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2015年上海市长宁区一模数学试卷(理科)完美PDF版


FunshineMaths 峰行数学
2014 学年第一学期高三数学教学质量检测试卷(理)
考生注意:本试卷共有 23 道试卷,满分 150 分,考试时间 120 分钟,解答必须写在答题纸 上规定的区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分.

一、填空题(本大题满分 56 分,共有 14 题,每题填对得 4 分,否则一律得零分) 1. 函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是______. 2. 若集合 M ? x x ? 2 , N ? x x 2 ? 3x ? 0 ,则 M ? N ? ______. 3. 复数
2 ? 2i ? ______( i 是虚数单位) 1? i

?

?

?

?

4. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 4 ? 2? n ,则其通项公式为________.
a ?1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 6 ,则 5. 已知 lim ? a ? ________. 2 n ?? 7 n ? 5n ? 2

6. 已知 a, b ? ??3, ?2, ?1,1, 2,3? 且 a ? b ,则复数 z ? a ? bi 对应点在 第二象限的概率为________(用最简分数表示). 7. 已知函数 f ? x ? ? 1 ? log a x, y ? f ?1 ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的反函数, 若 y ? f ?1 ? x ? 的图像过点 ? 2, 4 ? ,则 a 的值为_____________. 8. 如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的母线与底面所成的 角的大小是_____________. 9. 根据右面的框图,打印的最后一个数据是_____________. 10. 已知数列 ?an ? 是以 ?2 为公差的等差数列, S n 是其前 n 项和,若 S7 是 数列 ?Sn ? 中的唯一最大项,则数列 ?an ? 的首项 a1 的取值范围是_____________. 11. 五位同学自制作一张贺卡,分别装入 5 个空白信封内,这五位同学每人随机 地抽取一封,则恰有两人取到的贺卡是其本人制作的概率是_____________. 12. 已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,且 5 tan B ? 则 sin B 的值是_____________. 13. 如图,在 ?ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于 ??? ? ???? ? ???? ???? 不同的两点 M , N ,若 AB ? m AM , AC ? n AN ,则 m ? n 的值为___________.
? 1 ? 14. 已知 ? x 2 ? ? 得展开式中的常数项为 T , f ? x ? 是以 T 为周期的偶函数, M 5 x3 ? ?
5

开始

A ?1 A ? 2A ?1
打印



A ? 3S ?


6ac , a ? c2 ? b2
2

结束

A
N

B

O

C

且当 x ? ? 0,1? , f ? x ? ? x ,若在区间 ? ?1,3? 内,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是_____________.

整理人

谭峰

FunshineMaths 峰行数学
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案. 15. 设 z1 、 z2 ? C ,则“ z12 ? z22 ? 0 ”是“ z1 ? z2 ? 0 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) D.既不充分也不必要条件

C.充要条件 )

16. 函数 y ? a x ?b , ( 0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 0 )的图像为(
y y y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 17. O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,则 ?ABC 的形

?

??

?

状一定是(

) B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形

A.正三角形 18. 下面有五个命题:

①函数 y ? sin 4 x ? cos 4 x 的最小正周期是 2? ;
? k? ? ,k ? Z ? ; ②终边在 y 轴上的角的集合是 ?? ? ? 2 ? ?

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图像和函数 y ? x 的图像有一个公共点;

?? ? ? ④把函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图像向右平移 得到的 y ? 3sin 2 x 图像; 3? 6 ?
⑤在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 是等腰三角形. 其中真命题的序号是( A.①②③ ) B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的相应编号 规定区域内写出必须的步骤. 19.(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图:三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC ,若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,且 PB 与 底面 ABC 所成的角为

? ,若 M 是 BC 的中点,求: 3

P

(1)三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
A B
? M

C

整理人

谭峰

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20.(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知

? 8 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 2 3

(1)求 tan ? 的值;

?? ? (2)求 sin ? 2? ? ? 的值. 2? ?

21.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ? 2 ? n ? x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A ? an ,0 ? , n ? 1, 2,3,? (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)令 bn ? 3an ? ? ?1?
n ?1

? ? ? 2 an ( n 为正整数) ,问是否存在非零整数 ? ,使得对任意正整数

n ,都有 bn?1 ? bn ?若存在,求出 ? 的值,若不存在,请说明理由

22.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (1)求 a, c 的值; (2)若 h( x) ?
3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ( x ) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4 1 x ? c ? a, c ? R ? ,满足 f (1) ? 0 ,且 f ( x ) ? 0 在 x ? R 时恒成立. 2

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x ) ? f ( x) ? mx 在区间 ? m, m ? 2? 上有最小值 ?5 ?若存在, 请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? , ?cn ? 满足 ? an?1 ? an ?? bn?1 ? bn ? ? cn ? n ? N ? ? . (1)设 an ? 3n ? 6 , ?cn ? 是公差为 3 等差数列,当 b1 ? 1 时,求 b2 , b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n 2 ? 8n ,求正整数 k ,使得对一切 n ? N ? ,均有 bn ? bk ; (3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ? ?1? 2

n

,当 b1 ? 1 时,求数列 ?bn ? 的通项公式.

整理人

谭峰


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