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2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学
一、选择题:
1. 已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} )

B) ? (



D. {x | 0 ? x ? 1}

2.设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3.已知 a ? 2
?

B. 2 ? 3i
1 3

C. 3 ? 2 i

D. 3 ? 2i ) D. c ? b ? a )

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

5.设 a, b, c 是非零向量, 已知命题 P: 若 a ?b ? 0 , 则a?c ? 0; 命题 q: 若 a //bb b?c ? 0 , , // c 则下列命题中真命题是( A. p ? q B. p ? q ) C. (?p) ? (?q) D. p ? (?q)

, 则 a / /c ,

6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半 圆内的概率是( A. ) C.

? 2

B.

? 4

? 6

D.

? 8

7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?



? 2

D. 8 ?

? 4

8. 已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为(
2



A. ?

4 3

B.-1

C. ?

3 4

D. ?
aa

1 2


9. 设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

1 ? cos ? x, x ? [0, ] ? 1 ? 2 10.已知 f ( x ) 为偶函数, 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? , 则不等式 f ( x ? 1) ? 的解集为 ( 2 ?2 x ? 1, x ? ( 1 , ??) ? ? 2
A. [ , ] [ , ]



1 2 4 3

4 7 3 4

B. [ ?

3 1 1 2 ,? ] [ , ] 4 3 4 3

C. [ , ] [ , ]

1 3 3 4

4 7 3 4

D. [ ?

3 1 1 3 ,? ] [ , ] 4 3 3 4


11. 将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,学科网所得图象对应的函数( 2
, ] 上单调递增 12 12

? 7?
12 12 ,

] 上单调递减 B.在区间 [

? 7?

C.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递减 D.在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3 6 3
3 2

? ?

12. 当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]



9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

二、填空题
13. 执行右侧的程序框图,若输入 n ? 3 ,则输出 T ? .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14.已知 x,y 满足条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值为 ? 3x ? y ? 3 ? 0 ?

.

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线 15. 已知椭圆 C: 9 4
段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?
2

.
2

16. 对于 c ? 0 ,当非零实数 a,b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时, 值为 .

3 4 5 ? ? 的最小 a b c

三、解答题
17. 在 ?ABC 中, 学 科网内角 A, B, C 的对边 a, b, c, 且a ?c, 已知 BA ? BC ? 2 ,cos B ? 求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 18.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所 示:

1 ,b ? 3 , 3

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异” ; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机抽 取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.

0 19.如图,?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 ,?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、F、

G 分别为 AC、DC、AD 的中点. (1)求证: EF ? 平面 BCG; (2)求三棱锥 D-BCG 的体积.

1 附:椎体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高. 3

20.圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P (如图). (1)求点 P 的坐标; (2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l : y ? x+ 3 交于 A,B 两点,若 ?PAB 的面积为 2,求 C 的标准方程.

21.已知函数 f ( x) ? ? ( x ? cos x) ? 2sin x ? 2 , g ( x) ? ( x ? ? ) 证明: (1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (
2 2

1 ? sin x 2 x ? ?1 . 1 ? sin x ?

?
2

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? .

23.将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标 系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
2 24. 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为

N. (1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4


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