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广东省东莞市2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题


东莞市 2015-2016 学年度第一学期期末教学质量检测 高二理科数学(B 卷)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、命题“若 x ? 2015 ,则 x ? 0 ”的否命题是( A.若 x ? 2015 ,则 x ? 0 C.若 x ? 2015 ,则 x ? 0 ) B.若 x ? 0 ,则 x ? 2015 D.若 x ? 0 ,则 x ? 2015 )

2、若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ ? a ? 2?? a ? 4? ? 0 ”的( A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3、在 ??? C 中,角 ? ,? ,C 的对边长分别为 a ,b ,c ,a ? 4 ,? ? 45? ,? ? 60? , 则b ? ( A.2 6 ) B.2 3 ) C.x ? ?4
1 ,则 a5 ? ( 9

C.2 2

16 D. 3

4、抛物线 y 2 ? 16 x 的准线方程为( A.y ? 4 B.y ? ?4

D.x ? 4

5、已知等比数列 ?an ? , a1 ? 1 , a3 ? A.?
1 81


1 C. 81

B.?

1 81

D.?

1 2

1 6、已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? x ,焦点在 x 轴上,焦距为 20 ,则它的方程 2

为( A.

) B.
x2 y 2 ? ?1 20 80

y 2 x2 ? ?1 20 80

C.

y 2 x2 ? ?1 80 20

D.

x2 y 2 ? ?1 80 20

? 1 ? 7、已知等差数列 ?an ? , a1 ? 1 , a3 ? 3 ,则数列 ? ? 的前 10 项和为( a a ? n n ?1 ?
10 A. 11 9 B. 11
第 1 页 共 10 页


11 D. 10

9 C. 10

1 1 8、设 a ? 0 , b ? 0 ,若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 ? 的最小值为( a b


1 D. 4

A.8

B.4

1 C.

???? ? ??? ? ? ??? ? ? 9、如右图,空间四边形 ??? C 中, ?? ? a , ?? ? b , ?C ? c ,点 ? 在 ?? 上,且
???? ? 2 ???? ???? ? ?? ? ?? ,点 ? 为 ? C 中点,则 ?? 等于( 3
1? 2? 1? A. a ? b ? c 2 3 2 1? 1? 1? C. a ? b ? c 2 2 2



2? 1? 1? B. ? a ? b ? c 3 2 2 2? 2? 1? D. a ? b ? c 3 3 2

10、当双曲线 C 不是等轴双曲线时,我们把以双曲线 C 的实轴、虚轴的端点作为顶 点的椭圆称为双曲线 C 的“伴生椭圆” .则离心率为 3 的双曲线的“伴生椭圆”的 离心率为(
1 A. 2

) B.
6 3

C.

3 3

D.

2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) ? ? ? ? 11、已知向量 a ? ? 2, ?1,1? , b ? ? t ,1, ?1? , t ? R ,若 a //b ,则 t ?
?x ? y ? 0 ? 12、不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?0 ? x ? 2 ?





13 、 已 知 等 差 数列 ?an ? , a1 ? 1 , 公差 d ? 0 ,若 a1 , a2 , a6 成等比数列 ,则

a11 ?



14、已知命题 p : ?x ? R , x2 ? 2 x ? a ? 0 ,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围 是 . (用区间表示)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 3 15、 (本小题满分 12 分) 在 ??? C 中,a ,b ,c 分别是角 ? ,? ,C 的对边,cos ? ? 5 且 ac ? 35 .
第 2 页 共 10 页

?1? 求 ???C 的面积; ? 2 ? 若 a ? 7 ,求角 C .

16、 (本小题满分 12 分)设命题 p : 实数 x 满足 ? x ? 4a ?? x ? a ? ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题
q : 实数 x 满足 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 .

?1? 若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围;
? 2 ? 若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

17、 (本小题满分 14 分) 某农场计划种植甲、 乙两个品种的蔬菜, 总面积不超过 300 亩, 总成本不超过 9 万元. 甲、 乙两种蔬菜的成本分别是每亩 600 元和每亩 200 元. 假 设种植这两个品种的蔬菜,能为该农场带来的收益分别为每亩 0.3 万元和每亩 0.2 万 元.问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积,可使农场的总收益最大,最大 收益是多少万元?

第 3 页 共 10 页

18、 (本小题满分 14 分)如图,在四棱柱 ??CD ? ?1?1C1D1 中,底面 ?? CD 是等腰 梯形, ?D?? ? 60? , ?? ? 2CD ? 2 , ? 是线段 ?? 的中点. ?1? 求证: C1?// 平面 ?1?DD1 ;

? 2 ? 若 CD1 ? 平面 ??CD 且 CD1 ?

求平面 C1D1? 和平面 3,

?? CD 所成的角(锐角)的余弦值.

19、 (本小题满分 14 分)已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且有 a1 ? 1 , Sn ? 1 ? an?1 ( n ? ?? ) . ?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;

? 2 ? 若数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 n ,其前 n 项和为 ?n ,求证: ? ?n ? 1 . 4 4 an

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )经过点 ?1, ? ,且椭圆的 2 a b ? 2? 左、右焦点分别为 F 2 作两条互相垂直的直线, 1 ? ?1,0 ? 、 F 2 ?1,0? ,过椭圆的右焦点 F

20、 (本小题满分 14 分)已知椭圆

分别交椭圆于点 ? 、 ? 及 C 、 D . ?1? 求椭圆的方程;

1 1 ? 的值; ?? CD 9 ? 3? 求 ?? ? 16 CD 的最小值.

? 2? 求

第 4 页 共 10 页

东莞市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高二理科数学(B 卷)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. ?2 12. 4 1 C 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 A 8 B 9 B 10 D

13. 31

14. [?1, 3]

三、解答题

3 , 且B ? (0, ? ) , 5 4 ∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? ,又 ac ? 35 ,?????????????3 分 5 1 1 4 ∴ S ?ABC ? ac sin B ? ? 35 ? ? 14 .??????????????6 分 2 2 5 (2)由 ac ? 35 ,a=7,
15.解: (1)∵ cos B ? 得 c=5,?????????????????????????7 分 ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 49 ? 25 ? 2 ? 7 ? 5 ?

3 ? 32 , 5

∴ b ? 4 2 ,?????????????????????????9 分

a 2 ? b 2 ? c 2 49 ? 32 ? 25 2 ∴ cos C ? ???????????10 分 ? ? 2ab 2 2? 7? 4 2
又 C ? (0, ? ) ?????????????????????????11 分 ∴C ?

?
4

.??????????????????????????12 分

16. 解:(1)由 ( x ? 4a ) ? ( x ? a ) ? 0 得 a ? x ? 4a .????????1 分 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 4 ,即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 4 ??3 分 由 x2 ? 4 x ? 3 ? 0 得1 ? x ? 3 . 所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 3 .??????????5 分 若 p ? q 为真,则 1 ? x ? 3 ,所以实数 x 的取值范围是 ?1,3? .??6 分 (2) 设 A ? ? x | a ? x ? 4a? , B ? ? x | 1 ? x ? 3? ?????????8 分

第 5 页 共 10 页

q 是 p 的充分不必要条件,则

B ? A ?????????????10 分
?

所以 ?

?0 ? a ? 1 3 ?3 ? ? ? a ? 1 ,所以实数 a 的取值范围是 ? ,1? .???12 分 4 ?4 ? ? 4a ? 3

17.解:设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为 x,y 亩, 农场的总收益为 z 万元,则??1 分

? x ? y ? 300, ?0.06 x ? 0.02 y ? 9, ? ???① ? ? x ? 0, ? ? y ? 0,

y
500 400 300 200 100 O 100 200 300 400 M

????5 分

目标函数为 z ? 0.3 x ? 0.2 y , ?????6 分

? x ? y ? 300, ?3 x ? y ? 450, ? 不等式组①等价于 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0,

x

可行域如图所示,???????????9 分 当目标函数对应的直线经过点 M 时, 目标函数 z 取最小值. ????????????????????10 分 解方程组 ?

? x ? y ? 300, ?3 x ? y ? 450,

得 M 的坐标

x ? 75 , y ? 225 ,??????????????12 分

所以 zmax ? 0.3 ? 75 ? 0.2 ? 225 ? 67.5 .????????????13 分 答:分别种植甲乙两种蔬菜 75 亩和 225 亩,可使农场的总收益最大,最大收益为 67.5 万元. ??????????????????????????????14 分 18. 解: (1)连接 AD1

? ABCD ? A1 B1C1 D1 为四棱柱,? CD // C1 D1
又? M 为 AB 的中点,? AM ? 1 ? CD // AM , CD ? AM

CD ? C1 D1

? AM // C1 D1 , AM ? C1 D1
第 6 页 共 10 页

? AMC1 D1 为平行四边形 ? AD1 // MC1 ………………4 分
又? C1M ? 平面A1 ADD1

AD1 ? 平面A1 ADD1

? AD1 // 平面A1 ADD1 ………………6 分
(2)方法一:? AB // A1 B1

A1 B1 // C1 D1

? 面D1C1M与ABC1 D1共面
作 CN ? AB ,连接 D1 N 则 ?D1 NC 即为所求二面角………………8 分 在 ABCD 中, DC ? 1, AB ? 2, ?DAB ? 60
?

? CN ?

3 2

在 Rt?D1CN 中, CD1 ?

3 , CN ?

3 15 ? D1 N ? 2 2

3 NC 3 5 ………………14 分 ? cos ?D1CN ? ? 2 ? ? D1 N 5 15 15 2
方法二:作 CP ? AB 于 ? 点 以 C 为原点, CD 为 x 轴, CP 为 y 轴, CD1 为 z 轴建立空间坐标系,

1 3 ? C1 (?1,0, 3 ), D1 (0,0, 3 ), M ( , ,0) 2 2 1 3 ? C1 D1 ? (1,0,0), D1M ? ( , ,? 3 ) 2 2
设平面 C1 D1M 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 )

第 7 页 共 10 页

? x1 ? 0 ? ??1 3 y1 ? 3 z1 ? 0 ? x1 ? 2 ?2

? n1 ? (0,2,1)

显然平面 ABCD 的法向量为 n2 ? (1,0,0)

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

1 5 显然二面角为锐角, ? 5 5
5 ………………14 分 5
??1 分

所以平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成角的余弦值为 19. 解:(1)当 n ? 1 时, a2 ? S1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, S n ? 1 ? an ?1 (n ? N )
?

S n ?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) ,
两式相减得, an ?1 ? 2an (n ? 2) , 又 a2 ? 2a1 ,??3分 ??2 分

所以 ?an ? 是首项为,公比为 2 的等比数列,??4 分 所以 an ? 2n ?1 . (2)由(1)知 an ? 2n ?1 ,所以 b n = 所以 Tn = ??6 分

n n n = ? n+1 ,??7分 n ?1 4a n 4 ? 2 2

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ... ? n+1 ? 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn = 3 ? 4 ? 5 ? ... ? n+1 ? n+2 ,?8分 2 2 2 2 2 2

两式相减得,

1 1 (1 ? n ) 2 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 ? n+2 Tn = 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n+1 ? n+2 = 2 1 2n+2 2 2n+2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n+2 n 1 1 n 所以 Tn ? 1 ? n+2 (或写成 Tn ? 1 ? ( ? 1) ? n 或 Tn ? 1 ? n ? n+1 ?10分 2 2 2 2 2 n?3 n?2 n ? 2 n ? 3 n ?1 ? Tn ?1 ? Tn ? (1 ? n ?3 ) ? (1 ? n ? 2 ) ? n ? 2 ? n ?3 ? n ?3 ? 0 ?11分 2 2 2 2 2

? Tn ?1 ? Tn ? Tn 是递增的,又 T1 ?
3 4
第 8 页 共 10 页

?

3 ? Tn ? 1 4

?14分

20.解: (1)法一: 由椭圆的定义可知

3 3 2a ?| MF1 | ? | MF2 |? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ? 4 2 2

?a ? 2

??1 分

由 c ? 1 得 b ? 3 ??2 分 故椭圆的方程是 法二: 由已知得,

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

??3 分

9 ? ? ? 1 ? 4 ?1 ,??1 分 ? a 2 b2 ? 2 2 ? ? a ?b ?1

?a 2 ? 4 得? 2 ,??2 分 ?b ? 3
x2 y 2 故椭圆的方程是 ? ? 1; 4 3
??3 分

(2)椭圆的右焦点为 F2 (1, 0) ,分两种情况讨论如下: 1°当直线 AB 的斜率不存在时,AB: x ? 1 ,则 CD: y ? 0 .此时 | AB |? 3 , | CD |? 4 ,

1 1 7 ? ? ; | AB | | CD | 12

??5 分

2°当直线 AB 的斜率存在时,设 AB : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,则 CD: y ? ? 又设点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) . 联立方程组 ?

1 ( x ? 1) . k

? y ? k ( x ? 1),
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

第 9 页 共 10 页

消去 y 并化简得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 所以

y
C F1 B A

8k 2 , x1 ? x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? 4k 2 ? 3
??7 分

O

F2 D

x

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
? 1? k 2 ? 64k 4 ? 16(k 2 ? 3)(4k 2 ? 3) 12(k 2 ? 1) ? (4k 2 ? 3) 2 4k 2 ? 3
??8 分

由题知,直线 CD 的斜率为 ?

1 12(1 ? k 2 ) ,同理可得 | CD |? k 4 ? 3k 2

??9 分

所以

1 1 7k 2 ? 7 7 ? ? ? 为定值. 2 | AB | | CD | 12(k ? 1) 12
1 1 7 ? ? , | AB | | CD | 12

??10 分

(3)解:由(II)知

所以 | AB | ?

9 12 9 1 1 | CD |? (| AB | ? | CD |)( ? ) 16 7 16 | AB | | CD |

??11 分

9 9 | CD | | CD | 12 25 16 | AB | 12 25 | AB | 21 , 16 ? ( ? ? ) ? ( ?2 ? )? 7 16 | AB | | CD | 7 16 | AB | | CD | 4

??12 分

9 | CD | | AB | ,即 | AB |? 3 | CD | ,即 | AB |? 3,| CD |? 4 时取等号 ?13 分 当且仅当 16 ? 4 | AB | | CD |
所以 | AB | ?

9 21 | CD | 的最小值为 . 16 4

??14 分

第 10 页 共 10 页


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