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2015-2016-2--A卷--概率论(厦门理工学院)答案-----分


★厦门理工学院试卷(二)★
诚信考试承诺书
我保证在本科目考试中所提供的个人信息是真实、准确的。在我填写考生信息之后,表示我已阅读和理 解《厦门理工学院考场规则》和《厦门理工学院考试违纪处理办法》有关规定,我承诺在考试中自觉遵守该 规定,如有违反将接受处理。

座号

注意事项:
1、学生的系、专业、级别、班级、姓名、学号必须写在考生信息栏内指定的位置。 2、学生在考试之前必须填写考试学年学期、课程名称、考试地点、时间及试卷卷别。 3、字迹要清楚,保持卷面清洁。试卷、草稿纸随答题纸一起交回。 4、采用流水作业评卷的,阅卷教师须在题号后签名。

学年学期:15-16 学年第 2 学期 考试课程: 概率论与数理统计(理工)
线 学号

考试地点: 试卷类别: A卷 ( √ ) B卷 (

考试时间:2016.6.21 ) 考试方式:闭卷



本试卷共五大题(4 页),满分 100 分,考试时间 120 分钟。
息 姓名












总分



一、填空题(本题共 8 题,每题 3 分,共 24 分)请把答
生 级 班级

得分

案写在下面表格中对应的位置。
1、 3、
1 2

2、0.5 4、9 6、0.975



3! 8! 10!

专业



5、 27 7、 X P -2 0.2 0 0.5 3 0.3

8、0.75



二、选择题: (本题共 8 个小题,每题 2 分,共 16 分) , 请把答案写在表格中对应的位置。
1 D 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 A

得分

第 1 页 共 4 页(概率统计(理工))

三、计算题(本题共 3 个小题,每题 6 分,共 18 分)
1.某产品由甲、乙两车间生产,甲车间占 60%,乙车间占 40%,且甲车间的正品率 为 90%,乙车间的正品率为 95%,求: (1)任取一件产品是正品的概率; (2) 任取一件是次品,它是乙车间生产的概率. 解:设 A1 =“甲车间生产的产品” ,A2 = ” ,B =“正品” , B =“次品” (1) P( B) ? P( A 1 B) ? P( A 2 B) ? P( A 1 )P( B | A 1 ) ? P( A2 ) p( B | A2 ) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.95 ? 0.92 P( A2 B ) P( A2 )P( B | A2 ) 0.4 ? 0.05 (2) P( A2 | B ) ? ? ? ? 0.25 P( B ) P( B ) 0.08 0 ? x ?1 ? x 3 7 ? 2.设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ?ax ? b 1 ? x ? 2 ,且 P(0 ? X ? ) ? ,求: 2 8 ? 0 其他 ?
1 3 (2) P ( ? X ? ) ; (3) X 的分布函数 F ( x) . 2 2 3 ?? 7 得a ? ?1, b ? 2. 解: (1)由? f ( x ) ? 1 和 ? 2 f ( x ) ? , ?? 0 8 3 3 1 1 3 2 (2) P( ? X ? ) ? ?1 f ( x) dx ? ?1 x dx ? ? 2 ( ? x ? 2) dx ? 0.75 1 2 2 2 2 x?0 ? 0, ?0.5 x 2 , 0 ? x ?1 ? ( 3) F ( x ) ? ? 2 1? x ? 2 ??0.5 x ? 2 x ? 1, ? x?2 ? 1, ?2 x, 0 ? x ? 1; 3. 设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x) ? ? 求随机变量 Y ? 3 X ? 5 的概率密度. 其他. ? 0, 解:设随机变量 X , Y 的分布函数为 FX ( x), FY ( y) . 则

得分

(1)常数 a , b ;

y ?5 y ?5 y ?5 FY ( y ) ? P{Y ? y } ? P{3 X ? 5 ? y } ? P{ X ? } ? FX ( ) ? ? 3 f X ( x )dx ?? 3 3 y ?5 ? ?0 ? 0, 3 ? y ?5 y ?5 ? ? ? ? 3 2 xdx, 0 ? ?1 0 3 ? y ?5 ? ?1 ?1, 3 ?

? ? ? 故 FY ( y ) ? ? ? ? ?

0, 1 ( y ? 5)2 , 9 1,

y?5 5? y ?8 y ?8
5 ? y ? 8; 其他.

?2 ? ( y ? 5), 所以, Y 的概率密度函数为 fY ( y ) ? ? 9 ? ? 0,

第 2 页 共 4 页(概率统计(理工))

四、计算题(本题共 2 个小题,每题 10 分,共 20 分)

得分 ?1 ? ( x ? y), 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2, 1. 已知(X,Y)的联合密度为 f ( x, y ) ? ? 8 , ? 其它 ?0, 求 E( X ), E(Y ), D( X ), D(Y ), cov( X ,Y ), ? XY . 2 21 7 解:(1) E ( X ) ? ? ? ( x ? y ) xdxdy ? 0 0 8 6 7 由对称性知: E (Y ) ? E ( X ) ? , 6 2 21 5 2 2 (2) E ( X ) ? ? ? ( x ? y ) x dxdy ? 0 0 8 3 5 49 11 2 2 ? 故 D( X ) ? E ( X ) ? E ( X ) ? ? 3 36 36 11 , 由对称性知: D (Y ) ? D ( X ) ? 36 2 21 4 (3) E ( XY ) ? ? ? ( x ? y ) xydxdy ? , 0 0 8 3 4 7 7 1 cov( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? ? ? ? , 3 6 6 36 1 ? cov( X , Y ) 1 (4) ? XY ? ? 36 ? ? 11 11 D( X ) D(Y ) 36 ?? 2 ? ? ? e x x?0 2. 设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ? x3 , 其中 ? ? 0 是未知参数,X1 , X 2 ,?, X n 为 ? 0 x?0 ? 一个样本,试求参数 ? 的矩估计量和极大似然估计量。 解:(1) X 的一阶原点矩

v1 ? E ( x ) ? ?

??

??

xf ( x )dx ? 1 ? ?

??

0

x?

?2
x3

e dx ? ? e
x

?

?

?

? ??
x 0

??

??x 令 V1 ? x ? v1 ? ? ,故 ?
?? ? ? ? ? ? 2n ?? ? ?? ? xn ? ? x1 x2 ? e (2) 给定一组观测值 x1, x2 ,?, xn ,似然函数为 L(? ) ? ? x 3 x 3 ? x 3 1 2 n ? 0 ? 显然极大值在区域 xi ? 0, i ? 1, 2,?, n 内,故设 xi ? 0, i ? 1, 2,?, n

xi ? 0, i ? 1, 2,?, n x?0

?1 1 1? 3 3 ln L(? ) ? 2n ln ? ? ln ? x13 x2 ? xn ? ?? ? ? ?? ? x xn ? ? 1 x2 d ln L(? ) 2n ? 1 1 1? , ? ? ? ? ?? ? ? 0 , d? ? ? x1 x2 xn ? 2n ?? 故 ? 的极大似然估计量为 ? . 1 1 1 ? ?? x1 x2 xn
第 3 页 共 4 页(概率统计(理工))

五、计算题(本题共 3 个小题,共 22 分)

得分 1. 为估计 35 亩大豆的产量, 以 200 平方米面积上的大豆作为总体 的 一 个个 体, 从 中任意 抽 得 24 个个 体 ,分 别 测得 样本 均 值 X ? 41.125 , 样本方差 S 2 ? 6.042 , 设大豆的产量服从正态分布 N (?, ? 2 ) , 求 总 体 均 值 ? 的 置 信 水 平 为 95% 的 置 信 区 间.( t0.025 (23) ? 2.07, t0.05 (23)=1.71, t0.025 (24) ? 2.06, t0.05 (24) ? 1.71 )(7 分)
解:由于 ? 未知,可选择样本函数 t ?

X ?? ? t (n ? 1) . S n
S , n X ? t? /2 (n ? 1) S ) n
装 线 订

? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为 ( X ? t? /2 (n ? 1)

X ? 41.125, S ? 6.04, n ? 24, ? ? 0.05, t0.025 (23) ? 2.07 , 24 ? 4.9
所以 ? 的置信度为 0.95 的置信区间为(38.573,43.677)

2.已知某炼铁厂的铁水含碳量(%)在正常情况下服从正态分布 N (4.55, 0.112 ) , 今测得 5 炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。若标准差不变,铁水 的含碳量是否有明显的降低? (已知:? =0.05, U0.05 =1.645, U0.025 ? 1.96 ) (9 分)
解:由题意建立原假设和备择假设

H0 : ? ? 4.55, H1 : ? ? 4.55 .
2

这是对参数 ? 进行的左边单侧检验,方差 ? 已知. 因此可选统计量为函数 u ?

X ??

?

? N (0,1)

n

由题设知 n ? 5, ? ? 0.11, ? ? 0.05 , 经计算得,

并且拒绝域为 u ? ?u?

X ? 4.364, ? ?

X ? ?0

?

?

n

4.364 ? 4.55 ? ?3.781 ? ? ?? ? ? ?0.05 ? ?1.645 0.11 5

所以拒绝 H 0 接受 H1 ,即认为铁水含碳量有显著下降.

?e? x ? y , x ? 0, y ? 0, 3. 设(X, Y)的联合密度为 f ( x, y ) ? ? ,问 X 与 Y 是否独立?(6 分) 其它 ?0,
解:设 X , Y 的边缘密度函数为 f X ( x), fY ( y) .则 f X ( x) ? 当 x ? 0 时, f X ( x) ? 当 x ? 0 时, f X

?

??

??

f ( x, y)dy

? ( x) ? ?
?x

??

?? ?? ??

f ( x, y)dy ? ? 0dy ? 0; f ( x, y)dy ? ? 0dy ? ? e?( x? y )dy ? e? x .
?? 0 ?? 0 ??

??

?e , x ? 0 故有,则 f X ( x) ? ? ? 0, x ? 0 ?e ? y , y ? 0 同理,可得 fY ( y ) ? ? ? 0, y ? 0 显然对任意的实数设 x, y ,都有 f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) ,
所以,X 与 Y 独立.
第 4 页 共 4 页(概率统计(理工))

第 5 页 共 4 页(概率统计(理工))


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