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江西省赣州市南康区2016


江西省赣州市南康区 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考 (3 月) 试 题 文
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、“二孩政策”的出台,给很多单位安排带来新的挑战,某单位为了更好安排下半年的工作,该单 位领导想对本单位女职工做一个调研,已知该单位有女职工 300 人,其中年龄在 40 岁以上的有 50 人,年龄在[30,40]之间的有 150 人,30 岁以下的有 100 人,现按照分层抽样取 30 人,则各 年龄段抽取的人数分别为( A.5,15,10 ). C.10,10,10 D.5,5,20

B.5,10,15

2、现有 1 名女教师和 2 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放回地随机 选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( A. ) D.

1 3

B.

2 3

C.

1 2

3 4

3、“|x- 1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九 章算术》 中的 “更相减损术” . 执行该程序框图, 若输入的 a,b 分别为 14,18, 则输出的 a= ( A. 0 C. 4
2



B. 2 D. 14

5、已知抛物线 y ? 2 x 上一点 A 到焦点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为 5:4,且 AF ? 2 ,则

A 点到原点的距离为(
A. 41 B. 2 2

) C.4 D.8

6、通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的 2 ? 2 列联表: 男 女 总计

1

爱好 不爱好 总计
2

40 20 60

20 30 50 )

60 50 110

计算得到 K 的观测值约为 7.822.下列说法正确的是(

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前 提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“ 爱好该项运动与性别无关” 7、若点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为( )

A.

2 2

B.1

C. 2

D.2

8、设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数是 f '( x) ,且 f '( x) 是奇函数.若曲线 y ? f ( x) 的一 条切线的斜率是 A. ln 2

3 ,则切点的横坐标为( ) 2 ln 2 B. ? ln 2 C. 2

D.

? ln 2 2

2 2 9、双曲线 x 2 ? y2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点 F ? c,0? ,虚轴的一个端点为 B ? 0, b? ,如果直线 a b FB 与该双曲线的渐近线 y ? b x 垂直,那么此双曲线的离心率为( ) a

A. 2

B. 3

C. 3 ? 1 2 )

D. 5 ? 1
2

2 x 2 ? 3x 10、函数 y ? 的图象大致是( ex

A. 11、若函数 y ? cos x ? ax 在 ? ? A. (??, ?1]

B.

C.

D. )

? ? ?? , 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ? 2 2? ?
C. [?1, ??) D. [1, ??)

B. (??,1]

2

12、若函数 f ( x) ? x ? 增的是( A. (?2, 0) )

b ( b ? R )的导函数在区间 (1, 2) 上有零点,则 f ( x ) 在下列区间上单调递 x

B. (0,1)

C. (1, ??)

D. (??, ?2)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、设有关 x 的一元二次方程 9 x 2 ? 6ax ? b2 ? 4 ? 0 ,若 a 是从区间 ?0,3? 中任取的一个数, b 是从 区间 0, 2 中任取的一个数,则上述方程有实根的概率为______.

?

?

14、若双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 3,其渐近线与圆 x2 ? y2 ? 6 y ? m ? 0 相切,则 2 a b

m =____________.
15、若函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3?(a ? 2) x ? 1?有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是______.
3 2

16、下列四个命题: ①方程 x2 ? ? a ? 3? x ? a ? 0 若有一个正实根,一个负实根,则 a<0 ; ②函数 y ? x2 ? 1 ? 1 ? x2 是偶函数,但不是奇函数; ③函数 f ? x ? 的值域是 ? ?2,2? ,则函数 f ? x ? 1? 的值域为 ? ?3,1? ; ④一条曲线 y ? 3 ? x2 和直线 y ? a ? a ? R ? 的公共点个数是 m ,则 m 的值不可能是 1. 其中正确的有 (写出所有正确的命题的序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17、 设命题 p :函数 g ( x) = (a -

3 x 1 ? ? ) 是 R 上的减函数,命题 q :函数 f ? x ? ? lg? ax 2 ? x ? a ? 的 16 ? 2 ?

定义域为 R ,若“ p 且 q ”为假命题,“ p 或 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围.

18、某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团 和演讲社团的情况,数据如下表: (单位:人) 参加书法社团 参加演讲社团 8 未参加书法社团 5

3

未参加演讲社团

2

30

(I)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (II)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ,3 名女 同学 B1 , B2 , B3 ,现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 A1 被选中且 B1 未被 选中的概率。

19、已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b. (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间: (2)若函数 f ( x ) 的图象过点(1,1)且极小值点在区间(1,2)内,求实数 b 的取值范围.

20、某市甲、乙两校高二级学生分别有 1100 人和 1000 人,为了解两校全体高二级学生期末统考的 数学成绩情况,采用分层抽样方法从这两所学校共抽取 105 名高二学生的数学成绩,并得到成 绩频数分布表如下,规定考试成绩在[120,150]为优秀. 甲校: 分组 频数 乙校: [130, 分组 频数 [70,80) [80,90) [90,100) [100, 110) [110, 120) [120, 130) 140) 1 2 9 8 10 10 y 3 [140, 150) [70,80) [80,90) [90,100) [100, 110) [110, 120) [120, 130) [130, 140) [140, 150) 2 3 10 15 15 x 3 1

(1)求表 中 x 与 y 的值; (2)由以上统计数据完成下面 2x2 列联表,问是否有 99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校 有关?
4

甲校 优秀 非优秀 总计 参考公式: K 2 ? a c a+c

乙校 b d b+d

总计 a+b c+d n

n(ad ? bc) 2 , 其中n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P(K ≥k0) k0

2

21、已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? (1)求双曲线 C 的标准方程;

5 ,虚轴长为 2 . 2

(2)若直线 l : y ? kx ? m 与曲线 C 相交于 A, B 两点( A, B 均异于左、右顶点) ,且以 AB 为直 径的圆过双曲线 C 的左顶点 D ,求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

22、已知函数 f ? x ? ? ax ? x, g ? x ? ? x ? px ? q .
3 2

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,函数 F ? x ? ? f ? ? x ? g ? x ? (其中 f ? ? x ? 为函数 f ? x ? 的导数)的图像关于 直线 x ? ?1 对称,求函数 F ? x ? 单调区间; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下 ,若对任意的 x ? 1 ,都有 g ? x ? ? ? 6 ? ? ? x ? ? ln x ? 3 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

5

南康中学 2016~2017 学年度第二学期高二第一次大考 数学(文科)参考答案 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 B 5 B 6 C 7 C 8 A 9 D 10 A 11 D 12 D

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、 1 ?

? 6

14、 8

15、 a ? ?1 或 a ? 2

16、①④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17、

18、 (I)

1 2 (II) 3 15

试题分析: (Ⅰ)先判断出这是一个古典概型,所以求出基本事件总数, “至少参加 一个社团” 事件包含的基本事件个数,从而根据古典概型的概率计算公式计算即可; (Ⅱ)先求基本事件总数, 即从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,有多少中选法,这个可利用分步计数原理求解, 再求出 “A1 被选中,而 B1 未被选中”事件包含的基本事件个数,这个容易求解,然后根据古典概型 的概率公式计算即可 试题解析:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人, 故至少参加上述一个社团的共有 45-30=15(人), 所以从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一 个社团的概率为 P=

15 1 = . 45 3

(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},

6

{A2,B1},{A2,B2},{A2, B3}, {A3,B1},{A3,B2},{A3,B3} , {A4,B1},{A4,B2},{A4,B3}, {A5,B1},{A5,B2},{A5,B3}, 共 15 个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的,事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有: {A1,B2},{A1,B3},共 2 个. 因此,A1 被选中且 B1 未被选中的概率为

2 . 15

19、

20、 【答案】 (1)由分层抽样可知,甲校抽取105× 乙校抽取 105﹣55=50 人 所以x=55﹣(2+3+10+15+15+3+1)=6, y=50﹣(1+2+9+8+10+10+3)=7; (2)2x2 列联表如下 甲校 优秀 非优秀 总计 所以 k ? 6.109 ? 6.635 10 45 55

1100 =55人 2100

乙校 20 30 50

总计 30 75 105

所以没有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关.

7

21、 (1)

x2 ? 10 ? ? y 2 ? 1(2) ? ? , 0 ? 4 ? 3 ?

试题分析: (1)求双曲线标准方程,一般方法为待定系数法,即根据题意列出两个独立条件:

c 5 ? , 2b ? 2, ,解方程组得 a ? 2, b ? 1 (2)以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D ? ?2,0? , a 2 ???? ??? ? 等价于 AD ? BD ? 0 ,根据向量数量积得 y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 ,结合直线 l : y ? kx ? m 方
程得 (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? x1x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 ,利用直线方程与双曲线方程联立方程组,消 y
2 2 2 2 2 得 1 ? 4k x ? 8mkx ? 4 m ? 1 ? 0 ,再利用韦达定理代入等式整理得 3m ? 16mk ? 20k ? 0 ,

?

?

?

?

因此 m ? 2 k 或 m ?

10k 10k 10 ? ? .逐一代入得当 m ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 3 3 3? ?

? 10 ? ? ? ,0? . ? 3 ?
试题解析: (1)设双曲线的标准方程为

x2 y 2 c 5 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,由已知得 ? , 2b ? 2, 又 2 a b a 2 x2 ? y 2 ? 1. 4

a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2, b ? 1 ,所以双曲线的标准方程为

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,联立 ? x 2 ,得 ?1 ? 4k ? x ? 8mkx ? 4 ? m ? 1? ? 0 ,有 2 ? ? y ?1 ?4
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16 ?1 ? 4k 2 ?? m 2 ? 1? ? 0 ? ? 8mk ?0 , ? x1 ? x2 ? 1 ? 4k 2 ? ? ?4 ? m 2 ? 1? ? x1 x2 ? ?0 1 ? 4k 2 ?

m 2 ? 4k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 ? mk ? x1 ? x2 ? ? m ? ,以 AB 为直径的圆过双曲线 1 ? 4k 2
2 2

C 的左顶点 D ? ?2,0? ,?k AD ? kBD ? ?1 ,即
2 y1 y2 m 2 ? 4k 2 ?4 ? m ? 1? 16mk ? ? ?1,? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0,? ? ? ?4?0, x1 ? 2 x2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

8

?3m2 ? 16mk ? 20k 2 ? 0 ,解得 m ? 2 k 或 m ?
过定点 ? ?2,0 ? ,与已知矛盾;当 m ?

10k .当 m ? 2 k 时, l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,直线 3

10k 10 ? ? ? 10 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ,直线过定点 ? ? , 0 ? ,经 ? 3 3? ? ? 3 ?

检验符合已知条件,所以直线 l 过定点,定点坐标为 ? ?

? 10 ? ,0? . ? 3 ?

22、 (Ⅰ) a ? ? ; (Ⅱ)函数 F ? x ? 在区间 ??, ?1 ? 2 , ?1, ?1 ? 2 上单调递增,在区间

? ?1 ?

2, ?1 , ?1 ? 2, ?? 上单调递减;(Ⅲ) ? ? ?1 .
1 3

??

1 3

?

??

?

?

试题分析: (Ⅰ)由 f ? ?1? ? 3a ? 1 ? 0 ,得 a ? ? ; (Ⅱ) F ? x ? 的图象关于直线 x ? ?1 对称,故函
2 2 数 F ? x ? 1? 为偶函数,解得 F ? x ? ? ? x ? 1 x ? 4 x ? 3 ,分别令 F ? ? x ? ? 0 , F ? ? x ? ? 0 即可得

?

??

?

到单调区间; (Ⅲ)对任意的 x ? 1 ,都有 g ? x ? ? ? 6 ? ? ? x ? ? ln x ? 3 恒成立可转化为

? ? x ? ln x ? ? x2 ? 2x 在 x ??1, ??? 上恒成立,易知 ln x ? x ,∴ ? ?
立,构造函数 ? ? x ? ?

x2 ? 2 x 在 x ??1, ?? ? 上恒成 x ? ln x

x2 ? 2 x ? x ? 1? ,只需 ? ? ? ( x) min 即可. x ? ln x

3 2 试题解析: (Ⅰ)由 f ? x ? ? ax ? x 有 f ? ? x ? ? 3ax ? 1

因为 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,故 f ? ?1? ? 3a ? 1 ? 0 ∴a ? ?

1 3 1 3 1 3

经检验:当 a ? ? 时,符合题意,故 a ? ? .
2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: F ? x ? ? ? x ? 1 x ? px ? q

?

??

?

∵ F ? x ? 的图像关于直线 x ? ?1 对称,故函数 F ? x ? 1? 为偶函数 又 F ? x ? 1? ? ?? ? x ? 1? ? 1? ?? x ? 1? ? p ? x ? 1? ? q ?
2 2

?

??

?

? ?x4 ? ? 4 ? p ? x3 ? ?3 p ? q ? 5? x2 ? 2 ?1 ? p ? q ? x
∴?

? ?4 ? p ? 0 ,解得 p ? 4, q ? 3 ? ?2 ?1 ? p ? q ? ? 0

2 2 ∴ F ? x ? ? ? x ? 1 x ? 4x ? 3

?

??

?
9

2 2 2 ∴ F ? ? x ? ? ?2 x x ? 4 x ? 3 ? ? x ? 1 ? 2 x ? 4 ? ? ?4 ? x ? 1? x ? 2 x ? 1

?

? ?

?

?

?

令 F ? ? x ? ? 0 有 x ? ?1 ? 2 或 ?1 ? x ? ?1 ? 2 令 F ? ? x ? ? 0 有 ?1 ? 2 ? x ? ?1 或 x ? ?1 ? 2 ∴函数 F ? x ? 在区间 ??, ?1 ? 2 , ?1, ?1 ? 2 上单调递增, 在区间 ?1 ?

?

? 2, ?1? , ? ?1 ?

?? ? 2, ?? ? 上单调递减.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x ? 1 ,都有 g ? x ? ? ? 6 ? ? ? x ? ? ln x ? 3 恒成立可转化为

? ? x ? ln x ? ? x2 ? 2x 在 x ??1, ??? 上恒成立
易知 ln x ? x ∴ ? ?

x2 ? 2 x 在 x ??1, ?? ? 上恒成立 x ? ln x

? x ? 1?? x ? 2 ? 2 ln x ? x2 ? 2 x 令? ? x? ? ? x ? 1? ,∴ ? ? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?
令 h ? x ? ? x ? 2 ? 2ln x ? x ? 1? ,∴ h? ? x ? ? 1 ? ∴ h ? x ? 在 ?1, 2 ? 上递减, ? 2, ??? 上递增 ∴ h ? x ?min ? h ? 2? ? 4 ? 2ln 2 ? 0 ∴ ?? ? x ? ? 0 ,即 ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递增 ∴ ? ? x ?min ? ? ?1? ? ?1 ∴ ? ? ?1 .

2 x

10


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