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高中数学必修4 三角函数的最值问题


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三角形中的最值问题

解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化等知识点, 是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形 中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法只有两种,建立目标函 数后,可以利用重要不等式解决,也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明: 例 1.要是斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是( ) A.∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是 1/3 的锐角

解:解法 1.(三角函数的有界性)设斜边为 c,其一个锐角是 α ,周长是 L,则两个直角边 是 csinα 和 ccosα , 故 L=c+csinα +ccosα =c+1.414csin(α +∏ /4 ) ∵0<α <∏/2 ∴当 α +∏ /4 =∏/2 时,Lmax=c+1.414c 故选 A

解法 2.设两条直角边为 a,b,周长为 L,则斜边 c= a + b 是定值。

2

2

L=a+b+ a + b 号)

2

2

2 ≤ ( a + b ) a + b =( 2 +1) +

2

2

2

2

a +b

2

2

(当且仅当 a=b 时取等

即三角形是等腰直角三角形,周长取得最大值时,其一个锐角是∏ /4 从而选 A. 例 2.已知直角三角形周长是 1,其面积的最大值为 方法Ⅰ.(三角函数的有界性) 设该直角三角形的斜边是 c,一个锐角是 A,面积是 S,则两条直角边是 csinA 和 ccosA,根 据题意 .

csinA+ccosA+c=1,即 c=

1 1+ sin A + sin A



S=

1 2

csinA*ccosA=

1 4

sin2A≤

1 4

(当且仅当 A=∏/4 时取等号)

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把 A=∏/4 代入①得 c=
1 1+ 2

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∴ S max =

1 4

*(

1 1+ 2

) =

2

3- 2 2 4

例 3. 已知圆 o 的半径是 R, 在它的内接⊿ABC 中, 2R(sin A-sin C)=( 2 a-b)sinB 成立, 有 求⊿ABC 的面积 S 的最大值。 解:根据题意得: 2R(
a
2 2

2

2

-

c

2 2

)=( 2 a-b)*

b 2R

4R

4R

2 2 2 化简可得 c =a +b - 2 ab,

由余弦定理可得:

C=45 , S=
1 2

?

A+B=135
1 2

?

absinC=

2RsinA*2RsinB*sinC
?

= 2 sinAsin(135 -A)
R 2
2

=

( 2 sin(2A+45 )+1

?

∵0<A<135

?

∴45 <2A+45 <315

?

?

?

∴ 当 2A+45 =90 即 A=15 时,S 取得最大值

?

?

?

2+ 1 2

R 。

2

点评:(1).对三角形面积 S 的表达式得处理,也可利用积化和差公式,但这一公式在新教 材中已不作要求。 (2).利用余弦定理或正弦定理化角为边体现了化归转化思想。 例 4.在⊿ABC 中,角 A,B,C 的对边是 a,b,c, ⊿ABC 的外接圆半径 R= 3 ,且
cos C cos B



2 sin A — sin C sin B

(1) 求 B 和 b 的值 (2) 求⊿ABC 面积的最大值 解:由已知
cos C cos B



2 sin A — sin C sin B

,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB

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即 sin(B+C)= 2sinAcosB ∵A+B+C=∏ ∴sinA =2sinAcosB ∵sinA≠0 ∵R= 3 , 故角 B=60
?

∴cosB=

1 2

∴B=60

?



? ∴b=2RsinB=2 3 sin60 =3,

,边 b=3
2 2 2

由余弦定理得 b =a +c -2accosB 即 9=a +c -2accos 60
2 2 2 2 ?

∴9+ac= a +c ≥2ac(当且仅当 a=b 时取等号) 即 ac=9(当且仅当 a=b=3 时取等号) ∴三角形得面积 s=
1 2

acsinB≤
9 4

1 2

*9*sin60
3

?

=

9 4

3

∴三角形得面积的最大值是

练习:⊿ABC 中,若 AB=1,BC=2,则 C 的取值范围是 (答案:解法 1.由 a=2,c=1, ∴a=2c ∴2sinA=4sinC ∵0<C<A
2

∴sinC = ∴0<C≤30
?

1 2

sinA≤

1 2

解法 2.cosC=

a +b -c 2 ab

2

2

=

4+ b - 1 4b

2

=

1 4

(b+

3 b

)≥

3 2

,故 0<C≤30

?

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