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高考数学(理)二轮专练:中档小题(4)及答案解析


中档小题(四) x2 y2 1.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平分圆 C:(x-1)2+(y-2)2=1 的周长,此 a b 双曲线的离心率等于( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 2.(2013· 郑州市第二次质量检测)在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.(2013· 湖南省五市十校第一次联合检测)在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B·cos C,且 tan B·tan C=1- 2,则角 A 的值为( ) π π A. B. 4 3 π 3π C. D. 2 4 4.(2013· 高考湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧 视图是一个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( ) 3 A. B.1 2 2+1 C. D. 2 2 → → → 5.(2013· 温州市第一次适应性测试)在△ABC 中,若∠A=120°,AB·AC=-1,则|BC |的最小值是( ) A. 2 B.2 C. 6 D.6 6.(2013· 福建省质量检测)已知点 A(1,2),B(3,2),以线段 AB 为直径作圆 C,则直线 l:x+y-3=0 与圆 C 的位置关系是( ) A.相交且过圆心 B.相交但不过圆心 C.相切 D.相离 7.(2013· 高考江西卷)阅读如下程序框图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中应填入 的语句为( )

A.S=2*i-2 B.S=2*i-1 C.S=2*i D.S=2*i+4 8.(2013· 山西省上学期诊断考试)已知函数 f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π )为 2 1 奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC= ,∠C=90°,则 f( )的值为( ) 2 2

1 A.- 2 C.- 2 2

1 B. 2 D. 2 2

9.(2013· 南昌市第一次模拟测试)下列说法中,不正确的是( ) π π A.点( ,0)为函数 f(x)=tan(2x+ )的一个对称中心 8 4 ^ B.设回归直线方程为y=2-2.5x,当变量 x 增加一个单位时,y 大约减少 2.5 个单位 C.命题“在△ABC 中,若 sin A=sin B,则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命 题 x x D.对于命题 p:“ ≥0” ,则¬p:“ <0” x-1 x-1 10.(2013· 辽宁省五校第一联合体考试)函数 f(x)=x3-bx2+1 有且仅有两个不同零点, 则 b 的值为( ) 3 A. 4 2 3 B. 2 2

33 C. 2 D.不确定 2 11.(2013· 北京市东城区统一检测)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第 p+q 一次提价 p%,第二次提价 q%;方案乙:每次都提价 %,若 p>q>0,则提价多的方案是 2 ________. 12.(2013· 洛阳市统一考试)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a、b,则直线 ax+ by=0 与圆(x-2)2+y2=2 有公共点的概率为________. ?x≥0 13.(2013· 安徽省“江南十校”联考)设动点 P(x,y)在区域 Ω:?y≥x

?

? ?x+y≤4

上(含边界),

过点 P 任意作直线 l,设直线 l 与区域 Ω 的公共部分为线段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积 的最大值为________. 14. (2013· 高考重庆卷)设 0≤α≤π , 不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立, 则 α 的取值范围为 ________. 备选题 1. (2013· 高考重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a, b∈R), f(lg(log210))=5, 则 f(lg(lg 2))=( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4 x2 y2 2.(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 a b F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 45 36 36 27 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 27 18 18 9 3.(2013· 大连市双基测试)已知点 A(- 2,0),点 B( 2,0),且动点 P 满足|PA|-|PB| =2,则动点 P 的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈________. 4.(2013· 合肥市教学质量检测)下列命题中真命题的编号是________.(填上所有正确的 编号) ①向量 a 与向量 b 共线,则存在实数 λ 使 a=λb(λ∈R); π ②a,b 为单位向量,其夹角为 θ,若|a-b|>1,则 <0≤π ; 3 → → → → → → ③A、 B、 C、 D 是空间不共面的四点, 若AB· AC=0, AC· AD=0, AB· AD=0, 则△BCD 一定是锐角三角形;

→ → → → → → → → ④向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则AC与BC同向; ⑤若向量 a∥b,b∥c,则 a∥c.

答案: b 1. 【解析】选 A.因为双曲线的渐近线平分圆的周长,所以该渐近线过圆心,即 y= x a 2 2 a +b b c 过(1,2),即 =2,因为 e= = ,所以 e= 5. a a a 2. 【解析】选 A.依题意得,数列{an}是等比数列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3- S2=18,则 62=18(3+k),由此解得 k=-1. 3. 【解析】 选 A.由题意知, sin A=- 2cos B· cos C=sin(B+C)=sin B· cos C+cos B· sin C,在等式- 2·cos B·cos C=sin B·cos C+cos B·sin C 两边除以 cos B·cos C 得 tan B tan B+tan C π +tan C=- 2,tan (B+C)= =-1=-tan A,所以角 A= . 4 1-tan Btan C 4. 【解析】 选 D.由于该正方体的俯视图是面积为 1 的正方形, 侧视图是一个面积为 2的 矩形,因此该几何体的正视图是一个长为 2,宽为 1 的矩形,其面积为 2. → → → → → → → 5. 【解析】选 C.∵AB·AC=-1,∴|AB|·|AC|cos 120°=-1,即|AB|·|AC|=2,∴|BC → → → → → → → → → → → |2=|AC-AB|2=AC2-2AB·AC+AB2≥2|AB|·|AC|-2AB·AC=6,∴|BC|min= 6. 1 6. 【解析】选 B.以线段 AB 为直径作圆 C,则圆 C 的圆心坐标 C(2,2),半径 r= |AB| 2 |2+2-3| 1 2 = ×(3-1)=1, 点 C 到直线 l: x+y-3=0 的距离为 = <1, 所以直线与圆相交, 2 2 2 并且点 C 不在直线 l:x+y-3=0 上. 7. 【解析】选 C.当 i=2 时,S=2×2+1=5<10;当 i=3 时,仍然循环,排除 D;当 i =4 时,S=2×4+1=9<10;当 i=5 时,不满足 S<10,即此时 S≥10,输出 i.此时 A 项求 得 S=2×5-2=8,B 项求得 S=2×5-1=9,C 项求得 S=2×5=10,故只有 C 项满足条 件. 2 8. 【解析】选 A.依题意,△ABC 是直角边长为 的等腰直角三角形,因此其边 AB 上 2 1 1 2π 1 的高是 ,函数 f(x)的最小正周期是 2,故 M= , =2,ω=π ,f(x)= cos(π x+φ).又 2 2 ω 2 π π 1 函数 f(x)是奇函数, 于是有 φ=kπ + , 其中 k∈Z.由 0<φ<π 得 φ= , 故 f(x)=- sin π x, 2 2 2 1 1 π 1 f( )=- sin =- . 2 2 2 2 kπ 9. 【解析】选 D.由 y=tan x 的对称中心为( ,0)(k∈Z),知 A 正确.由回归直线方程 2 知 B 正确.在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B,C 正确.

2b 10. 【解析】选 C.f′(x)=3x2-2bx=x(3x-2b),令 f′(x)=0,则 x=0,x= .当曲线 f(x) 3 2b 33 与 x 轴相切时,f(x)有且只有两个不同零点,因为 f(0)=1≠0,所以 f( )=0,解得 b= 2. 3 2 11. 【解析】设原价为 a,则方案甲提价后为 a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为 a(1+ p+q 2 p+q 2 (1+p%)+(1+q%)?2 %) .由于(1+p%)(1+q%)<? 2 2 ? ? =(1+ 2 %) ,故提价多的是方 案乙. 【答案】乙 12. 【解析】依题意, 将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1, 1),(1,2),(1,3),?,(6,6),共 36 种,其中满足直线 ax+by=0 与圆(x-2)2+y2=2 有 2a 公共点,即 2 ≤ 2,a≤b 的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),?,(6, a +b2 21 7 6),共 1+2+3+4+5+6=21 种,因此所求的概率等于 = . 36 12 7 【答案】 12

13. 【解析】如图,区域 Ω 为△MON 及其内部,A、B 在区域 Ω 中,则|AB|的最大值为 |OM|=4. 4 所以以 AB 为直径的圆的面积的最大值为π ·( )2=4π . 2 【答案】4π 14. 【解析】由题意,要使 8x2-(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立,需Δ =64sin2 π 5π 1 α -32cos 2α ≤0,化简得 cos 2α ≥ .又 0≤α≤π ,∴0≤2α≤ 或 ≤2α ≤2π ,解得 2 3 3 π 5π 0≤α≤ 或 ≤α ≤π . 6 6 π 5π 【答案】?0, ?∪? ,π ? 6? ? 6 ? ? 备选题 1. 【解析】选 C.因为 log210 与 lg 2(即 log102)互为倒数,所以 lg(log210)与 lg(lg 2)互为相 反数.不妨令 lg(log210)=x,则 lg(lg 2)=-x,而 f(x)+f(-x)=(ax3+bsin x+4)+[a(-x)3+ bsin(-x)+4]=8,故 f(-x)=8-f(x)=8-5=3,故选 C. 2. 【解析】选 D.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 x1 y2 1 ① 2+ 2=1, a b 则 2 2 x2 y2 + =1. ② a2 b2 (x1+x2)(x1-x2) ①-②得 a2 (y1-y2)(y1+y2) =- , b2 2 y1-y2 b (x1+x2) ∴ =- 2 . x1-x2 a (y1+y2) b2 ∵x1+x2=2,y1+y2=-2,∴kAB= 2. a

? ? ?

而 kAB=

b2 1 ∴ 2= ,∴a2=2b2, a 2 ∴c2=a2-b2=b2=9, ∴b=c=3,a=3 2, x2 y2 ∴E 的方程为 + =1. 18 9

0-(-1) 1 = , 2 3-1

3. 【解析】由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c= 2,则 b= c2-a2 =1,∴P 点的轨迹方程为 x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点,则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 【答案】(-∞,-1)∪(1,+∞) 4. 【解析】①不是真命题,当 b=0 时,命题不成立;对于②,|a-b|= a2-2a· b+b2= π 1 1-2cos θ +1>1,解得 cos θ < ,因为向量夹角范围是[0,π ],所以 θ∈( ,π ];对于 2 3 2 2 2 2 2 ③,易知,BD>AB,CD>AC,所以 BD +CD >AB +AC =BC ,所以∠BDC 是锐角,同理 可证其余两边所对的角都是锐角,所以△BCD 一定是锐角三角形;④不对,当 C 点位于线 段 AB 上时,满足题设条件,但是两向量是反向的;⑤不对,当 b=0 时,命题就不成立. 【答案】②③


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