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数列的应用研究性学习方案


研究性学习设计模板
作者姓名 学科 单元标题 研究性学习名称 小组成员 所需时间 【学习目标】 (或概述) 1 知识与技能:能够应用等差数列、等比数列的知识解决简单的实际问题。 2 过程与方法:通过解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学建模的思想。 3 情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,培养学生勇于探索、积极进取的精神,激发 学生学习数学的热情。培养普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点以及勇于探 索的创新精神。 【情境】 数学来源于生活,又在生活和生产实践中有着广泛的应用。等差数列与等比数列,就是在科学与工农业生 产中经常会碰到的知识。等差数列、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、 增长率等方面的问题。 【任务与预期成果】 1. 2. 3. 等差数列、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方 面的问题,解决方法是建立数列模型,应用数列知识解决问题。 将实际问题转化为数列问题时应注意:(1)分清是等差数列还是等比数列;(2)分清是求通项还 是求前 n 项和,特别是要准确确定项数 n;(3)递推关系的发现是数列建模的关键。 掌握解决数列问题的基本思路,如下表:
? 实际问题 ? ? ? ? 数学问题
? 回答
? 数学方法
反演
抽象转化

高芳俊 数学 数列的应用
数列的应用

任职单位 年级

嘉祥县第一中学 高一

对全班同学进行分组,共十组,每组 5 人。 1 课时

? 实际结果 ? ?

? 数学结果

【过程】 (过程要体现研究性学习的主要环节)

环节

教学内容 数学来源于生活,又在生活和生产

师生互动 教师提出本节课要

设计意图 引导学生从生活中的实 际问题出发,发现问题,分 析问题,解决问题.

导 入

实践中有着广泛的应用.等差数列与等 解决的问题. 比数列,就是在科学与工农业生产中经 常会碰到的知识.这节课我们就一起来 探讨几个应用题. 例1 某林场计划造林 0.5 km2,以
2

教师引导学生阅 读题目,找出关键语 言、关键数据. 教师引导学生得

解应用题的关键是将实 际问题转化为数学问题,建 立数学模型.

后每年比上一年多造林 0.1 km ,问 6 年 后林场共造林多少? 解 依题意,林场每年造林数成等

差数列{an}, 其中 a1 = 0.5, =0.1, =6. 出:本题实质上是一个 d n 所以 S6 = 0.5×6 + 新 课 = 4.5. 即 6 年后林场共造林 4.5 km2. 6×(6-1) ×0.1 2 等差数列求和的问题. 学生在教师的指 引下,将实际问题的文 字语言转化数学的符 号语言,用数学式子表 达数学关系. 建模求解应用题的步骤: (1)阅读题目,确定数列类型; (2)寻求已知量; (3)确定所求量; (4)利用公式列等式; (5)解答; (6)写出答案. 教师板书解题步 骤. 在构建数学模型的过程 中,要求学生对数学知识具 有检索能力,认定或构建相 应的数学模型,完成从实际 通过例题,教师引 问题向数学问题的转化. 导学生归纳应用题的 解题步骤. 构建出数学模型后,要 正确得到问题的解,还需要 比较扎实的基础知识和较强 例 2 某种电子产品自投放市场以 的数学运算能力. 来,经过三次降价,单价由原来的 174 元降到 58 元,这种产品平均每次降价的 百分率是多少? 解 设平均每次降价的百分率是 x, 教师引导学生建 模: (1)分清是等差 数列还是等比数列; (2)分清是求通 解答数列综合题和应用 性问题既要有坚实的基础知 识,又要有良好的思维能力 和分析、解决问题的能力; 解答应用性问题,应充分运 用观察、归纳、猜想的手段, 建立出有关等差(比)数列

则 每 次 降 价 后 的 单 价 是 原 价 的 (1 - x) 倍.这样,将原单价与三次降价后的单 价依次排列,就组成一个等比数列,记 为{a n},其中 a 1 = 174,a 14= 58,n =4,q =1-x. 由等比数列的通项公式,得

项问题还是求和问题. 模型,再综合其他相关知识

58 = 174×(1-x)4-1. 整理,得 新 课 1-x = 因此 x≈1-0.693≈ 31%. 即这种电子产品平均每次降价的百分率 大约是 31%. 请学生在黑板上 做题. 注意: 1.要准确判定数列类型; 2.要分清已知量和待求量. 师生统一订正. (1-x)3 = 1 , 3 学生分组合作探 究.

来解决问题.这些都有利于 学生数学能力的提高.

3 1 ≈0.693. 3

老师巡视指导. 对学生解题过程 中普遍遇到的难点,师 生合作完成. 强化转化思想、方程思 想的应用.

例 3 一对夫妇为了 5 年后能购买一 辆车,准备每年到银行去存一笔钱.假

通过例题,再次强 调解应用题需要注意

设银行储蓄年利率为 5%,按复利计算, 的问题. 为了使 5 年后本利和共有 10 万元,问他 们每年约需存多少钱?(精确到 1 元) 解 设每年他们存入 x 元,一年后

存的本利和为 x (1 + 5%), 两年后的本利和为 x(1 + 5%)+ x(1 + 5%)2, ?? 5 年后的本利和为 新 课 x (1+5% )+ x (1+5%)2 +?+ x (1+5%)5. 依题意,列方程得 x (1+5% )+ x (1+5%) +?+ x (1+5%) = 100 000, 即 1.05 x× 1.055-1 = 100 000. 1.05-1
2 5

教师首先帮助学 生理解 “复利” 的概念, 注意分期付款因方式 的不同抽象出来的数 列模型也不同.

教师引导学生将 实际问题的文字语言 转化数学的符号语言,

解此方程,得 x ≈ 17 236 元. 所以每年约需存入 17 236 元.

用数学式子表达数学 关系,将实际问题通过 分析概括,抽象为数学 问题.

教师引导学生先 建立数学模型,再用数 学知识解决,然后回到 实际问题,给出答案. 等差数列和等比数列知识在社会 学、经济学等方面有着广泛的应用. 小 结 解决数列实际问题的步骤是: 读题,确定数列类型→寻求已知量 →确定所求量→利用公式列等式→解答 →写出答案. 作 业 【资源列表】 1、多媒体课件、多媒体教室。 2、教材、练习本。 【评价设计】 评价表 等次 评价内容 评价指标 (星级评定)) 1、活动态度方面 A、态度是否积极,是否主动组织或参与活动。B、与 小组同学合作是否良好。C、活动是否认真、善始善终。D、 是否勇于克服困难。 2、知识技能方面 A、查阅资料技能。B、实地观察记录能力。C、调查 研究能力。D、整理材料能力。 3、完成活动任务 A、运用工具能力。B、交往与表达能力。C、分析总 综合情况方面 结能力。 4、创新意识和实 A、选题新颖、独特性。B、研究问题方法的积极性、 践能力方面 多样性。C、活动方法的灵活性。D、独立设计活动、开展 活动能力。 【结论】 教材 P25,习题 7,9. 学生回顾解决应 用题的方法,畅谈本节 课的收获. 教师引导梳理,总 结本节课的知识点和 解题方法. 学生课后完成. 巩固拓展. 教师鼓励学生积极回 答,培养学生的口头表达能 力和归纳概括能力.

将数列知识放在一特定的环境中,对此类问题应认真审题,将问题转化为数列模型,从而使问题得以解 决。通过实例、多媒体,学生影响深刻,达到了研究的目的,教学目标能基本达到。


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性质:研究性学习课题 2。地位:等比数列前 n 项和公式在购物方式上的实际应用 ...电脑 6000 元,银行的贷款月利率为 0.004575,给自己设计一个分期付 款的方案...

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