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《3.3.3函数的最大小值与导数》教学案3


《函数的最大(小)值与导数》教学案 教学目的: ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上所 有点(包括端点 a , b )处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件; ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点: 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地, 设函数f(x)在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x) <f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点. 2.极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x) >f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点. 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念由定义, 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小; (ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个; (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下 图所示, x1 是极大值点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) ; (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 二、讲解新课: 1.函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函数 y f ( x) 的图象.图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是 极小值, f ( x2 ) 是极大值.函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值是 f (b) ,最小值是 f ( x3 ) . a x1 O x2 x3 b x 一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 说明: ⑴在开区间 ( a , b ) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值.如函数 f ( x) ? 1 在 x (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的; 函数的极值是比较极值点附近函数 值得出的. ⑶函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个, 而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个. ⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数 值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值 的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 三、讲解范例: 例1求函数 y ? x ? 2x ? 5 在区间 ?? 2,2?上的最大值与最小值 4 2 y 12 10 8 6

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