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2013版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(单元总结与测试)精品学案 新人教A版


第四章
单元总结与测试 【章节知识网络】

平面向量、数系的扩充与复数的引入

【章节巩固与提高】 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知平面向量 a、b 共线,则下列结论中不正确的个数为( ) ①a、b 方向相同

-1-

②a、b 两向量中至少有一个为 0

③ ? λ ∈R,使 b=λ a ④ ? λ 1,λ 2∈R,且λ 12+λ 22≠0,λ 1a+λ 2b=0 ( )1 (B)2 (C)3 (D)4

1? i 2.(2012?宁德模拟)已知 i 是虚数单位, 2 ? i =(

)

?A?

1 1 1 3 3 1 3 3 ? i????????? B? ? i????????? C ? ? i????????? D ? ? i 5 5 5 5 5 5 5 5

3.(2012?汕头模拟)已知 ,B,C 为平面上不共线的三点,若向量 AB =(1,1),

??? ?

· · n=(1,-1),且 n AC =2,则 n BC 等于(
( )-2 (B)2

??? ?

??? ?

) (C)0 (D)2 或-2

3 3 ??? ? ??? ? , 2 2 ).在△ BC 中, AB ? 2m ? 2n, AC ? 2m ? 6n, 4.已知向量 m、n 满足 m=(2,0),n=( D ???? 为 BC 边的中点,则| AD |等于( )
( )2 (B)4 (C)6 (D)8

a ?i 5.已知复数 z 1 ? i +i(a∈R),若 z∈R,则 a=( ?
( )3 (B)-3 (C)1

) (D)-1

6.(易错题)已知 i与j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2j, b ? i ? ?j 且 a与b 的夹角为锐角, 则实数λ 的取值范围是( )

1 1 (A) , ?2) ? (?2, )???????????????? B)[ , ??) (?? ( 2 2 2 2 1 (C) 2, ) ? ( , ??)????????????????? D) , ) (? ( (?? 3 3 2

??? 1 ???? 2 ??? ? ? ??? ??? ? ? OB ? OA ? OC ,则 AB∶BC 3 3 7.已知平面内不共线的四点 O, ,B,C 满足 =(
( )1∶3 (B)3∶1 (C)1∶2

)

8.若△ BC 的三个内角 ,B, 度数成等差数列, C 且 ( )等腰直角三角形 (B)非等腰直角三角形 (C)等边三角形 (D)钝角三角形

?

??? ??? ??? ? ? ? AB ? AC · BC

(D)2∶1

?

=0, 则△ BC 一定是(

)

b 9.(2012?莆田模拟) a、b、c 是单位向量且 a? ? 0, 则

(a ? c) b ? c ? ? ?

的最小值

-2-

为(

)

? A ? ? 2????????? B?

2 ? 2???????????? C ? ? 1??????????? D ?1 ? 2

10.(预测题)如图,△ BC 中, D=DB, E=EC,CD 与 BE 交于 F,设

??? ? ???? ??? ? AB ? a , AC? b , AF? x ? yb, a 则(x,y)为(

)

1 1 , ) 2 2 1 1 ? C? ( , ) 3 3

?A? (

2 2 , ) 3 3 2 1 ? D? ( , ) 3 2

? B? (

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.(2012?泉州模拟)非零向量

e1、e2

不共线,若

ke1 ? e2和e1 ? ke2

共线,则 k2-1=_____.

c? a ? 2b ? ? 12.若非零向量 a,b,c 满足 a ? b 且 a ? c ,则 =_______.

z?
13.(2012?厦门模拟)已知复数

1 ? 3i , z ? 3 ? i 是 z 的共轭复数,则 z 的模等于_______.

14.已知平面上有三点 (1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则实数 a=_______. 15.O 是平面α 上一点,点 、B、C 是平面α 上不共线的三点,平面α 内的动点 P 满足

??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 1 OP ? OA ? ? AB ? AC ,当 ? ? 时, · PB? PC PA 2 的值为_______.

?

?

?

?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

???? AD 的坐标. 16.(13 分)已知 D 是△ BC 的高,若 (1,0),B(0,1),C(-1,-1),试求向量
17.(13 分)设存在复数 z 同时满足下列条件: (1)复数 z 在复平面内的对应点位于第二象限; (2)z? z +2iz=8+ai(a∈R). 试求 a 的取值范围. 18.(13 分)已知向量 a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),是否能以 a,b 作为平面内所有向量的一组基底? 若能,试将向量 c 用这一组基底表示出来;若不能,请说明理由.

?

1 19.(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P( 2 ,cos2θ )在角α 的终边上,点 Q(sin2θ ,-1)在角β ??? ???? ? 1 OP OQ ? ? . · 2 的终边上,且
(1)求 cos2θ 的值; (2)求 sin(α +β )的值.

? 20.(14 分) (2012?龙岩模拟)设向量 a=(sinx, 3 cosx), b=(cosx,cosx)(0<x< 2 ).
-3-

(1)若 a ? b ,求 tanx 的值;

b (2)求函数 f(x)= a? 的最小正周期和函数最大值及相应 x 的值.
21.(14 分)已知双曲线 x2-y2=2 的右焦点为 F,过点 F 的动直线与双曲线相交于 ,B 两点,点 C 的坐标是(1,0).

??? ??? ? ? CA CB 为常数; (1)证明: ·
(2)若动点 M 满足 CM ? CA ? CB ? CO (其中 O 为坐标原点),求点 M 的轨迹方程.

???? ?

??? ??? ??? ? ? ?

答案解析 1.【解析】选 C.若 a、b 均为非零向量,则由 a∥b 知 a、b 方向相同或相反,故①②不正确; 若 a=0,b≠0,则不存在实数λ 使 b=λ a,故③不正确;若 a、b 均为零向量,则④正确,若 a ≠0,则由两向量共线知,存在λ ≠0,使 b=λ a 即λ a-b=0,则④正确,综上,只有④正确, 故选 C.

1 ? i ?1 ? i ?? 2 ? i ? 2 ? 3i ? i 2 1 ? 3i 1 3 ? ? ? ? ? i. 5 5 5 5 5 2.【解析】选 B. 2 ? i ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? n AB ? n AC ? BC ? n AC ? n BC, · · · ·
3.【解析】选 B.因为 又

?

?

??? ? n AB ? ?1, ?1· ?1,1? ? 1 ? 1 ? 0, · ?

??? ? ??? ? n BC ? n AC ? 2. · · 所以

???? 1 ??? ??? ? ? ???? AD ? AB ? AC ,再用m、n表示AD 2 4.【解题指南】由 D 为 BC 边的中点可得 即可.

?

?

???? 1 ??? ??? ? ? 1 AD ? AB ? AC ? (2m ? 2n ? 2m ? 6n) 2 2 【解析】选 .∵D 为 BC 边的中点,∴

?

?

3 3 ? 2m ? 2n ? 2 ? 2, 0 ? ? 2( , ) ? 1, ? 3 , 2 2
∴| AD |=2.

?

?

????

z?
5.【解析】选 B.∵

? a ? i ??1 ? i ? ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

-4-

?

? a ? 1? ? ? a ? 1? i ? i ? a ? 1 ? a ? 3 i
2 2 2 a ?3 ? 0,? a ? ?3. 2
ab · a b

? z ? R, ?

6.【解题指南】设 a、b 的夹角为θ ,由θ 为锐角可得 0<cosθ = 值范围.

<1,进而可求出λ 的取

? ?2 ||? a ? (i ? 2 j)2 ? i 2 ? 4· j ? 4 j2 ? 5. a i 【解析】选 .∵
同理可求

b ? 1 ? ? 2,

又a b ? ? i ? 2 j· (i ? ?j) ? i 2 ? (? ? 2)· j ? 2?j2 ? 1 ? 2?, · i ?
设 a、b 的夹角为θ ,则 0°<θ <90°,

ab · 1 ? 2? ? , a b 5 1 ? ?2 · cosθ =

1 由 0<cosθ <1 得λ <-2 或-2<λ < 2 .
【误区警示】θ 为锐角?0<cosθ <1,易忽略 cosθ <1 而误选 D.

??? ??? ? ? ???? ??? ??? ? ? AB、 用已知向量 OA、 、 表示是解题的关键. BC OB OC 7.【解题指南】把目标向量

??? 1 ???? 2 ??? ? ? ??? ??? 1???? 1??? ? ? ? ??? 1??? ? ? OB ? OA ? OC,所以OB ? OC ? OA ? OC,得CB ? CA, 3 3 3 3 3 【解析】选 D.因为 ??? ???? ? ? ??? 2 ??? ? ? 2 ???? 2 ??? OB ? OA ? ? OA ? OC ,得AB ? AC , 3 3 3 又 ??? ??? 2 1 ? ? AB∶BC ? ∶ ? 21 ∶, 3 3 所以 故选 D. ??? ??? ??? ? ? ? AB ? AC · BC
8.【解析】选 C.∵

?

?

=0,

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ? ??? ? ? AB ? AC· AC ? AB ? 0,?AC ? AB ? 0, 即 AC ? AB ,

?

??

?

又 、B、C 度数成等差数列,∴B=60°,从而 C=60°, =60°, ∴△ BC 为等边三角形. 9.【解析】选 D.

(a ? c)b ? c ? ? a ? ? ?a ? b ?? ? c 2 ? 1? ?b ? a ?? ? 1? ? b c c ?

2,

当且仅当 a ? b 与 c 同向时取得最小值.
-5-

10.【解题指南】利用 B、F、E 三点共线,D、F、C 三点共线是解答本题的关键,而用两种形 式表示向量 AF 是求 x,y 的桥梁.

??? ?

??? ? ??? ? ??? 1 ? ??? ? 1 AB ? a, AC ? b,得BE ? b ? a, DC ? b ? a. 2 2 因为 B,F,E 三点共线,令 【解析】选 C. ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? BF ? t BE, 则AF ? AB ? t BE ? ?1 ? t ? a ? t b. DF ? s DC, 则 2 因为 D,F,C 三点共线,令
1 1 ? ?1 ? t ? 2 ? 2 s ? , ? ??? ???? ? ??? 1 ? ?s ? 1 t AF ? AD ? s DC ? ?1 ? s ? a ? s b. ? 2 2 根据平面向量基本定理得 ? 解得

t?

2 1 , s? 得 , 3 3

x ?

1 1 1 1 ,? y , 3 3 即(x,y)为( 3 , 3 ),故选 C.
共线知存在λ ∈R,

11.【解析】由 使

ke1 ? e2与e1 ? ke2

ke1 ? e2 ? ? ? e1 ? ke2 ? ? ?e1 ? ?ke2 ,

?k ? ? ?? ,? k 2 ? 1, k 2 ? 1 ? 0. ? 1 ? ?k ?
答案:0 12.【解析】∵ 答案:0

a ? b且a ? c, b ? c,从而c b ? c a ? 0.? c ? a ? 2b ? ? c a ? 2c b ? 0. ? · · · · ·

z?
13.【解析】∵ ∴ z =i,∴| z |=1. 答案:1

?i 2 ? 3i ?i i ? 3 ? ? ?i, 3 ?i 3 ?i

?

?

??? ? ??? ? AB =(1,a2+a), BC =(1,a3-a2), 14.【解析】∵ ? ??? ??? ? AB ∥ BC , 又∵ 、B、C 三点共线,∴
∴1?(a3-a2)-(a2+a)?1=0,即 a3-2a2-a=0, ∴a=0 或 a=1± 2 . 答案:0 或 1± 2

-6-

15.【解析】由已知得 即

??? ???? ? ??? ??? ? ? OP ? OA ? ? AB ? AC ,

?

?

??? ? ??? ??? ? ? AP ? ? AB ? AC ,

?

?

??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ? ? 时,得AP ? AB ? AC , 2 2 当

?

?

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 2AP ? AB ? AC, 即AP ? AB ? AC ? AP, ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? BP ? PC ? PB ? PC ? PB ? BP ? 0, , ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? PA PB ? PC ? PA 0 ? 0. · ·

?

?

答案:0

??? ? ??? ? BD ? ? BC, 16.【解析】设

??? ? ??? ? BC =(-1,-2),则 BD =(-λ ,-2λ ), 又
∴ AD ? AB ? BD =(-1,1)+(-λ ,-2λ ) =(-1-λ ,1-2λ ),

????

??? ??? ? ?

???? ??? ? ???? ??? ? AD ? BC ,得AD BC =0, · 由

1 即(1+λ )+2(2λ -1)=0,解得λ = 5 , ???? 6 3 AD ? (? , ). 5 5 ∴
17.【解析】设 z=x+yi(x,y∈R),由(1)得 x<0,y>0. 由(2)得 x2+y2+2i(x+yi)=8+ai, 即 x2+y2-2y+2xi=8+ai.

? x 2 ? y 2 ? 2y ? 8 ? 2x ? a 由复数相等,得 ?

① ②

由①得 x2=-(y-1)2+9, 又 y>0,∴x2≤9,又 x<0, ∴-3≤x<0,∴-6≤a<0. 即 a 的取值范围为[-6,0). 18.【解析】∵a=(3,-2),b=(-2,1), 3?1-(-2)? (-2)=-1≠0, ∴a 与 b 不共线,故一定能以 a, b 作为平面内所有向量的一组基底. 设 c=λ a +μ b,即(7,-4)=(3λ ,-2λ )+(-2μ ,μ )=(3λ -2μ ,-2λ +μ ),

-7-

?3? ? 2? ? 7 ?? ? 1 ,解得 ? , ? ?2? ? ? ? ?4 ?? ? ?2 ∴?
∴ c ? a ? 2b.

??? ???? 1 ? 1 OP OQ ? sin 2? ? cos 2? ? ? , · 2 2 19.【解析】(1)∵
2 1 ? cos 2 ? ? ,? cos2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? . 3 3 2 2 cos ? 4 3 ? ? , ? 2 ? sin? ? 1 1 4 5 ? cos 4 ? ? 4 4 9 1 1 3 2 2 cos? ? ? ? . 1 1 4 5 ? cos 4 ? ? 4 4 9
?1
4 同理 sinβ = sin ? ? 1

, cos? ?

sin 2 ? sin 4 ? ? 1

,

1 又∵sin2θ =1-cos2θ = 3 ,
sin? ? ?


3 10 10,cos? ? . 10 10

∴sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ

4 10 3 3 10 ? ? ? (? 10) ? ? . 5 10 10 = 5 10
20.【解析】 (1)∵ a ? b ,∴sinxcosx- 3 cos2x=0,

? ∵0<x< 2 ,∴cosx≠0,∴sinx- 3 cosx=0,

? tanx ?

sinx ? 3. cosx
2

b (2)f(x)= a? =sinxcosx+ 3cos x,
1 3 3 ? 3 ? sin2x ? cos2x ? ? sin(2x ? ) ? , 2 2 2 3 2

-8-

T?
∴最小正周期

2? ? ?. 2

? ? ? 4 ? x ? (0, ),? 2x ? ? ( , ?), 2 3 3 3 ? ? ?当2x ? ? , 3 2

x?


3 ? 1? . 2 12 时,f(x)取得最大值,最大值为

21.【解析】由条件,知 F(2,0),设 (x1,y1),B(x2,y2), (1)当 B 与 x 轴垂直时, 可知点 ,B 的坐标分别为 此时

? 2, 2 ? , ? 2, ? 2 ? ,

??? ??? ? ? CA CB ? 1, 2 · 1, ? 2 ? ?1. ·

?

??

?

当 B 不与 x 轴垂直时,设直线 B 的方程是 y=k(x-2)(k≠±1), 代入 x2-y2=2,有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.

4k 2 4k 2 ? 2 ,x1x 2 ? 2 . 2 k ?1 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1+x2= k ? 1

· 于是 CA CB =(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1

??? ??? ? ?

?k
=

2

? 1?? 4k 2 ? 2 ? k2 ?1

?

4k 2 ? 2k 2 ? 1? k2 ?1

? 4k 2 ? 1

=(-4k2-2)+4k2+1=-1.

· 综上所述, CA CB 为常数-1.
(2)设 M(x,y),则

??? ??? ? ?

???? ? ??? ? ??? ? ??? ? CM ? ? x ? 1, y ?, ? ?x 1 ?1, y 1 ?,CB ? ?x 2 ?1, y 2 ?,CO ? ??1,0 ? CA .

???? ??? ??? ??? ? ? ? ? CM ? CA ? CB ? CO, 得 由

? x ? 1 ? x1 ? x 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? x ? 2 ,即 ? . ? ? y ? y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? y

x?2 y , 2 ). 于是线段 B 的中点坐标为( 2

-9-

y y1 ? y2 y 2 ? ? , x1 ? x 2 x ? 2 ? 2 x ? 2 2 当 B 不与 x 轴垂直时,
y1 ? y2 ? y ? x1 ? x 2 ? . x?2



又因为 ,B 两点在双曲线上,所以 x12-y12=2,x22-y22=2,两式相减,得 (x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2), 即(x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y.

y 将 y1-y2= x ? 2 (x1-x2)代入上式,
化简得 x2-y2=4. 当 B 与 x 轴垂直时,x1=x2=2,求得 M(2,0),也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 x2-y2=4. 【方法技巧】求动点轨迹方程的技巧和方法 (1)直接法:若动点的运动规律是简单的等量关系,可根据已知(或可求)的等量关系直接列出方 程. (2)待定系数法:如果由已知条件可知曲线的种类及方程的具体形式,一般可用待定系数法. (3)代入法(或称相关点法):有时动点 P 所满足的几何条件不易求出,但它随另一动点 P′的运 动而运动,称之为相关点,若相关点 P′满足的条件简单、明确(或 P′的轨迹方程已知),就 可以用动点 P 的坐标表示出相关点 P′的坐标, 再用条件把相关点满足的轨迹方程表示出来(或 将相关点坐标代入已知轨迹方程)就可得所求动点的轨迹方程的方法. (4)几何法:利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件,并写出其方程. (5)参数法:有时很难直接找出动点的横、纵坐标间的关系,可选择一个(有时已给出)与所求动 点的坐标 x,y 都相关的参数,并用这个参数把 x,y 表示出来,然后再消去参数的方法. 【思想与方法解读】 解选择题的六大秘诀 选择题的题型灵活,数学思想方法体现充分。因此,解答选择题的基本原则是:小题小做, 小题巧做,切忌小题大做;基本要求是: “熟、准、快” ,即内容熟练、概念准确、推理快速; 基本方法是:形数兼备,直接法为主,其他法为辅。 一、直接法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和 准确的运算,从而得出正确的结论,与选择项作比较,作出选择,这种解题方法叫做直接法, 直接法是解答选择题最常用的基本方法。 二、图解法 数形结合的思想是将反映问题的数量关系与直观的图形结合起来,即把抽象思维与形象思维 有机结合起来解决问题的一种重要的数学方法。对于一些具有几何背景的数学题,如果能构 造出与之相应的图形进行分析,则能在数形结合、以形助数中获得直观的解法。 三、用特例(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检 验,从而作出正确的判断。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊

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角、特殊位置等。 四、筛选法 有时,当同学们面临的问题一易从正面入手直接选出正确的答案,此时可以从选择项入手, 排除不正确的,剩下的就是正确的答案,筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题。 五、验证法 把各个选择项依次代入题目中,依次判断所得到的结果或者结论能否与题意相符合,如果符 合,则是正确答案,如果得到了矛盾的结论,则是错误答案。 六、估算法 估算是用于解答选择题的一种简捷方法,它是指通过大体估值、合理猜想或特殊验证等手段, 准确、迅速地选出答案的方法,充分体现了小题小(巧)做的解题策略。在近几年高考的“多 想小算”命题思想中, “估算法”更是解决此类问题的有效途径,常用的有以点估式(图) 、 以部分估整体、以范围估数值等。

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