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知识点111 二元一次方程的解(解答)


三.解答题(共 22 小题) 1.已知 是关于 x,y 的二元一次方程 ax+by=3 的两组解.

(1)求 a,b 的值; (2)当 x=5,y=﹣1 时,求代数式 ax+by 的值. 考点:二元一次方程的解。 专题:计算题。 分析: (1)本题可将两组的 x、y 的值代入二元一次方程中,得出 .再运用加减消元法解出

a、b 的值; (2)将(1)中计算出来的 a、b 的值和 x=5,y=﹣1 代入代数式即可解出本题的答案. 解答:解: (1)由题意,得 ,

解得



(2)当 x=5,y=﹣1 时,ax+by=5a﹣b=5× 2﹣(﹣3)=13. 点评:本题考查的是二元一次方程的解法,通常的解法有加减消元法和代入法,可根据题意选择方法.

2.已知方程

的两组解是



,求(a+b) (a ﹣2a b +b )的值.

4

2 2

2

考点:二元一次方程的解;因式分解-运用公式法。 分析:首先根据方程的解的定义将 和 代入方程 ,得到关于 a,b 的方程组

,然后解这个方程组,求出 a、b 的值,再把 a、b 的值代入所求式子,即

可求出结果. 解答:解:将 和 代入 ,





解得


4 2 2 2 4 2 2 2

∴(a+b) (a ﹣2a b +b )=(4﹣3)[4 ﹣2× 4× (﹣3) +(﹣3) ]=﹣23. 点评:本题主要考查了方程的解的定义以及解二元一次方程组的方法.

同时能够运用因式分解法对式子变形,便于简便计算.

3.已知



都是方程 y=ax+b 的解,求 a 和 b 的值.

考点:二元一次方程的解。 分析:把两组解分别代入方程,得关于 a,b 的方程组,求解即可. 解答:解:把 和 代入方程 y=ax+b 得,

, 解得 a=1,b=1. 点评:此题主要考查了二元一次方程解的定义以及解二元一次方程组的基本方法.

4.若

是方程 2x﹣6y=18 的解,求 k 的值.

考点:二元一次方程的解。 分析:把 代入方程 2x﹣6y=18,得到关于 k 的一元一次方程,解此方程即可.

解答:解:把

代入方程 2x﹣6y=18 得,

2× 3k﹣6× (﹣2k)=18, 整理得,18k=18, 解得 k=1. 点评:此题比较简单,只要把方程的解代入方程,再运用解一元一次方程的知识求出方程的解即可.

5.已知方程 mx+ny=8 的一个解是 (1)试求出 m 的值; (2)若该方程的另一个解是



,求不等式

的解集.

考点:二元一次方程的解;解一元一次不等式。 专题:方程思想。 分析: (1)把 代入方程 mx+ny=8,得到 2m=8,所以可求得 m=4;

(2)把

和 m=4 代入方程 mx+ny=8,得到 4+2n=8,解得 n=2; ,得到不等式 ,去分母后为 x﹣6﹣2x>4,解不等式

把 m=4,n=2 代入不等式 可得 x<﹣10.

解答:解: (1)把

代入 mx+ny=8,得 2m=8,解得 m=4;

(2)x=1,y=2,m=4 代入 mx+ny=8 得 4+2n=8,解得 n=2, 所以不等式为 ,

去分母得 x﹣6﹣2x>4, 移项、合并同类项得﹣x>10, 系数化为 1 得 x<﹣10. 点评:解题关键是把原方程的解代入原方程,求出 m 和 n 的值.把 m 和 n 的值代入不等式,再求解. 6.求下列图中 y(或 x)的值:

考点:二元一次方程的解。 分析:可将 2x﹣y=3 变形为 y=2x﹣3,然后分别代入 x、y 的值就可以求出对应的值.

解答:解: 点评:此题主要考查了二元一次方程的解的定义,根据方程的解的定义即可解决问题. 7.附加题:写出二元一次方程 x+y=7 的一个整数解. 考点:二元一次方程的解。 专题:开放型。 分析:此题可以吧方程变形为 y=7﹣x,要求方程的整数解,只需给定 x 一个整数值,即对应求得 y 的值即 可. 解答:解:方程可变形为 y=7﹣x, 若把 x=1 代入方程,得 y=6. ∴ 元一次方程 x+y=7 的一个整数解.

点评:本题考查了二元一次方程的整数解,即满足方程的左右两边相等且都是整数的未知数的值就是方程 的解. 8.判断括号内的数是不是前面方程的解: (1) (3,﹣7)

(2)5x+y=3(



考点:二元一次方程的解;一元一次方程的解。 专题:计算题。 分析:方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值,即利用方程的解代替未知数,所得到的式子 左右两边相等.因而可以把括号内的数分别代入方程进行检验. 解答:解: (1)把 x=3 代入方程,得左边=右边=1,3 是原方程的解; 把 x=﹣7 代入方程,得左边=﹣49,右边=﹣4,﹣7 不是原方程的解; (2)将 x= ,y=1 代入 5x+y=3,得左边=2+1=3=右边,故它们是原方程的解. 点评:本题考查方程解的定义,能满足方程左边等于右边的未知数的值即是方程的解.

9.设关于 x,y 的二元一次方程 ax+by=﹣2 的有两组解为 考点:二元一次方程的解。 专题:开放型。 分析:分别把 和



,请你再写一组该方程组的解.

代入关于 x,y 的二元一次方程 ax+by=﹣2 得到关于 a、b 的方程组,求出 a、

b 的值,即可得出原方程的解,写出原方程的任一组解即可. 解答:解:将 和 代入方程 ax+by=﹣2,得

, (2 分)

解得

. (4 分)

原方程可化为

, (5 分)

如:

,答案不唯一. (6 分)

点评:本题属开放性题目,答案不唯一,解答此题的关键是根据题意列出关于 a、b 的二元一次方程组, 求出方程 ax+by=﹣2 的表达式,再写出符合方程的一组解即可. 10.一般地,一个二元一次方程有多少个解? 考点:二元一次方程的解。 分析:根据二元一次方程的解的定义解答. 解答:解:无数个解.

比如二元一次方程 3x﹣2y=11 的一些解是







等等.

点评:使方程左、右两边都相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.

11.若

是方程 2y+3mx=1 的解,则 m 的值是多少?

考点:二元一次方程的解。 分析:知道了方程的解,可以把这组解代入方程,得到一个含有未知数 m 的一元一次方程,从而可以求出 m 的值. 解答:解:由二元一次方程的解的定义,把 代入 2y+3mx=1,得

4+3m=1, 解得 m=﹣1. 点评:解题关键是把方程的解代入原方程,使原方程转化为以系数 m 为未知数的方程. 12.若 和 是方程 mx+ny=3 的两组解,求 m、n 之值.

考点:二元一次方程的解。 分析:把两组解代入方程中,即可得到一个关于 m、n 的方程式组,解方程组即可得 m、n 的值. 解答:解:把 (3 分) , 解得 m=1,n=1. (5 分) 点评:本题主要考查解二元一次方程,解题关键是把方程的解代入原方程,使原方程转化为以系数 m、n 为未知数的方程. 和 代入 mx+ny=3,得

13.甲、乙两人同求方程 ax﹣by=7 的整数解,甲正确地求出一个解为

;乙把 ax﹣by=7 看成 ax﹣

by=1,求得一解为

.试求 a,b 的值.

考点:二元一次方程的解。 分析:把 代入方程 ax﹣by=7,得 a,b 的一个方程,再把 代入方程 ax﹣by=1,得 a,b 的另

一个方程,组成方程组,求得 a,b 的值. 解答:解:根据方程解的定义,把 代入方程 ax﹣by=7,得 a+b=7,



代入方程 ax﹣by=1,得 a﹣2b=1, ,

组成方程组得

所以



点评:此题考查了方程的解的定义以及二元一次方程组的解法.

14. (1)已知

是方程 2x﹣6my+8=0 的一组解,求 m 的值;

(2)如果

是方程 x﹣6y+16=0 的解,则 t=?

考点:二元一次方程的解。 专题:计算题。 分析:本题可将解先代入二元一次方程,得到一元一次方程,解出即可. 解答:解: (1)∵ 是方程 2x﹣6my+8=0 的一组解,

∴将其代入,得 4+18m+8=0, 解得 m= ;

(2)∵

是方程 x﹣6y+16=0 的解,

∴将其代入,得 2t﹣18t+16=0, 解得 t=1. 点评:本题主要考查一元一次方程组的解法,代入后可直接求解.

15.甲、乙两人同求方程 ax﹣by=7 的整数解,甲求出一组解为 求得一组解为 ,试求 a、b 的值.

,而乙把 ax﹣by=7 中的 7 错看成 1,

考点:二元一次方程的解。 分析:由方程组的定义,可知甲的解答 满足原方程,代入后,可得 a,b 间的一个关系式 3a﹣4b=7,

乙求出的解不满足原方程,而满足方程 ax﹣by=1,代入后可得 a,b 的另一个关系式 a﹣2b=1,从而可求 出 a,b 的值. 解答:解:把 x=3,y=4 代入 ax﹣by=7 中, 得 3a﹣4b=7①, 把 x=1,y=2 代入 ax﹣by=1 中, 得 a﹣2b=1②, 解由①②组成的方程组得, . 点评:此题考查了学生的分析能力,解题的关键是找到关于 a、b 的方程组.

16.若二元一次方程 ax+by=4 的两个解分别为



,问

是不是原方程的解?

考点:二元一次方程的解。 专题:计算题。 分析:解题关键是根据方程的解的定义得到 a、b 的方程组,求得 a,b 的值,再检验. 解答:解:不是. 把两个解分别代入原方程,得到关于 a 和 b 的二元一次方程组 解得 , ,

所以原方程为 3x﹣y=4. 把 x=4 代入方程,得 y=8≠6,所以 不是原方程的解.

点评:二元一次方程有无数个解,只要满足方程的左右两边相等,即可知是原方程的解. 17.若干只 6 脚蟋蟀和 8 脚蜘蛛,共有 46 只脚,问蟋蟀和蜘蛛各有多少只? 考点:二元一次方程的解。 专题:计算题;应用题。 分析:先设有 x 只蟋蟀,y 只蜘蛛,然后列出方程,6x+8y=46(称之为不定方程)3x+4y=23①,由①得出: ②,从而得出 y 的取值范围,0≤y≤5,根据以上条件分类讨论即可. 解答:解:设有 x 只蟋蟀,y 只蜘蛛, 则有:6x+8y=46(称之为不定方程)3x+4y=23① 下面求此方程的非负整数解 由①得: ∵x≥0∴ ∴0≤y≤5 用 y=0,1,2,3,4,5 代入②式: 当 y=0 时, 当 y=1 时, 不为整数,舍去 不为整数,舍去 ②

当 y=2 时,x=5 为非负整数,符合条件 当 y=3 时, 当 y=4 时, 不为整数,舍去 不为整数,舍去

当 y=5 时,x=1 为非负整数,符合条件 所以原不定方程的非负整数解为 或 .

点评:本题考查了二元一次方程的解,解题的关键是根据题意列出方程,然后分类讨论,难度不大,但很 复杂.

18.已知方程组

中,xy 的系数都已经模糊不清,但知道

是这个方程组的一个解,请写

出原方程组. 考点:二元一次方程的解;解二元一次方程。 分析:先设出方程组为 ;然后根据方程组的解列出关于 a、b 的方程组 ,通过解该

方程组求得 a、b 的值后,再将其代入原方程组即可. 解答:解:设原方程组为: ,

∵ ∴

是这个方程组的一个解, ,

解得,



故原方程组为:



点评:本题考查了二元一次方程组的解.二元一次方程组的解一定满足该二元一次方程组.

19.已知,平面直角坐标系内,点 A(a,0) ,B(b,2) ,C(0,2) ,且 a、b 是方程组

的解,

求: (1)a、b 的值. (2)过点 E(6,0)作 PE∥y 轴,点 Q(6,m)是直线 PE 上一动点,连 QA、QB,试用含有 m 的式子 表示△ ABQ 的面积. (3)在(2)的条件下.当△ ABQ 的面积是梯形 OABC 面积一半时,求 Q 点坐标. 考点:二元一次方程的解;解二元一次方程组;坐标与图形性质;三角形的面积。 专题:动点型。 分析: (1)解方程组可直接求出 a、b 的值; (2)过 B 点作 BD⊥x 轴,垂足为 D,则 S△ ABQ=S 梯形 BDEQ﹣S△ ABD﹣S△ AQE,求出用含有 m 的式子表示 △ ABQ 的面积; (3)计算 S 梯形 OABC,根据△ ABQ 的面积是梯形 OABC 面积一半列出方程求 m 的值即可. 解答:解: (1)由方程组 再与方程组中两式分别相减,得 两式相加,得 a+b=8, ;

(2)由(1)可知,A(5,0) ,B(3,2) ,

如图,过 B 点作 BD⊥x 轴,垂足为 D, 则 S△ ABQ=S 梯形 BDEQ﹣S△ ABD﹣S△ AQE= (2+|m|)×(6﹣3)﹣ × 2× (5﹣3)﹣ × (6﹣5)× |m| =|m|+1;

(3)∵S 梯形 OABC= × (3+5)× 2=8, 依题意,得|m|+1= × 8, 解得 m=± 3, ∴Q(6,3)或(6,﹣3) . 点评:本题考查了解二元一次方程组,坐标与图形的性质,三角形、梯形的面积计算.关键是根据题意画 出图形,结合图形上点的坐标表示相应的线段长. 20.已知关于 x,y 的二元一次方程(a﹣3)x+(2a﹣5)y+6﹣a=0,当 a 每取一个值时就有一个方程,这 些方程有一个公共解. (1)求出这个公共解; (2)请说明,无论 a 取何值,这个公共解都是二元一次方程(a﹣3)x+(2a﹣5)y+6﹣a=0 的解. 考点:二元一次方程的解。 专题:计算题。 分析: (1)先把原方程去括号整理得出(x+2y﹣1)a﹣3x﹣5y+6=0,再由题意得出 方程即可; (2)按照(1)的思路去做即可. 解答:解: (1)原方程去括号整理得: (x+2y﹣1)a﹣3x﹣5y+6=0,由题意得: , ,解

解得



(2)∵把(a﹣3)x+(2a﹣5)y+6﹣a=0 化为下面的形式: (x+2y﹣1)a﹣3x﹣5y+6=0, ∴ ,

解得

(3 分)

∴无论 a 取何值,这个公共解都是二元一次方程(a﹣3)x+(2a﹣5)y+6﹣a=0 的解(2 分) 点评:本题考查了二元一次方程的解,难度适中,是个不错的题目.

21.已知



是方程 mx+ny=10 的解,求 m、n 的值.

考点:二元一次方程的解。 专题:计算题。 分析:由题意,把 和 分别代入方程 mx+ny=10,得到关于 m,n 的方程组,再解方程组即可.

解答:解:把



分别代入方程 mx+ny=10,得

, 解方程组得 .

∴m、n 的值分别是﹣10,4. 点评:本题主要考查了二元一次方程的解的定义,要求理解什么是二元一次方程的解,并会把 x,y 的值 代入原方程验证二元一次方程的解.
b

22.若关于 x、y 的二元一次方程 y=kx+b 有两组解



,求 k 的值.

考点:二元一次方程的解。 专题:计算题。 分析:先把两组解代入方程,即可得到一个关于 k、b 的二元一次方程,解出 k、b 的值,再求解即可. 解答:解:把两组解代入方程得,2k+b=1①,5k+b=2②, ①﹣②得:k= , 把 k 的值代入①得:b= , ∴k =﹣1. 点评: 主要考查二元一次方程的解的定义, 要会用代入法判断二元一次方程的解. 该题主要用的是代入法.
b


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