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高考放缩法技巧全总结


高考数学备考之一 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而 充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而 成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往 往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进 行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 n 例 1.(1)求 ? 2 的值; 2 k ?1 4k ? 1 2 (2)求证: ?k k ?1 n 1 2 ? 5. 3 2 1 1 ,所以 n 2 1 2n 解析:(1)因为 ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2 n ?1 4 k ? 1 k ?1 (2)因为 1 ? n2 1 n2 ? 1 4 ? n 1 1 1 1 ? 2 5 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 k 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 3 3 ? ? k ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4 奇巧积累:(1) 1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4n 2 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? r ?1 r ? Cn ? (2) 1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) Cn C ?1 n (3) T 1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r (4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? n 2 ?1 3 ? 2 1 5 ? n(n ? 1) 2 (5) 1 1 1 ? ? 2 (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n n (6) 1 ? n?2 ? n n?2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 1 1 ? n ?1 (2n ? 1) ? 2 (2n ? 3) ? 2 n (7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1) n 2 1 ? 1 (8) ? ? ? ?? n ? (9) 1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ? n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) ! (10) (11) 1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 1 1 n? ? n? 2 2 (11) (12) 2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1 n 1 n 3 ? 1 n?n 2 ? ? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? ? n(n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1

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