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函数的周期性教师版


高频考点 函数的周期性 一.定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x ,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f ? x ? 叫做周期函数, T 叫做这个函数的一个周期。 二.重要结论 1、 f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数; 2、 若函数 y ? f ( x) 满足 f ?x ? a ? ? ? f ?x ? ,( a ? 0 ),则 f ? x ? 为周期函数且 T ? 2a 是它的一个周期。 3、 若函数 f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,( a ? 0 )则 f ? x ? 为周期函数且 T ? 2a 是它的一个周期。 1 ,( a ? 0 ),则 f ? x ? 为周期函数且 T ? 2a 是它的一个周期。 f ?x ? 1 5、若函数 y=f(x)满足 f ? x ? a ? ? ? ,( a ? 0 ),则 f ? x ? 为周期函数且 T ? 2a 是它的一个周期。 f ?x ? 1 ? f ( x) 6、 f ( x ? a) ? ,则 f ? x ? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 7、 f ( x ? a ) ? ? 1 ? f ( x) ,则 f ? x ? 是以 T ? 4a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 4、 y=f(x)满足 f ?x ? a ? ? 8、 若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x=a,x=b(b>a)都对称,则 f(x)为周期函数且 2 b-a) ( 是它的一个周期。 B 9、 函数 y ? f ( x) ? x ? R ? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、 ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称, 则函数 f ( x) 是以 2 ? b ? a ? 10、 函数 y ? f ( x) ? x ? R ? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称, 则函数 f ( x) 是以 4 ? b ? a ? 11、若偶函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x=a 对称,则 f ? x ? 为周期函数且 2 a 是它的一个周期。 12、若奇函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x=a 对称,则 f ? x ? 为周期函数且 4 a 是它的一个周期。 13、若函数 y ? f ( x) 满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a) ( a ? 0 ),则 f ? x ? 为周期函数,6a 是它的一个周期。 14、若奇函数 y ? f ( x) 满足 f(x+T)=f(x),(x∈R,T≠0), 则 f( 三、重要题型 题型 1.确定函数的周期,并利用周期求函数值 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为( B A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2 ) ) 为周期的周期函数; 为周期的周期函数; T )=0. 2 练 1.设 f ? x ? 是 ?? ?,?? ? 上的奇函数,f ?x ? 2? ? ? f ?x ? , 0 ? x ? 1 时,f ?x ? ? x , f ?7.5? ? B 当 则 ( A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 练 2. 设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ? f (113.5)? (

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