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100测评网江苏省盐城市2008-2009高三第一次调研考试数学试题


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盐城市 2008/2009 高三第一次调研考试


? xi yi ? nx y
i ?1 n n


? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i n

(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
参考公式:线性回归方程的系数公式为 b ?

?x
i ?1

2

i

? nx

2

?

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx .

2

一、 填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知角 ? 的终边过点 P (-5,12),则 cos ? =____▲____. 2.设 (3 ? i) z ? 10i ( i 为虚数单位),则 | z | =____▲____. 3.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为 2 的正方形,其俯视图是 直径为 2 的圆,则该几何体的表面积为____▲____.

? x ? 0, y ? 0 ? 4.设不等式组 ? x ? 2 所表示的区域为 A , 现在区域 A 中任意丢进一 ? y?2 ?
个粒子,则该粒子落在直线 y ?

主视图

左视图

1 x 上方的概率为____▲____. 2

俯视图
第3题 开始

5. 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x 0 C 之间的关系,随机统计了某 4 天 的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温( C) 用电量(度)
0

18 24

13 34

10 38

-1 64

S←0

? ? bx ? a 中 b ? ?2 ,预测当气温为 ?40 C 由表中数据得线性回归方程 y
时,用电量的度数约为____▲____. 6.设方程 2 ln x ? 7 ? 2 x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 ? x0 的最大整数解 为____▲____. 7.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据. 观测次数 i 观测数据 ai 1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48

i←1
输入 ai

i← i +1

S←S + (ai ? a)2


i ≥ 8?
是 S ← S/8

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均数),则输出的 S 的值是____▲____. 8.设 P 为曲线 C : y ? x ? x ? 1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围
2

输出 S

结束 第7题

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是 [?1,3] ,则点 P 纵坐标的取值范围是____▲____. 9.已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a4 ? 8 ,则 a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ???? ? an an?1 =____▲____. 10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线 xy ? k ( k ? 0 )上任意一点 P ,若点 P 在 x 轴、 y 轴 上 的 射 影 分 别 为 M 、 N , 则 PM ? PN 必 为 定 值 k ” . 类 比 于 此 , 对 于 双 曲 线 ( a ? 0 , b ? 0 )上任意一点 P ,类似的命题为:____▲____.

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

11. 现 有 下 列 命 题 : ① 命 题 “ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是 “ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” ;② 若

A ? ?x | x ? 0? , B ? ?x | x ? ?1? ,则 A (?R B) = A ;③函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 是偶函数的充 ? 要条件是 ? ? k? ? (k ? Z ) ;④若非零向量 a, b 满足 | a |?| b |?| a ? b |,则 b与(a ? b) 的夹角为 60?. 2
其中正确命题的序号有____▲____.(写出所有你认为真命题的序号)

x2 y 2 12.设 A, F 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点 P ,使得线段 a b
PA 的垂直平分线恰好经过点 F ,则椭圆的离心率的取值范围是____▲____. 13.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m 、 n 、p 分别是三棱锥 M ? PAB 、 P 1 三棱锥 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 2 1 a ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为____▲____. x y
A C

14.若关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? t 至少有一个负数解,则实数 t 的取值范
2

M B
第 13 题

围是____▲____. 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明 过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知在 ?ABC 中, cos A ? (Ⅰ)求 tan 2 A ; (Ⅱ)若 sin(

6 , a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边. 3

?
2

? B) ?

2 2 , c ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积. 3

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,侧棱 PA ? PD , 底 面 A B C 是 D 直 角 梯 形 , 其 中 0 BC // AD , ?BAD ? 90 , AD ? 3BC , O 是 AD 上一点. (Ⅰ)若 CD // 平面PBO ,试指出点 O 的位置; (Ⅱ)求证: 平面PAB ? 平面PCD .

P

A

O C
第 16 题

D

B

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17. (本小题满分 15 分) 如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块“绿地 ?ABD ”,其中 AB 长为定值 a , BD 长可根据需要进行调节( BC 足够长).现规划在 ?ABD 的内接正方形 C BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积 S1 与种花的面积 S2 的比值

S1 称为“草花比 y ”. S2 (Ⅰ)设 ?DAB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; (Ⅱ)当 BE 为多长时, y 有最小值?最小值是多少?
F

D

G

A

E
第 17 题

B

18. (本小题满分 15 分)

C 过点 P(1,1) ,且与 (Ⅰ)求 C 的方程;
已知 (Ⅱ)设 Q 为

M : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称.

C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原 点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

19. (本小题满分 16 分)

(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数; (Ⅱ)求证: n ? m ;

已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? 3x ? 3) ? e x 定义域为 ?? 2, t ? ( t ? ?2 ),设 f (?2) ? m, f (t ) ? n .

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样的 x0 的个数. (Ⅲ)求证:对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 x0 e 3

20. (本小题满分 16 分) 在正项数列 ?an ? 中,令 Sn ?

?
i ?1

n

(Ⅰ)若 ?an ? 是首项为 25,公差为 2 的等差数列,求 S100 ; (Ⅱ)若 Sn ?

1 . ai ? ai ?1

2 2 (Ⅲ)给定正整数 k ,正实数 M ,对于满足 a1 的所有等差数列 ?an ? , ? ak ?1 ? M

np ( p 为正常数)对正整数 n 恒成立,求证 ?an ? 为等差数列; a1 ? an?1

求 T ? ak ?1 ? ak ?2 ???? ? a2k ?1 的最大值.

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数学附加题
(总分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区 域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图, ?ABC是 ⊙ O 的内接三角形, PA是 ⊙ O 的切线,

PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D ,若 PE ? PA , ?ABC ? 60 ,PD ? 1,BD ? 8,求BC的长 .

第 21 题(A)

B.(选修 4—2:矩阵与变换) 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x-y=4,求 l 的方程. C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)

在极坐标系中,设圆 ? ? 3 上的点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 2 的距离为 d ,求 d 的最大值. D.(选修 4—5:不等式选讲)

?

?

1 1 1 100 设 a , b, c 为正数且 a ? b ? c ? 1 ,求证: (a ? )2 ? (b ? )2 ? (c ? )2 ? . a b c 3

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分) 如图,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求点 A 到平面 PBD 的距离; (Ⅱ)求二面角 A—PB—D 的余弦值.

O
第 22 题

23. (本小题满分 10 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

2 .现在甲、 乙两人从袋中轮流摸取 1 球, 7

甲先取,乙后取,然后甲再取 ,??,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止 .每个球在每一次 被取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止时所需要的取球次数. (Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 ? 的概率分布及数学期望 E? ; (Ⅲ)求甲取到白球的概率.

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数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.

5 2. 13 2 n 9. ? (1 ? 4 ) 3
1. ? 11.②③

10

3. 6?

4.

3 4

5.68

6. 4

7. 7

8. [ , 3]

3 4

10. 若点 P 在两渐近线上的射影分别为 M 、 N ,则 PM ? PN 必为定值 12. ? ,1?

a 2b 2 a 2 ? b2

?1 ? ?2 ?

13.1

14. ? ?

? 9 ? ,2? ? 4 ?

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15. 解: (Ⅰ)因为 cos A ? ∴ tan 2 A ?

6 2 3 ,∴ sin A ? ,则 tan A ? ????????????????(4 分) 3 2 3

2 tan A ? 2 2 ?????????????????????????????(7 分) 1 ? tan 2 A 1 ? 2 2 2 2 (Ⅱ)由 sin( ? B) ? ,得 cos B ? ,∴ sin B ? ????????????????(9 分) 3 2 3 3 6 则 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ????????????????(11 分) 3 c sin A 1 2 2 ? 2 ,∴ ?ABC 的面积为 S ? ac sin B ? 由正弦定理,得 a ? ?????????(14 分) sin C 2 3 16. (Ⅰ)解:因为 CD // 平面PBO , CD ? 平面ABCD ,且 平面ABCD 平面PBO ? BO , 所以 BO // CD ???????????????????????????????????(4 分) 又 BC // AD ,所以四边形 BCDO 为平行四边形,则 BC ? DO ??????????????(6 分) 而 AD ? 3BC ,故点 O 的位置满足 AO ? 2OD ?????????????????????(7 分) (Ⅱ)证: 因为侧面 PAD ? 底面 ABCD , AB ? 底面ABCD ,且 AB ? 交线AD , 所以 AB ? 平面PAD ,则 AB ? PD ?????????????????????????(10 分) 又 PA ? PD ,且 PA ? 面PAB, AB ? 面PAB, AB PA ? A ,所以 PD ? 平面PAB ????(13 分) 而 PD ? 平面PCD ,所以 平面PAB ? 平面PCD ???????????????????(14 分) 1 2 ? 17. 解:(Ⅰ)因为 BD ? a tan ? ,所以 ?ABD 的面积为 a tan ? ( ? ? (0, ) )?????????(2 分) 2 2 FG DG t a tan ? ? t ? 设正方形 BEFG 的边长为 t ,则由 ,得 ? , AB DB a a tan ? a tan ? a 2 tan 2 ? 解得 t ? ,则 S2 ? ?????????????????????????(6 分) 1 ? tan ? (1 ? tan ? )2

S1 (1 ? tan ? )2 1 2 1 a 2 tan 2 ? , 则 a tan ? ? S2 ? a 2 tan ? ? y ? ? ? 1 ??????(9 分) 2 2 (1 ? tan ? )2 S2 2 tan ? 1 1 1 1 ? 2) ? 1 ? (tan ? ? ) ? 1 ?????(13 分) (Ⅱ)因为 tan ? ? (0, ??) ,所以 y ? (tan ? ? 2 tan ? 2 tan ? a a 当且仅当 tan ? ? 1 时取等号,此时 BE ? .所以当 BE 长为 时, y 有最小值 1???????(15 分) 2 2
所以 S1 ?

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?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? ?a ? 0 ? 2 2 18. 解:(Ⅰ)设圆心 C ( a, b) ,则 ? ,解得 ? ?????????????(3 分) b?2 b?0 ? ? ?1 ? a?2 ? 2 则圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 ???(5 分)
(Ⅱ)设 Q( x, y) ,则 x2 ? y 2 ? 2 ,且 PQ ? MQ ? ( x ?1, y ?1) ? ( x ? 2, y ? 2) ??????????(7 分) = x2 ? y 2 ? x ? y ? 4 = x ? y ? 2 ,所以 PQ ? MQ 的最小值为 ?4 (可由线性规划或三角代换求得)?(10 分) (Ⅲ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ,得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0 ???(11 分) PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ,由 ? 2 2 ? x ?y ?2 k 2 ? 2k ? 1 因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? ????????????(13 分) 1? k 2 k 2 ? 2k ? 1 y ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? xA ) 同理, xB ? ,所以 k AB ? B ? ? ? 1 = kOP 2 1? k xB ? xA xB ? xA xB ? xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行????????????????????????????(15 分) 19. (Ⅰ)解:因为 f ?( x) ? ( x2 ? 3x ? 3) ? e x ? (2 x ?3) ? e x ? x( x ?1) ? e x ?????????????(2 分) 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1,所以 f ( x ) 在 (??,0),(1, ??) 上递增, 在 (0,1) 上递减 ??????????????????????????????????(4 分) 欲 f ( x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 ?????????????????????(5 分) (Ⅱ)证:因为 f ( x ) 在 (??,0),(1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 e (7 分) 13 又 f (?2) ? 2 ? e ,所以 f ( x ) 在 ? ?2, ?? ? 上的最小值为 f (?2) ?????????????(9 分) e 从而当 t ? ?2 时, f (?2) ? f (t ) ,即 m ? n ??????????????????????(10 分)
f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) 2 2 2 ? (t ? 1) 2 即为 x0 2 ? x0 ? (t ? 1) 2 , ? x ? x , 所以 0 0 x0 x0 3 e 3 e 2 2 2 2 2 2 令 g ( x) ? x ? x ? (t ? 1) ,从而问题转化为证明方程 g ( x) ? x ? x ? (t ? 1) =0 3 3 在 (?2, t ) 上有解,并讨论解的个数??????????????????????????(12 分) 2 2 2 1 2 2 因为 g (?2) ? 6 ? (t ? 1) ? ? (t ? 2)(t ? 4) , g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) ? (t ? 2)(t ? 1) ,所以 3 3 3 3 ①当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时, g (?2) ? g (t ) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且只有一解 ??(13 分) 2 2 ②当 1 ? t ? 4 时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0 ,但由于 g (0) ? ? (t ? 1) ? 0 , 3 所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且有两解 ??????????????????????(14 分) 2 ③当 t ? 1 时, g ( x) ? x ? x ? 0 ? x ? 0或x ? 1 ,所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有且只有一解;
(Ⅲ)证:因为
2 当 t ? 4 时, g ( x) ? x ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?2或x ? 3 ,

所以 g ( x) ? 0 在 (?2, 4) 上也有且只有一解??????????????????????(15 分)

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 , 综上所述, 对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 x0 e 3 且当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时,有唯一的 x0 适合题意;当 1 ? t ? 4 时,有两个 x0 适合题意????(16 分) 2 2 2 (说明:第(Ⅱ)题也可以令 ? ( x) ? x ? x , x ? (?2, t ) ,然后分情况证明 (t ? 1) 在其值域内,并讨论直 3

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2 (t ? 1) 2 与函数 ? ( x) 的图象的交点个数即可得到相应的 x0 的个数) 3 a ? ai a201 ? a1 1 ? i ?1 20.(Ⅰ)解:由题意得, ,所以 S100 = ? 5 ????????(4 分) 2 2 ai ? ai ?1
线y? (Ⅱ)证:令 n ? 1 , 所以 Sn ?
n

p 1 ,则 p =1??????????????????(5 分) ? a1 ? a2 a1 ? a2

n ?1 np (n ? 1) p 1 1 = ( 1 ) , = (2), S ? ? ? n ?1 a1 ? an ?1 a1 ? an ? 2 ai ? ai ?1 ai ? ai ?1 i ?1 i ?1 (n ? 1) n 1 (2)—(1),得 — = , a1 ? an ? 2 a1 ? an ?1 an ?1 ? an ? 2

化简得 (n ? 1)an?1 ? nan?2 ? a1 (n ? 1) (3)???????????????????????(7 分) 在(3)中令 n ? 1 ,得 a1 ? a3 ? 2a2 ,从而 ?an ? 为等差数列 ????????????????(10 分) (Ⅲ)记 t ? ak ?1 ,公差为 d ,则 T ? ak ?1 ? ak ?2 ???? ? a2k ?1 = (k ? 1)t ? 则

(n ? 2)an?2 ? (n ? 1)an?3 ? a1 (n ? 1) (4),(4)—(3)得 an?1 ? an?3 ? 2an?2 (n ? 1) ????(9 分)
k (k ? 1) d ???????(12 分) 2

T kd 2 2 2 2 ?t? , M ? a1 ? ak ?1 ? t ? (t ? kd ) k ?1 2 4 kd 1 4 kd 2 T 2 ? (t ? ) 2 ? (4t ? 3kd ) 2 ? (t ? ) 2 ? ( ) ????????????????(14 分) 10 2 10 10 2 5 k ?1 ? M ?4t ? 3kd ?ak ?1 ? t ? 3 (k ? 1) 10M 10 ? ? 则T ? ,当且仅当 ? 时等号成立?????(16 分) 2 kd 2 ,即 ? 2 M ? (t ? ) 4 M ? ? 5 2 ? d? ? k 10 ?

数学附加题部分
21.A. (几何证明选讲选做题) 解: 因为 PB=PD+BD=1+8=9, PA =PD· BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结 AD,在 ?ADE 中,得 AD ? 7 ??(5 分)
2

又 ?AED ?BEC ,所以 BC ? 2 7 ?????????????????????????(10 分) B. (矩阵与变换选做题) b? b ? ?1 ? ? ?1? ? a b ? ? ?2 ? ?0 ? ?a ?a 解: (Ⅰ)设 ? ,则有 ? =? ?,? ? ? ? ? ? ?=? ?, d? d ? ? ?1? ? ?1? ?c d? ?c ?c ? ?1 ? ? ?2 ?
?a ? 1 ?b ? 2 ?a ? b ? ?1 ??2a ? b ? 0, ? ,且 ? 所以 ? ,解得 ? ??????????????????????(4 分) c ? d ? ? 1 ? 2 c ? d ? ? 2 ? ? ?c ? 3 ? ?d ? 4 ? ?2 1 ? 2? ?1 ?1 ? 所以 M= ? ????????????????????????(7 分) 1? ? ,从而 M = ? 3 ? 3 4 ? ? ?2 2? ? x? ? ?1 2 ? ? x ? ? x ? 2 y ? (Ⅱ)因为 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 且 m:2 x? ? y ? ? 4 , ? y ? ? ?3 4 ? ? y ? ?3 x ? 4 y ?

所以 2(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+4 =0,这就是直线 l 的方程 ???????????????(10 分) C. (坐标系与参数方程选做题)

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解:将极坐标方程 ? ? 3 转化为普通方程: x2 ? y 2 ? 9 ?????????????????(2 分)

? cos ? ? 3 sin ? ? 2 可化为 x ? 3 y ? 2 ??????????????????????(5 分)
在 x2 ? y 2 ? 9 上任取一点 A ? 3cos ? ,3sin ? ? ,则点 A 到直线的距离为

?

?

d?

3cos ? ? 3 3 sin ? ? 2 2

?

6sin(? ? 300 ) ? 2 2

,它的最大值为 4 ???????????(10 分)

D. (不等式选讲选做题) 证:左= (1 ? 1 ? 1 )[(a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ] ? [1? (a ? ) ? 1? (b ? ) ? 1? (c ? )] ?(5 分)

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 a b c 3 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ? [1 ? ( ? ? )]2 ? [1 ? ( a ? b ? c)( ? ? )]2 ? (1 ? 9) 2 ? ????????(10 分) 3 a b c 3 a b c 3 3

22.解:以 OA、OB 所在直线分别 x 轴,y 轴,以过 O 且垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标 系, 则 A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), D(0,?1,0), P( 3,0,2) ,DB ? (0, 2,0), AP ? (0,0, 2) ?(2 分) (Ⅰ)设平面 PDB 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , DP ? ( 3,1,2), 由?

DB ? (0,2,0) ,

? ?n1 ? DP ? 0

? 2 3 ? 3x1 ? y1 ? 2 z 1 ? 0 ,得 ? .令z1 ? 1, 得n1 ? (? , 0,1) , DA ? ( 3,1,0), 3 ?2 y1 ? 0 ?n1 ? DB ? 0 ? ?

所以 点A到平面PDB的距离d ?

| n1 ? DA | 2 21 = ???????????????????(5 分) 7 | n1 |

(Ⅱ)设平面 ABP 的法向量 n 2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) , AP ? (0,0,2), AB ? (? 3,1,0) ,

? 3 ? x2 ? 3 ? ? ?2 x2 ? 0 3 ? AP ? n 2 ? 0 ? ? 由? ,得 ? .令y2 ? 1, 得 ? y2 ? 1 ,? n2 ? ( ,1,0) , 3 ?? 3 x2 ? y2 ? 0 ? AB ? n 2 ? 0 ?z ? 0 ? ? 2 ? ? ?

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 7 ,而所求的二面角与 ? n1, n2 ? 互补, ?? 7 | n1 || n2 |

7 ?????????????????????????(10 分) 7 n(n ? 1) 2 2 C n(n ? 1) 2 23.解:(Ⅰ)设袋中原有 n 个白球,由题意知: ? n ,所以 n(n ? 1) =12, ? ? 2 7 ? 6 7 C7 7?6 2 解得 n=4(舍去 n ? ?3 ),即袋中原有 4 个白球???????????????????????(3 分) (Ⅱ)由题意, ? 的可能取值为 1,2,3,4????????????????????????(4 分) 4 3? 4 2 3? 2 ? 4 4 3 ? 2 ? 1? 4 1 P(? ? 1) ? ; P(? ? 2) ? ? ; P(? ? 3) ? ? ; P(? ? 4) ? ? , 7 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 所以,取球次数 ? 的分布列为: ? 1 2 3 4 4 2 4 1 P 7 7 35 35
所以二面角 A—PB—D 的余弦值为 ???(6 分)

E? ?

8 ?????????????????????????????????????(8 分) 5

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(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次和第 3 次取球,记“甲取到白球”的事件为 A, 则 P( A) ? P("? ? 1" 或 “ ? =3” ) ,所以 P ( A) ? P (? ? 1) ? P(? ? 3) ?

24 ?????????(10 分) 35

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