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初高中数学衔接 第3,4讲 函数与方程

第三讲

函数与方程(一)

3.1 根的判别式 2 我们知道,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

(x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2
2


2 2

由此可知,一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b -4ac 来判定,我们把 b -4ac 叫做 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ ”来表示. 2 综上所述,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根 (2)当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根 (3)当 Δ <0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的实数根. 2 2 (1)x -3x+3=0; (2)x -ax-1=0; 2 2 (3) x -ax+(a-1)=0; (4)x -2x+a=0.

x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b x1=x2=- ; 2a

说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中, 需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的 方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

3.2 根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根

2

则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a x1 ?
2

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax +bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1·x2= .这一关系也被称为韦 a a

达定理. 2 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x +px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1·x2, 2 2 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x -(x1+x2)x+x1·x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x +px+q=0 的 2 两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x -(x1+x2)x+x1·x2=0.因此有 2 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x -(x1+x2)x+x1·x2=0.
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例 2 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出另一个根.但由于 我们学习了韦达定理, 又可以利用韦达定理来解题, 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值.
2

例 3 已知关于 x 的方程 x +2(m-2)x+m +4=0 有两个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两个根的 积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理, 由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程, 从而解得 m 的值. 但 在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.

2

2

说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围,然后再由“两 个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可. (1) 在今后的解题过程中, 如果仅仅由韦达定理解题时, 还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于零. 因 为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根. 例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一 元二次方程来求解.

例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x +5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求

2

1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3)x1 +x2 .

3

3

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说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了 解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 2 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,则

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , x1 ? 2a 2a
∴| x1-x2|=

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac b2 ? 4ac ? . ? ? ? ? 2a 2a 2a |a| |a|

于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=
2

? 2 (其中 Δ =b -4ac) . |a|

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x -x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围.
2

练 习 1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 2 (2)若关于 x 的方程 mx + (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是(
2 2



1 (A)m< 4
2.填空:
2

1 (B)m>- 4

1 (C)m< ,且 m≠0 4

1 (D)m>- ,且 m≠0 4
. . .

(1)若方程 x -3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx +x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是
2

1 1 ? = x1 x2

3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx +ax+b=0 有两个不相等的实数根?
2

4.已知方程 x -3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

2

习题 A 组 1.选择题: 2 (1)已知关于 x 的方程 x +kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: 2 ①方程 x +2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; 2 ②方程 x -2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x -7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?
2 2



7 ; 3

④方程 3 x +2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0.
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其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2 2 (3)关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: 2 (1)方程 kx +4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . 2 2 2 (2)方程 2x -x-4=0 的两根为 α ,β ,则 α +β = . 2 (3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . 2 (4)方程 2x +2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 2 2 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m x -(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个相等 的实数根?没有实数根?

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x -7x-1=0 各根的相反数.

2

B 组 1.选择题: 2 2 若关于 x 的方程 x +(k -1) x+k+1=0 的两根互为相反数,则 k 的值为( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空: 2 2 2 (1)若 m,n 是方程 x +2005x-1=0 的两个实数根,则 m n+mn -mn 的值等于 2 3 2 2 3 (2)如果 a,b 是方程 x +x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a +a b+ab +b 的值是 2 3.已知关于 x 的方程 x -kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.

. .

4.一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和

2

x1 ? x2 3 3 ; (2)x1 +x2 . 2

5.关于 x 的方程 x +4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

2

C 组 若关于 x 的方程 x +x+a=0 的一个大于 1、零一根小于 1,求实数 a 的取值范围.
2

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第四讲

函数与方程(二)
2

4.1 二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来.在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利 用数形结合的思想方法来解决问题. y y

b x=- 2a

b 4ac ? b2 , ) A (? 2a 4a

O A (?

x

O x=-

x

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

图2 图1 2 例 1 求二次函数 y=-3x -6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?

例 2 把二次函数 y=x +bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x 的图像, 求 b,c 的值.

2

2

例 3 已知函数 y=x , (-2≤x≤a) ,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和 最小值时所对应的自变量 x 的值. 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论.

2

练 习 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) 2 2 2 2 (A)y=2x (B)y=2x -4x+2 (C)y=2x -1 (D)y=2x -4x 2 2 (2)函数 y=2(x-1) +2 是将函数 y=2x ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 2 (1)二次函数 y=2x -mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n=
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(2)已知二次函数 y=x +(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数 图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. 2 (3)函数 y=-3(x+2) +5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ;当 x = 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况. 2 2 (1)y=x -2x-3; (2)y=1+6 x-x .

2

4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当 函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2

4.2 1.一般式:y=ax +bx+c(a≠0);
2

二次函数的三种表示方式

2.顶点式:y=a(x+h) +k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种 表达形式中的某一形式来解题. 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求二 次函数的解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶 点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a.

2

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式.

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

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练 习 1.选择题: 2 (1)函数 y=-x +x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为 y = a (a≠0) . 2 (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

4.3 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象 平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其 形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可. 2 例 1 求把二次函数 y=x -4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.

2.对称变换 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数图象的位 置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点 位置和开口方向来解决问题. 2 例 2 求把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1.

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二、分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例 3 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达 式,作出函数图象. 分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给出其 对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内(如 20<x≤40)变化时,它所对应的函 数值(邮资)并不变化(都是 160 分) .

例 4 如图所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后,回 到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,Δ PAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; D C (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围. P

A 图 2.2-10

B

练 习 1.选择题: 2 (1) 把函数 y=-(x-1) +4 的图象向左平移 2 个单位, 向下平移 3 个单位, 所得图象对应的解析式为 ( ) 2 2 2 2 (A)y= (x+1) +1 (B)y=-(x+1) +1 (C)y=-(x-3) +4 (D)y=-(x-3) +1 2 (2)把函数 y=-2(x+3) +3 的图象关于直线 x=-1 对称后,所得图象对应的函数解析式为( ) 2 2 2 2 (A)y=-2 (x+1) +3 (B)y=-2 (x-1) +3 (C)y=2 (x+1) -3 (D)y=-2 (x-1) -3 2 (3)把函数 y=2(x-3) +3 的图象关于直线 y=2 对称后,所得图象对应的函数解析式为( ) 2 2 2 2 (A)y=-2 (x+1) +3 (B)y=-2 (x-3) +3 (C)y=-2 (x-3) +1 (D)y=-2 (x-3) -3 2.填空: (1)已知函数 y ? ?

x ? 2, ? x ? 2, 则当 x=4 时,y= ??2 x ? 4, x ? 2
2

;当 x=-4 时,y=



(2)把二次函数 y=-2x +4 3x+1 的函数图象向 平移 单位后,得到的图象所对应的解析式为 y=- 2 2 2x +7;再向 平移 个单位后,得到的图象所对应的解析式为 y=-2x +1;再将其关于 2 对称后得到的图象所对应的函数解析式为 y=2x +5. 3.已知点 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发,顺次经过 B,C,D 移动一周后回到点 A,设 x 表示点 P 的行程,y 表示线段 PA 的长,试求 y 关于 x 的函数.

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