 王新敞 奎屯 新疆 y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) o a x1 x3 b x 函数图像在 P 点附近从左侧到右侧由 “上升”变为“下降 4 ”(函数由单调递增变为单 调递 x2 减),在 P 点附近,P 点的位置最高,函数值最大 二、学生活动 学生感性认识运 动员的运动过程,体会函数极值的定义. 三、数学建构 y 极值点的定义: 观察右图可以看出,函数在 x=0 的函数值比它附近所有 各点的函数值都大,我们说 f (0)是函数的一个极大值;函数 在 x=2 的函数值比它附近所 有各点的函数值都小,我们说 f (2)是 函数的一个极小值. 一般地,设函数 y ? f (x) 在 x ? x 0 及其附近有定义,如果 f ( x 0 ) 2 的值比 x 0 附近所有各点的函数值都大,我们说 f ( x 0 ) 是函数 0 x y ? f (x) 的一个极大值;如果 f ( x 0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的函数 值都小,我们说 f ( x 0 )是函数 y ? f (x) 的一个极小值.极大值与极小值统 称极值. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数 值. 请注意以下几点:(让同学讨论) (ⅰ) 极值是一个局部概念 .由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数 值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小. (ⅱ) 函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可 以不止一个. (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关 系.即一个函数的极大值未必大于极小 值,如下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 ) . y f ( x

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