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高中数学人教A版选修2-2第一章《1.3.3函数的最大(小)值与导数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教 A 版选修 2-2 第一章 《1.3.3 函数的最大 (小) 值与导数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如 下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数 f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 2 学情分析 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第 一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质: “如果 f(x)是闭区间[a, b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极 值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科 技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体 现了数形结合、 理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识 结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生 通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可 能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地 获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主 要选择以合作探究式教学法组织教学. 对于求函数的最值,该班学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一 般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知 欲望,使得他们能积极主动地观察、 分析、 归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他 们作为认知主体的作用. 3 重点难点 教学重点:会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 教学难点:该班学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对 优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】函数的最大(小)值 1.问题情境:在日常生活、 生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、 产量最 大、效益最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值与最小值. 如图,有一长 80cm,宽 60cm 的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别 过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形,按加工要求,长方体的高不小于 10cm 且不大 于 20cm.设长方体的高为 xcm,体积为 Vcm3.问 x 为多大时,V 最大?并求这个最大值. 解:由长方体的高为 xcm,可知其底面两边长分别是 (80-2x)cm,(60-2x)cm,(10≤x≤20). 所以体积 V 与高 x 有以下函数关系 V=(80-2x)(60-2x)x =4(40-x)(30-x)x. 设计意图 以实例引发思考,有利于学生感受到数学来源于现实生活,培养学生用数学的意识,同时营造 出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围,在新旧知识的矛盾冲突中,激发起学生的探究热情.实 际问题中,函数和自变量 x 范围的设置,都紧扣本节课的核心:确定闭区间上的连续函数的最 (大)值.通过运用多媒体演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系.提出 问题后,引导学生发现,求所列函数的最大值是以前学习过的方法不能解决的,由此引出新课, 使学生深感继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫. 活动 2【讲授】1.3.3 函数的最大(小)值 1.我们知道,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 问题 1:如果是在开区间(a,b)上情况如何? 问题 2:如果[a,b]上不连续一定还成立吗? 2.如图为连续函数 f(x)的图象: 在闭区间[a,b]上连续函数 f(x)的最大值、最小值分别是什么?分别在何处取得? 设计意图 通过对已有相关知识的回顾和深入分析,自然地提出问题:闭区间上的连续函数最大值和最 小值在何处取得?如何能求得最大值和最小值?以问题制造悬念,引领着学生来到新知识的生 成场景中. 对取得最大值最小值的两种可能位置的结论,在高中阶段不作证明,为使学生形成更深刻的 印象,更好地进行发现,教学中通过改变区间位置,引导学生观察各种区间内图象上最大值最 小值取得的位置,形成感性认识,进而上升到理性的高度. 为新知的发现奠定基础后,提出教学目标,让学生带着问题走进课堂,既明确了学习目的,又 激发起学生的求知热情. 学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述,体验到成功的喜悦,学会学习、学会 合作. 在整个新知形成过程中,教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者,以提高学生抽象概括、 分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力.深化对概念意义的理解:极值反映函数的一种 局部性质,最值则反映函数的一种整体性质. 3.以上分析,说明求函数 f(x)在闭区间[a,b]上最值的关键是什么? 归纳:设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下: (1)求