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河南省信阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


河南省信阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1. (5 分)设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x|1<x≤3},则图中阴影部分表示的集 合是()

A.{x|﹣2≤x<1} 2} 2. (5 分)直线 y﹣ A.30°

B.{x|﹣2≤x≤2}

C.{x|1<x≤2}

D.{x|x<

x+5=0 的倾斜角是() B.60°

C.120°

D.150°

3. (5 分)设 a,b 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是() A.若 α⊥β,α⊥γ,则 β⊥γ B. 若 a,b 与 α 所成的角相等,则 a∥b C. 若 a⊥α,a∥β,则 α⊥β D.若 a∥b,a?α,则 b∥α 4. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.2

B.1

C.

D.

5. (5 分)对于 0<a<1,给出下列四个不等式: ① ② ③

④ A.①③

.其中成立的是() B.①④ C.②③ D.②④

6. (5 分)一个到球心距离为 1 的平面截球所得截面的面积为 π,则球的体积为()
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A.4π

B.8π

C.

D.

7. (5 分)函数 y=kx+b 与函数 y=

在同一坐标系中的大致图象正确的是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)一束光线自点 P(1,1,1)发出,遇到平面 xoy 被反射,到达点 Q(3,3,6) 被吸收,那么光所走的路程是() A. B. C. D. 9. (5 分)用二分法求函数 f(x)=lgx+x﹣3 的一个零点,根据参考数据,可得函数 f(x) 的一个零点的近似解 (精确到 0.1) 为 () (参考数据: lg2.5≈0.398, lg2.75≈0.439, lg2.5625≈0.409) A.2.4 B.2.5 C.2.6 D.2.56 10. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设 a=f(﹣ b=f(log3 ) ,c=f( ) ,则 a、b、c 的大小关系是() A.a<c<b 11. (5 分)圆心在曲线 为() 2 2 A.(x﹣1) +(y﹣2) =5 B. 2 2 1) +(y﹣2) =25 D.
2

) ,

B.b<a<c

C.b<c<a

D.c<b<a

上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程
2 2

(x﹣2) +(y﹣1) =5 C. (x﹣ 2 2 (x﹣2) +(y﹣1) =25

12. (5 分)函数 f(x)=loga(2﹣ax )在(0,1)上为减函数,则实数 a 的取值范围() A. B.(1,2) C.(1,2] D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

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13. (5 分)已知函数 f(x)=(a ﹣a﹣1)x

2

为幂函数,则 a=.

14. (5 分)直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行,则 m 的值为. 15. (5 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1, AB,CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角为.

16. (5 分)若函数 f(x)同时满足:①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(﹣x)=0; ②对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1≠x2 时,恒有 f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中: (1)f(x)= (2)f(x)=x (3)f(x)=
2

,则称函数

(4)f(x)=



能被称为“理想函数”的有(填相应的序号) .

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 2 2 2 2 17. (10 分)设 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0},B={x|x ﹣5x+6=0},C={x|x +2x﹣8=0} (1)若?≠A∩B,且 A∩C=?,求实数 a 的值; (2)A∩B=A∩C≠?,求 a 的值. 18. (12 分) (1)已知三角形的顶点为 A(2,4) ,B(0,﹣2) ,C(﹣2,3) ,线段 AB 的 中点为 M,求:AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (2)已知圆心为 E 的圆经过点 P(0,﹣6) ,Q(1,﹣5) ,且圆心 E 在直线 l:x﹣y+1=0 上,求圆心为 E 的圆的标准方程. 19. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AC,且 BC1⊥A1C. (Ⅰ)求证:平面 ABC1⊥平面 A1ACC1;
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(Ⅱ)若 D,E 分别为 A1C1 和 BB1 的中点,求证:DE∥平面 ABC1.

20. (12 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4,直线 l1 过定点 A(1,0) . (Ⅰ)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若 l1 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2:x+2y+2=0 的交点为 N,求证: ? 为定值.

2

2

21. (12 分)如图,BC 为圆 O 的直径,D 为圆周上异于 B、C 的一点,AB 垂直于圆 O 所 在的平面,BE⊥AC 于点 E,BF⊥AD 于点 F. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACD; (Ⅱ)若 AB=BC=2,∠CBD=45°,求四面体 BDEF 的体积.

22. (12 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求实数 k 的值; x (2)设 g(x)=log4(a?2 +a) ,若 f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数 a 的取值范 围.

x

河南省信阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1. (5 分)设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x|1<x≤3},则图中阴影部分表示的集 合是()
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A.{x|﹣2≤x<1}

B.{x|﹣2≤x≤2}

C.{x|1<x≤2}

D.{x|x<2}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 数形结合法. 分析: 先求出集合 M,再根据韦恩图得到阴影部分表示的集合为 N∩(CUM) ,借助数轴 即可得解 2 解答: 解:M={x|x >4}={x|x<﹣2 或 x>2} 由韦恩图知阴影部分表示的集合为 N∩(CUM) 又 CUM={x|﹣2≤x≤2},N={x|1<x≤3} ∴N∩(CUM)={x|1<x≤2} 故选 C 点评: 本题考查韦恩图与集合运算,要求会读韦恩图,会在数轴上进行集合运算.属简单 题 2. (5 分)直线 y﹣ A.30° 考点: 专题: 分析: 解答: 直线 y﹣ ∴ ∵α∈ x+5=0 的倾斜角是() B.60° C.120°

D.150°

直线的倾斜角. 直线与圆. 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 解:设直线 y﹣ x+5=0 的倾斜角为 α. x+5=0 化为 . ,

分析: 结合两平面的位置关系,由面面垂直的性质,以及面面平行的判定即可判断 A;由 线面角的概念,结合两直线的位置关系即可判断 B;由线面平行的性质定理和线面垂直的性 质以及面面垂直的判断即可判断 C;由线面平行的判定定理即可判断 D. 解答: 解:A.若 α⊥β,α⊥γ,则 β、γ 可平行,如图,故 A 错; B.若 a,b 与 α 所成的角相等, 则 a∥b 或 a,b 相交或 a,b 异面,故 B 错; C.若 a⊥α,a∥β,则过 a 的平面 γ∩β=c,即有 c∥a, 则 c⊥α,c?β,则 α⊥β,故 C 正确; D.若 a∥b,a?α,则 b?α,或 b∥α,由线面平行的判定定理得, 若 a∥b,a?α,b?α,则 b∥α,故 D 错. 故选 C.

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点评: 本题主要考查空间直线与平面的位置关系,考查线面平行、垂直的判定和性质,面 面平行、垂直的判定和性质,熟记这些是正确解题的关键. 4. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.2

B. 1

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由已知中的三视图,我们可以判断出该几何体的几何特征,及几何体的形状,求出 棱长、高等信息后,代入体积公式,即可得到答案. 解答: 解:由图可知该几何体是一个四棱锥 其底面是一个对角线为 2 的正方形,面积 S= ×2×2=2 高为 1 则 V= =

故选 C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知中的三视图判断该物体是一个 底面为对角为 2 的正方形,高为 1 的四棱锥是解答本题的关键. 5. (5 分)对于 0<a<1,给出下列四个不等式:

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④ A.①③

.其中成立的是() B.①④ C.②③ D.②④

考点: 对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 常规题型. 分析: 根据题意,∵0<a<1∴ >1∴ 又∵y=logax 此时在定义域上是减函数,
x

∴①loga(1+a)<loga(1+ )错误;②loga(1+a)>loga(1+ )正确;又∵y=a 此时在 定义域上是减函数,∴③a
1+a

<a

1

错误;④a

1+a

>a

正确.

解答: 解:∵0<a<1,∴a< ,从而 1+a<1+ . ∴loga(1+a)>loga(1+ ) . 又∵0<a<1,∴a
1+a

>a



故②与④成立. 点评: 此题充分考查了不等式的性质,同时结合函数单调性对不等关系进行了综合判断. 6. (5 分)一个到球心距离为 1 的平面截球所得截面的面积为 π,则球的体积为() A.4π B . 8π C. D.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 由截面面积为 π,可得截面圆半径为 1,再根据截面与球心的距离为 1,可得球的 半径 ,进而结合有关的公式求出球的体积. 解答: 解:因为截面面积为 π, 所以截面圆半径为 1, 又因为截面与球心的距离为 1, 所以球的半径 R= 所以根据球的体积公式知 = , ,

故选 D. 点评: 本题主要考查学生对球的性质的认识与球的体积公式,以及学生的空间想象能力, 是基础题.

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7. (5 分)函数 y=kx+b 与函数 y=

在同一坐标系中的大致图象正确的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一次函数和反比例函数的图象和性质即可判断. 解答: 解:当 kb>0 时,函数 y= 的图象过一三象限,当 k>0,b>0 时,函数 y=kx+b

的图象过一二三象限,当 k<0,b<0 时,函数 y=kx+b 的图象过二三四象限,故排除 CD, 当 kb<0 时,函数 y= 的图象过二四象限,当 k>0,b<0 时,函数 y=kx+b 的图象过一三

四象限,当 k<0,b>0 时,函数 y=kx+b 的图象过一二四象限,故排除 A, 故选:B 点评: 本题一次函数和反比例函数的图象和性质,属于基础题. 8. (5 分)一束光线自点 P(1,1,1)发出,遇到平面 xoy 被反射,到达点 Q(3,3,6) 被吸收,那么光所走的路程是() A. B. C. D. 考点: 两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 求出 P 关于平面 xoy 的对称点的 M 坐标,然后求出 MQ 的距离即可. 解答: 解:点 P(1,1,1)平面 xoy 的对称点的 M 坐标(1,1,﹣1) ,一束光线自点 P (1,1,1)发出, 遇到平面 xoy 被反射,到达点 Q(3,3,6)被吸收, 那么光所走的路程是: = .

故选 D. 点评: 本题考查点关于平面对称点的求法,两点的距离公式的应用,考查计算能力. 9. (5 分)用二分法求函数 f(x)=lgx+x﹣3 的一个零点,根据参考数据,可得函数 f(x) 的一个零点的近似解 (精确到 0.1) 为 () (参考数据: lg2.5≈0.398, lg2.75≈0.439, lg2.5625≈0.409) A.2.4 B.2.5 C.2.6 D.2.56 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的是二分法求方程的近似解的问题. 在解答时可以先根据函数的特点和所 给的数据计算相关的函数值,再结合零点存在性定理即可获得解答. 解答: 解:由题意可知:f(2.5)=lg2.5+2.5﹣3=0.398﹣0.5<0, f(2.5625)=lg2.5625+2.5625﹣3=0.409﹣0.4375<0,
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f(2.75)=lg2.75+2.75﹣3=0.439﹣0.25>0 又因为函数在(0,+∞)上连续,所以函数在区间(2.5625,2.75)上有零点. 故选 C. 点评: 本题考查的是二分法求方程的近似解的问题. 在解答的过程当中充分体现了观察分 析数据的能力、问题转化的能力以及运算的能力.值得同学们体会反思. 10. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设 a=f(﹣ b=f(log3 ) ,c=f( ) ,则 a、b、c 的大小关系是() A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a ) ,

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用 f(x)是定义在 R 上的偶函数,化简 a,b,利用函数在(0,+∞)上是增函 数,可得 a,b,c 的大小关系. 解答: 解:a=f(﹣ ∵0<log32<1,1< < )=f( ,∴ ) ,b=f(log3 )=f(log32) ,c=f( ) , > >log32.

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴a>c>b, 故选 C. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合, 考查学生分析解决问题的能力, 属于基础题.

11. (5 分)圆心在曲线 为() A.(x﹣1) +(y﹣2) =5 2 (y﹣2) =25 D.
2 2

上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程
2 2 2

B.(x﹣2) +(y﹣1) =5 C. (x﹣1) + 2 2 (x﹣2) +(y﹣1) =25

考点: 圆的切线方程;圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 设出圆心坐标,求出圆心到直线的距离的表达式,求出表达式的最小值,即可得到 圆的半径长,得到圆的方程,推出选项. 解答: 解:设圆心为 ,





当且仅当 a=1 时等号成立. 2 当 r 最小时,圆的面积 S=πr 最小, 2 2 此时圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =5; 故选 A.

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点评: 本题是基础题,考查圆的方程的求法,点到直线的距离公式、基本不等式的应用, 考查计算能力. 12. (5 分)函数 f(x)=loga(2﹣ax )在(0,1)上为减函数,则实数 a 的取值范围() A. B.(1,2) C.(1,2] D.
2

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 2 分析: 由对数函数的性质可得,a>0,令 g(x)=2﹣ax ,g(x)为减函数,由复合函数 的性质可知 a>1,又 2﹣a≥0,从而可得答案. 解答: 解:由题意得:a>0,令 g(x)=2﹣ax ,则 g(x)为减函数, 又 f(x)= 在(0,1)上为减函数,
2

∴a>1.① 2 又当 x∈(0,1)时,g(x)=2﹣ax >0, ∴当 x=1 时,g(1)=2﹣a≥0, ∴a≤2② 由①②得:1<a≤2. 故选 C. 点评: 本题考查复合函数的性质与应用,由题意得到 a>1,2﹣a≥0 是关键,也是难点, 考查综合分析与理解应用的能力,属于难题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知函数 f(x)=(a ﹣a﹣1)x
2

为幂函数,则 a=﹣1.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义和解析式列出方程组,求出 a 的值. 解答: 解:因为函数 f(x)=(a ﹣a﹣1)x 所以 ,解得 a=﹣1,
2

为幂函数,

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查幂函数的解析式、定义,注意分母不为零,属于基础题. 14. (5 分)直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行,则 m 的值为﹣1. 考点: 两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 利用两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,解方程求的 m 的 值.
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解答: 解:由于直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行, ∴ ,∴m=﹣1,

故答案为﹣1. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项 之比. 15. (5 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1, AB,CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角为 90°.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出异面直线 A1E 与 GF 所成角. 解答: 解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, A1(1,0,2) ,E(0,0,1) , G(0,2,1) ,F(1,1,0) , =(﹣1, 0,﹣1) , =(1,﹣1,﹣1) ,

设异面直线 A1E 与 GF 所成角为 θ, cosθ=|cos< >|= =0,

∴异面直线 A1E 与 GF 所成角为 90°. 故答案为:90°.

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点评: 本题考查空间点、 线、 面的位置关系及学生的空间想象能力、 求异面直线角的能力, 解题时要注意向量法的合理运用. 16. (5 分)若函数 f(x)同时满足:①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(﹣x)=0; ②对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1≠x2 时,恒有 f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中: (1)f(x)= (2)f(x)=x (3)f(x)=
2

,则称函数

(4)f(x)=



能被称为“理想函数”的有(4) (填相应的序号) . 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 证明题;新定义. 分析: 先理解已知两条性质反映的函数性质,①f(x)为奇函数,②f(x)为定义域上 的单调减函数,由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可 解答: 解:依题意,性质①反映函数 f(x)为定义域上的奇函数,性质②反映函数 f(x) 为定义域上的单调减函数, (1)f(x)= 为定义域上的奇函数,但不是定义域上的单调减函数,其单调区间为(﹣∞,

0) , (0,+∞) ,故排除(1) ; 2 (2)f(x)=x 为定义域上的偶函数,排除(2) ;

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(3)f(x)=

=1﹣

,定义域为 R,由于 y=2 +1 在 R 上为增函数,故函数 f(x)

x

为 R 上的增函数,排除(3) ; (4)f(x)= 故(4)为理想函数 故答案为 (4) 的图象如图:显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,

点评: 本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质, 对新定义函数的理解能力, 奇函数的 定义,函数单调性的定义,基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法,复合函数及分段 函数的单调性和奇偶性的判断方法 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)设 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0},B={x|x ﹣5x+6=0},C={x|x +2x﹣8=0} (1)若?≠A∩B,且 A∩C=?,求实数 a 的值; (2)A∩B=A∩C≠?,求 a 的值. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 2 2 分析: (1)由已知得 B={2,3},C={﹣4,2},?≠A∩B,且 A∩C=?,从而 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0}={3},由此能求出 a=﹣2. 2 2 (Ⅱ)由 A∩B=A∩C≠?,得 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0}={2},由此能求出 a=﹣3. 2 2 解答: 解: (1)∵B={x|x ﹣5x+6=0}={2,3},C={x|x +2x﹣8=0}={﹣4,2}, ?≠A∩B,且 A∩C=?, 2 2 ∴A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0}={3}, 2 ∴9﹣3a+a ﹣19=0,解得 a=﹣2 或 a=5, 经检验,得 a=﹣2 成立,a=5 不成立, ∴a=﹣2. 2 2 (Ⅱ)∵A∩B=A∩C≠?,∴A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0}={2}, 2 ∴4﹣2a+a ﹣19=0, 解得 a=﹣3 或 a=5, 经检验,得 a=﹣3 成立,a=5 不成立,
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2 2 2 2

∴a=﹣3. 点评: 本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集性质的合理运用. 18. ( 12 分) (1)已知三角形的顶点为 A(2,4) ,B(0,﹣2) ,C(﹣2,3) ,线段 AB 的 中点为 M,求:AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (2)已知圆心为 E 的圆经过点 P(0,﹣6) ,Q(1,﹣5) ,且圆心 E 在直线 l:x﹣y+1=0 上,求圆心为 E 的圆的标准方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意 AB 中点 M 的坐标是 M(1,1) ,运用直线的两点式求解即可. (2)运用中点公式,斜率公式判断得出线段 PQ 的垂直平分线 l′的方程为:y =﹣(x﹣

) ,运用方程组得出圆心 E 的坐标是方程组

圆心坐标,半径,即可求解出圆.

解答: 解: (1)由题意 AB 中点 M 的坐标是 M(1,1) , 中线 CM 所在直线的方程是 = ,

即 2x+3y﹣5=0. (2)∵p(0,﹣6) ,Q(1,﹣5) , ∴线段 PQ 的中点 D 的坐标为( ,﹣ ∵直线 PQ 的斜率为 kAB= ∴线段 PQ 的垂直平分线 l′的方程为:y 即 x+y+5=0, 圆心 E 的坐标是方程组 ∴圆心 E 的坐标(﹣3,﹣2) , 即以 E 为圆心的圆的半径 r=|PE|=
2 2

) , =1, =﹣(x﹣ ) ,

的解,解此方程组得出

=5,

∴圆心为 E 的圆的标准方程: (x+3) +(y+2) =25 点评: 本题考查直线与圆的方程,运用直线,圆的性质,位置关系判断求解,关键是确定 圆心,半径,难度不大,属于中档题. 19. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AC,且 BC1⊥A1C. (Ⅰ)求证:平面 ABC1⊥平面 A1ACC1; (Ⅱ)若 D,E 分别为 A1C1 和 BB1 的中点,求证:DE∥平面 ABC1.

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考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明平面 ABC1⊥平面 A1C,只需证明 A1C⊥平面 ABC1; (Ⅱ)取 AA1 中点 F,连 EF,FD,证明平面 EFD∥平面 ABC1,则有 ED∥平面 ABC1. 解答: 证明: (I)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,有 AA1⊥平面 ABC. ∴AA1⊥AC,又 AA1=AC,∴A1C⊥AC1. …(2 分) 又 BC1⊥A1C,且 AC1∩BC1=C1,∴A1C⊥平面 ABC1, 而 A1C?面 A1ACC1,∴平面 ABC1⊥平面 A1ACC1…(6 分) (II)取 A1A 中点 F,连 EF,FD,EF∥AB,DF∥AC1…(9 分) 即平面 EFD∥平面 ABC1,则有 ED∥平面 ABC1…(12 分)

点评: 本小题主要考查利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,考查线面平行的判定定 理,并且考查空间想象能力和推理论证能力,属于中档题. 20. (12 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4,直线 l1 过定点 A(1,0) . (Ⅰ)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若 l1 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2:x+2y+2=0 的交点为 N,求证: ? 为定值.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用;圆的切线方程. 专题: 证明题;综合题;数形结合. 分析: (I)由直线 l1 与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,求得直线方程,注意分 类讨论; (II)分别联立相应方程,求得 M,N 的坐标,再求 ? .

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解答: 解: (Ⅰ)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线 x=1,符合题意. (2 分) ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即 解之得 .

所求直线方程是 x=1,3x﹣4y﹣3=0. (5 分) (Ⅱ)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx﹣y﹣k=0 由 得 又直线 CM 与 l1 垂直,







?

=

为定值. (10 分)

点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线与直线的交点和两点间的距离公式. 21. (12 分)如图,BC 为圆 O 的直径,D 为圆周上异于 B、C 的一点,AB 垂直于圆 O 所 在的平面,BE⊥AC 于点 E,BF⊥AD 于点 F. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACD; (Ⅱ)若 AB=BC=2,∠CBD=45°,求四面体 BDEF 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 对第 (Ⅰ) 问, 由于 BF⊥AD, 要证 BF⊥平面 ACD, 只需证 BF⊥CD, 故只需 CD⊥ 平面 ABD,由于 CD⊥BD,只需 CD⊥AB,由 AB⊥平面 BDC; 对第(Ⅱ)问,四面体 BDEF 即三棱锥 E﹣BDF,由 CD⊥平面 ABD 及 E 为 AC 的中点知, 三棱锥 E﹣BDF 的高等于 ,在 Rt△ ABD 中,根据 BF⊥AD,设法求出 S△ BDF,即得四

面体 BDEF 的体积. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵BC 为圆 O 的直径,∴CD⊥BD, ∵AB⊥圆 0 所在的平面 BCD,且 CD?平面 BCD,∴AB⊥CD, 又 AB∩BD=B,∴CD⊥平面 ABD,
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∵BF?平面 ABD,∴CD⊥BF, 又∵BF⊥AD,且 AD∩CD=D, ∴BF⊥平面 ACD. (Ⅱ)∵AB=BC=2,∠CBD=45°,∴BD=CD= ∵BE⊥AC,∴E 为 AC 的中点, 又由(Ⅰ)知,CD⊥平面 ABD, ∴E 到平面 BDF 的距离 d= 在 Rt△ ABD 中,有 AD=
2



=

. ,

∵BF⊥AD,由射影定理得 BD =DF?AD, 则 DF= ∴ ,从而 , = . ,

∴四面体 BDEF 的体积=

点评: 1.本题考查了线面垂直的定义与性质与判定,关键是掌握线面垂直与线线垂直的 相互转化:“线线垂直”可由定义来实现,“线面垂直”可由判定定理来实现. 2.考查了三棱锥体积的计算,求解时,应寻找适当的底面与高,使面积和高便于求解,面 积可根据三角形形状求解,高可转化为距离的计算. 22. (12 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求实数 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a?2 +a) ,若 f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数 a 的取值范 围. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)=f(﹣x) ,化简可得 x=﹣2kx 对一切 x∈R 恒成立,从而求得 k 的值. (2)由题意可得,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,方程 有且只有一个实根,且 a?2 +a>0 成立,则 a>0.令 t=2 >0,则(a﹣1)t +at﹣1=0 有且 只有一个正根,分类讨论求得 a 的范围,综合可得结论. 解答: 解: (1)由函数 f(x)是偶函数可知:f(x)=f(﹣x) , ∴ ,化简得 ,
x x 2 x x

即 x=﹣2kx 对一切 x∈R 恒成立,∴



(2)由题意可得,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 即方程 有且只有一个实根,

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化简得:方程
x 2

有且只有一个实根,且 a?2 +a>0 成立,则 a>0.

x

令 t=2 >0,则(a﹣1)t +at﹣1=0 有且只有一个正根, 2 设 g(t)=(a﹣1)t +at﹣1,注意到 g(0)=﹣1<0, 所以①当 a=1 时,有 t=1,合题意; ②当 0<a<1 时,g(t)图象开口向下,且 g(0)=﹣1<0,则需满足 此时有 ; (舍去) . ③当 a>1 时,又 g(0)=﹣1,方程恒有一个正根与一个负根. 综上可知,a 的取值范围是{ }∪[1,+∞) . 点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断, 二次函数的性质的应用, 体现了化归 与转化的数学思想,属于基础. ,

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