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河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试(二)文数试题Word版含答案.doc


数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x y ? A. ?1, 2?

?

x ? 1 , B ? ??2, ?1,1, 2? ,则 A I B =(
C. ??1, ?2? D. ?1, ?? ? )

?



B. ?1, 2 ?

2.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 a5a6 ? 27 ,则 a1a9 =( A.3 B.6 C.27 D.9

3.已知命题 p : ?x ? R, x02 ? 4x0 ? 6 ? 0 ,则 ? p 为( A. ?x ? R, x ? 4 x ? 6 ? 0
2



B. ?x ? R, x02 ? 4x0 ? 6 ? 0 D. ?x ? R, x02 ? 4x0 ? 6 ? 0 ,则 f

C. ?x ? R, x ? 4 x ? 6 ? 0
2

4.已知函数 f ? x ? ? ? A.

?lg x, x ? 0
x ?1 ?3 , x ? 0

? f ?1?? =(
D.



1 9 r r r r r r 2? 5.已知向量 a, b 的夹角为 ,且 a ? ? 3, ?4 ? , b ? 2 ,则 2a ? b =( 3
B.3 C.1 A. 2 3 B.2
1

1 3



C. 2 21 )

D.84

6.函数 f ? x ? ? x ? x 3 的图象大致是(

7.将函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? 一半,纵坐标不变,再向右平移 为( A. ) B. 2,

? ?

?
2

?? ?

??

? 图象上所以点的横坐标缩短为原来的 2?

? 个单位长度得到函数 y ? sin x 的图象,则 ? , ? 的值分别 6

1 ? , 2 6

? 3

C. 2,

8.曲线 y ? ax cos x ? 16 在 x ? A. ?

?
2

? 6

D.

1 ? ,? 2 6


处的切线与直线 y ? x ? 1 平行,则实数 a 的值为( C.

2

?

B.

2

?

? 2

D. ?

?
2

9.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点且垂直于 x 轴的双曲线与双曲线交于 A, B 两 a 2 b2
3 CD ,则双曲线离心率的取值范围为 5

点,与双曲线的渐近线交于 C , D 两点,若 AB ? ( )

A. ? , ?? ? 10.设函数 f ? x ? ? ?

?3 ?5

? ?

B. ? , ?? ?

?5 ?4

? ?

C. ?1, ? 3

? 5? ? ?

D. ?1, ? 4

? 5? ? ?

? ?2 f ? x ? 2 ? , x ? ?1, ?? ? ,若关于 x 的方程 ? ?1 ? x , x ? ? ?1,1?

则实数 a 的取值范 f ? x ? ? loga ? x ?1? ? 0 ? a ? 0, a ? 1? 在区间 ?0,5? 内恰有 5 个不同的根, 围是( A. 1, 3 )

?

?

B.

?

4

5, ??

?

C.

?

3, ??

?

D.

?

4

5, 3

?

11.对于正整数 k ,记 g ? k ? 表示 k 的最大奇数因数,例如 g ?1? ? 1, g ? 2? ? 1 , g ?10? ? 5 .
n 设 S n ? g ?1? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? g ? 4 ? ? L ? g 2 ,给出下列四个结论:

? ?

① g ? 3? ? g ? 4? ? 10 ;② ?m ? N ,都有 g ? 2m? ? g ? m? ;③ S1 ? S2 ? S3 ? 30 ;
*

④ Sn ? Sn?1 ? 4 A.①②③

n?1

, n ? 2, n ? N * .则其中正确结论的序号为(
B.②③④ C.③④
2



D.②④

12.已知等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? , O 为抛物线的顶点,

OA ? OB , ?AOB 的面积是 16,抛物线的焦点为 F , N ? ?1,0 ? ,若 M 是抛物线上的动

点,则

MN MF

的最大值为(



A. 3

B. 2 2 ? 1

C. 2

D. 2 2 ? 1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin ?? ? 2? ? = 2



14.已知圆 M 与圆 O : x2 ? y 2 ? 3 ? 2 2 相内切, 且和 x 轴的正半轴, y 轴的正半轴都相切, 则圆 M 的标准方程为 .

15.已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 1 , a2 ? 1 , a4 ? 1 成等比数列,且

a2 ? a3 ? ?12 ,则 an =



16.在 ?ABC 中,若 3 AB ? 2 AC ,点 E , F 分别是 AC , AB 的中点,则 为 .

BE 的取值范围 CF

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m . 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期与单调递增区间; (2)若 x ? ?

? 5? 3? ? 时,函数 f ? x ? 的最大值为 0,求实数 m 的值. , ? 24 4 ? ?
2

2 18. (本小题满分 12 分)已知圆 ? x ? 1? ? y ? 25 ,直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆相交于不同的

两点 A, B . (1)求实数 a 的取值范围; (2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P ? ?2,4 ? ,求实数 a 的值. 19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足

? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? L ? ? an ? an?1 ? ? 2n ? n ? 1? ? n ? N * ? .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)设 bn ?

an an ?1 1 1 1 ,求证: ? ? L ? ? 1. 2 b1 b2 bn

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? log2 g ? x ? ? ? k ?1? x . (1)若 g ? log 2 x ? ? x ?1 且 f ? x ? 为偶函数,求实数 k 的值; (2)当 k ? 1 时, g ? x ? ? ax2 ? ? a ? 1? x ? a 时,若函数 f ? x ? 的值域为 R ,求实数 a 的取 值范围. 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

1 , 2

且椭圆 C 经过点 P ? 2,3? ,过椭圆 C 的左焦点 F 1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A, B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G ,求 ?PF1G 的面积 S 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? b ln x . (1)当 b ? 1 时,若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ax ? x 在其定义域上为增函数,求实数 a 的取值
2

范围; (2)若在 ?1, e? 上存在 x0 ,使得 x0 ? f ? x0 ? ? ?

1? b 成立,求实数 b 的取值范围. x0

试卷答案 一、选择题 1-5: ADAAC 二、填空题 13. ? 6-10: DBABC 11、12: BC

3 4

14. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

15. ?2 n ? 1

16. ?

?1 7? , ? ?4 8?

三、解答题 17.(1)

f ? x? ?


3 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? sin 2 x ? ? m ? sin(2 x ? ) ? m ? , ……3 2 2 2 6 2

则函数 f ? x ? 的最小正周期

T ? ? .………………………………………………………………………4 分

则当 2 x ?

?
6

?

?
2

是,函数取得最大值

0,………………………………………………………………9 分 即1 ? m ?

1 1 ? 0 ,解得 m ? .……………………………………………………………10 分 2 2

18.(1)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 代入圆的方程,
2 2 消去 y 整理,得 a ? 1 x ? 2 ? 5a ? 1? x ? 1 ? 0 .

?

?

由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆交于 A, B 两点, 故 ? ? 4 ? 5a ? 1? ? 4 a ? 1 ? 0 ,
2 2

?

?

2 即 12a ? 5a ? 0 ,解得 a ?

5 或a ? 0, 12

所以实数 a 的取值范围是

5 (??, 0) U ( , ??) .………………………………………………………6 分 12
(2)由于直线 l 为弦 AB 的垂直平分线,且直线 AB 的斜率为 a ,则直线 l 的斜率为 ? 直线 l 的方程为 y ? ?

1 , a

1 ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 , a

由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 M ?1,0? 比在 l 上, 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 由于

3 , 4

3 5 3 ? ( , ??) ,所以 a ? 符合题意.……………………………………………12 分 4 12 4

19.(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 ? 分 即?

? ?a1 ? a2 ? 4 ,……………2 ? ?? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? 12

? ?a1 ? a2 ? 4 ? a1 ? 1 ?a1 ? ? a1 ? d ? ? 4 ,所以 ? ,解得 ? ,……………………4 分 ? ?d ? 2 ?a2 ? a3 ? 8 ?? a1 ? d ? ? ? a1 ? 2d ? ? 8

所以 an ? 2n ? 1.…………………………………………………………………………………… 5分 (2) 由 (1) 得 bn ? 6分

2 2 n1 ? ? 2n ?1 ??

?

, ……………………………………………………………

所以

1 2 1 1 ,………………………………………8 分 ? ? ? bn ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? L ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? ) ? 1? ?1, b1 b2 bn 3 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1

所以

所以

1 1 1 ? ? L ? ? 1.……………………………………………………………………………… b1 b2 bn
…12 分 20. (1) 令t ?o l g
2
t t x 则x?2 , 代入 g ? log2 x ? ? x ?1 , 得 g ?t ? ? 2 ? 1, 即 g ? x ? ? 2 ?1 , x,

? f ? x ? ? log 2 ? 2 x ? 1? ? ? k ? 1? x ,…………………………………………………………2 分

Q 函数 f ? x ? 是偶函数,? f ? ?x ? ? f ? x ? ,
? log 2 ? 2 x ? 1? ? ? k ? 1? x ? log 2 ? 2? x ? 1? ? ? k ? 1? x ,
即 log 2

2x ? 1 ? ?2 ? k ? 1? x , log2 2x ? ?2 ? k ?1? x , x 2 ?1

? x ? ?2 ? k ?1? x 对一切 x ? R 恒成立,?2 ? k ?1? ? ?1 ,即
k? 1 .………………………………6 分 2

2 (2)设当 k ? 1 时, f ? x ? ? log 2 ? ? ax ? ? a ? 1? x ? a ? ?,

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? ? log2 x 的值域为 R ,…………………………8 分 当 a ? 0 时, 要使函数 f ? x ? 的值域为 R , 则?

? ?a ? 0 ?a ? 0 , 即? , 解得 0 ? a ? 1 , 2 2 a ? 1 ? 4 a ? 0 ? ? ?? ? 0 ? ?

综上所述, a 的取值范围为 ?0,1? .…………………………………………………12 分

?c 1 ?a ? 2 ? x2 y 2 ? 2 2 21.(1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,则 ?c ? a ? b ,……………………… a b ?4 9 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a b
2分

解得 ?

? a 2 ? 16 x2 y 2 ? C ? ? 1 .……………………………………4 分 ,故椭圆 的方程为 2 16 12 ? ?b ? 12

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? , 由?

? ? y ? k ? x ? 2? ,消去 y 得, 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 48 ? 0
2 2

? 3 ? 4k ? x

? 16k 2 x ? 16 ? k 2 ? 3? ? 0 ,……………………5 分

易知 ? ? 0 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 设 M ? x0 , y0 ? 是 AB 的中点,则

?16k 2 16k 2 ? 48 x x ? , , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? ?8k 2 x ? ? ? 0 4k 2 ? 3 ,……………………………………6 分 ? 2 6 k ? y ? k ? x ? 2? ? 0 ? 0 4k 2 ? 3 ?
线段 AB 的垂直平分线 MG 的方程为

y ? y0 ? ?

1 ? x ? x0 ? ,……………………………………8 分 k

令 y ? 0 ,得 xG ? x0 ? ky0 ?

?8k 2 2 ?? ,…………………………………………10 2 3 4k ? 3 4? 2 k

分 因为 k ? 0 ,所以 ? 因为 S ? S ?PF1G

1 ? xG ? 0 , 2 1 3 ? F1G ? yP ? xG ? 2 , 2 2

?

1 ? xG ? 0 ,………………………………………11 分 2 9 4

所以 S 的取值范围是 ( ,3) .……………………………………………………………………… 12 分 22.(1)当 b ? 1 时, F ? x ? ? f ? x ? ? ax ? x ? ln x ? ax ? x ? x ? 0? ,
2 2

F?? x? ?

1 ? 2ax ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成 x

立,……………………………………………………2 分

1 1 ?1 1? 1 则 2a ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 在 ? 0, ??? 上恒成立,………………………………3 分 x x ? x 2? 4
所以 2 a ? 分 (2)设 h ? x ? ? x ? b ln x ?

2

1 1 , a ? .……………………………………………………………………………4 4 8

1? b , x

若在 ?1, e? 上存在 x0 使得 x0 ? f ? x0 ? ? ? 则只需要函数 h ? x ? ? x ? b ln x ?

1? b 1? b ,即 x0 ? b ln x0 ? ? 0 成立, x0 x0

1? b 在 ?1, e? 上的最小值小于 x

零,………………………………6 分 又
2 b 1 ? b x ? bx ? ?1 ? b ? ? x ? 1? ? ? x ? ?1 ? b ?? ? ,……………………………8 h? ? x ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 2 x x x x

分 令 h? ? x ? ? 0 得 x ? ?1 (舍去)或 x ? 1 ? b , ①当 1 ? b ? e ,即 b ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1, e? 上单调递减,

1? b e2 ? 1 ? b ? 0 ,可得 b ? 故 h ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 h ? e ? ,由 h ? e ? ? e ? , e e ?1
因为 分 ②当 1 ? b ? 1 ,即 b ? 0 时, h ? x ? 在 ?1, e? 上单调递增, 故 h ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 h ?1? ,由 h ?1? ? 1?1? b ? 0 , 可得 b ? ?2 (满足 b ? 0 ) ,…………………………………………………………10 分 ③当 1 ? 1 ? b ? e ,即 0 ? b ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1,1 ? b ? 上单调递减,在 ?1 ? b, e ? 上单调递

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,所以 b ? .……………………………………………………………9 e ?1 e ?1

增,故 h ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 h ?1 ? b? ? 2 ? b ? b ln ?1 ? b? , 因为 0 ? ln ?1 ? b? ? 1,所以 0 ? b ln ?1 ? b ? ? b , 所以 2 ? b ? b ln ?1 ? b? ? 2 ,即 h ?1 ? b? ? 2 ,不满足题意,舍 去.…………………………………11 分

e2 ? 1 综上可得 b ? ?2 或 b ? , e ?1
所以实数 b 的取值范围是 (??, ?2) U (

e2 ? 1 , ??) .……………………………12 分 e2 ? 1


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