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新课标高一数学人教a版必修1


复习提问
1.初中所学的函数的概念是什么?

复习提问
1.初中所学的函数的概念是什么? 在一个变化过程中有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值,y都有唯一的值 与它对应. 那么就说y是x的函数,其中x 叫做自变量.

复习提问
1.初中所学的函数的概念是什么? 在一个变化过程中有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值,y都有唯一的值 与它对应. 那么就说y是x的函数,其中x 叫做自变量. 2.初中学过哪些函数?

复习提问
1.初中所学的函数的概念是什么? 在一个变化过程中有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值,y都有唯一的值 与它对应. 那么就说y是x的函数,其中x 叫做自变量. 2.初中学过哪些函数? 正比例函数、反比例函数、一次函数、 二次函数等.

新课
示例1:一枚炮弹发射后,经过26s落到 地面击中目标. 炮弹的射高为845m,且 炮弹距地面的高度h (单位:m)随时间t (单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.
思考1:这里的变量t的变化范围是什么?变量h的 变化范围是什么?试用集合表示? A={t|0≤t≤26},B={h|0≤h≤845}

思考2:高度变量h与时间变量t之间的对应关系 是否为函数?若是,其自变量是什么?

示例2:近几十年来,大气层中的臭氧迅 速减少,因而出现了臭氧层空沿问题. 下 图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞 的面积从1979~2001年的变化情况.

思考1:根据曲线分析,时间t的变化范围是什么? 臭氧层空洞面积S的变化范围是什么?试用集合 表示? A={t|1979≤t≤2001};B={s|0≤s≤26} 思考2:时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对 应关系是否为函数?若是,其自变量是什么? 思考3:这里表示函数关系的方式与上例有什么 不同?

示例3:国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生 活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高,下 表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五” 计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化 .

思考1:用t表示时间,r表示恩格尔系数,那么t 和r的变化范围分别是什么?
A={1991,1992,…,2001},B={53.8,52.9, 50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9}

思考2:时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系 是否为函数?

“八五”计划以来我国城镇居民 恩格尔系数变化情况 199 199 199 1992 1994 1996 时间(年) 1 3 5 城镇居民 家庭恩格 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 尔系数 (%) 199 199 200 1998 2000 时间(年) 7 9 1 城镇居民

形成概念 1. 定义

形成概念 1. 定义 设A、B是非空的数集,如果按照某 个确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应,那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数,

形成概念 1. 定义 设A、B是非空的数集,如果按照某 个确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应,那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数,记作: y=f (x),x?A

1. 定义
其中,x叫做自变量,

1. 定义
其中,x叫做自变量,x的取值范围

A叫做函数的定义域;

1. 定义
其中,x叫做自变量,x的取值范围

A叫做函数的定义域;
与x值相对应的y的值叫做函数值,

1. 定义
其中,x叫做自变量,x的取值范围

A叫做函数的定义域;
与x值相对应的y的值叫做函数值, 函数值的集合{ f (x) | x ? A}叫做函数 的值域.

下列例1、例2、例3是否满足函数定义
例1若物体以速度20作匀速直线运动,则 物体通过的距离S与经过的时间t的关系

是S=20t.

例2某水库的存水量Q与水深h(指最深处 的水深)如下表:

水深 h(米)

0

5

10 15 20 25

存水量 0 Q(立方)

20 40 90 160 275

例3设时间为t,气温为T(℃),自动测温 仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点 的温度曲线如下图. ℃ 20 15 10 5 0 6 12 18 24

2. 函数的三要素: ? 定义域A; ? 值域{f(x)|x∈R}; ? 对应法则f.

2. 函数的三要素: ? 定义域A; ? 值域{f(x)|x∈R}; ? 对应法则f.
(1)函数符号y=f (x) 表示y是x的函数, f (x)不是表示 f 与x的乘积; (2) f 表示对应法则,不同函数中f 的具 体含义不一样;

3. 表示函数的方法:
?解析式:把常量和表示自变量的字母

用一系列运算符号连接起来,得到的 式子叫做解析式. ?列表法:列出表格来表示两个变量之 间的对应关系. ?图象法:用图象表示两个变量之间的 对应关系.

4.已学函数的定义域和值域

⑴ 一次函数f(x)=ax+b(a≠0)

4.已学函数的定义域和值域

⑴ 一次函数f(x)=ax+b(a≠0)
?定义域R,值域R.

4.已学函数的定义域和值域

⑴ 一次函数f(x)=ax+b(a≠0)
?定义域R,值域R.

k ⑵ 反比例函数f ( x ) ? ( k ? 0) x

4.已学函数的定义域和值域

⑴ 一次函数f(x)=ax+b(a≠0)
?定义域R,值域R.

k ⑵ 反比例函数f ( x ) ? ( k ? 0) x
?定义域{x|x≠0},值域{y|y≠0}.

4.已学函数的定义域和值域

⑶二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

4.已学函数的定义域和值域

⑶二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
?定义域:R,

4.已学函数的定义域和值域

⑶二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
?定义域:R,
2 ? 4ac ? b ? 值域:当a>0时,? y | y ? ?. 4a ? ?

? 4ac ? b ? 当a<0时,? y | y ? ?. 4a ? ?
2

5.求函数定义域应注意的问题:

5.求函数定义域应注意的问题:

1.一般情况下,应使函数解析式有意义,如

5.求函数定义域应注意的问题:

1.一般情况下,应使函数解析式有意义,如 (1)分母不为零;

5.求函数定义域应注意的问题:

1.一般情况下,应使函数解析式有意义,如 (1)分母不为零; (2)偶次根式的被开方数非负;

5.求函数定义域应注意的问题:

1.一般情况下,应使函数解析式有意义,如 (1)分母不为零; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)若有 x0 ,x≠0;

5.求函数定义域应注意的问题:

1.一般情况下,应使函数解析式有意义,如 (1)分母不为零; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)若有 x0 ,x≠0; (4)以上式子构成的函数定义域是使各部分 式子都有意义的实数集合.

5.求函数定义域应注意的问题:

1.一般情况下,应使函数解析式有意义,如 (1)分母不为零; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)若有 x0 ,x≠0; (4)以上式子构成的函数定义域是使各部分 式子都有意义的实数集合.

2.求给定函数解析式的定义域往往可以归结 为解不等式或不等式组的问题;

5.求函数定义域应注意的问题:

1.一般情况下,应使函数解析式有意义,如 (1)分母不为零; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)若有 x0 ,x≠0; (4)以上式子构成的函数定义域是使各部分 式子都有意义的实数集合.

2.求给定函数解析式的定义域往往可以归结 为解不等式或不等式组的问题;

3.如果是实际问题,除应考虑解析式本身有 意义外,还应考虑实际问题有意义.

函数概念的理解
设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},则在下面4个图形中,能表 示集合M到集合N的函数关系的有( )

A. ①②③④
B. ①②③ C. ②③ D. ② 答案:C

区间的概念 :
定义 名称 符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a

数轴表示
a b
b

{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间

b

{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间

{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间

b

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

函数的定义域指自变量的取值集 合。中学数学中涉及的求定义域问题 一般有两大类:一类是求初等函数的 定义域问题;一类是求抽象函数的定 义域问题。

使函数有意义的x的取值范围
1、整式: R 2、分式: 使分母不为0的x的集合 3、偶次根式: 被开方式≥0 4、零次幂式: 底式不等于0 列方程组(不等 5、几个因式的和(差、积)的形式: 式组)求交集

例题讲解

例1、求下列函数的定义域 (用区间表示)
1 (1) y ? 4x ? 7 2 (3) y ? x ? 1 ? x ?1
(5) y ? 1 1 1? x ? (3x ? 2)0

(2) y ? 1 ? x ? x ? 3 ?1

(4) y ? x ? 2 ? x ? 2

1? x (6) y ? 2 2 x ? 3x ? 2

例 1.若f ( x)的定义域是 [0,2],求f (2 x ?1)的定义域

解: 由题意知:
0 ? 2x ?1 ? 2
1 3 ? ? x? 2 2

1 3 故 : f ( 2 x ? 1)的定义域是 {x ?x? } 2 2

练习: 若f ( x)的定义域是?0,2?, 求f ( x ? 2)的定义域
解: 由题意知:

0? x?2?2

??2 ? x ? 0
故 : f ? x ? 2?的定义域是 [?2, 0]

例2. 已知f ?2 x ?1?的定义域(?1,5],求f ( x)的定义域

解: 由题意知:

?1 ? x ? 5
? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9

?? 3, 9? ? f ( x)的定义域为

练习 已知f (2 x ?1)的定义域??1, 5?, 求f (2 ? 5x)的定义域
解: 由题意知:

?1 ? x ? 5
? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9
? ?3 ? 2 ? 5 x ? 9
7 ?? ? x ?1 5

? f ?2 ? 5 x ?的定义域是 [?

7 ,1) 5

总结: 已知f(x)的定义域为A,求f[g(x)]的定 义域:实质是由g(x)∈A求x的范围。 已知f[g(x)] 的定义域为A,求f(x)的定

义域:实质是由x的范围求g(x)的范围。

求函数值

例:已知函数f(x)=3x2-5x+2,求f(3),

f ( ? 2 ),f (a ? 1).

1 练习:已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x?2
(1)求函数的定义域; (2)求 f (?3), f ( f (2)) 的值;

(3)当a>0时,求

f (a), f (a ? 1) 的值.

函数相同:
例 下列哪个函数与 y = x 是同一函数?

⑴ y ? ( x) ;
2

⑵ y?

3

x ;
2

3

⑶ y?

x ;

2

x . ⑷ y? x

例 下列哪个函数与 y = x 是同一函数?

⑴ y ? ( x) ;
2

⑵ y?

3

x ;
2

3

⑶ y?

x ;

2

x . ⑷ y? x

当定义域、 对应法则和值域完全一 致时,两个函数才相同.

例下列各组中的两个函数是否为相同的 函数?
( x ? 3)( x ? 5) 与y2 ? x ? 5; ⑴ y1 ? x?3

⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1与y2 ? ( x ? 1)( x ? 1);
⑶ f1 ( x ) ? ( 2 x ? 5 ) 与f 2 ( x ) ? 2 x ? 5.
2

例下列各组中的两个函数是否为相同的 函数?
( x ? 3)( x ? 5) 与y2 ? x ? 5; ⑴ y1 ? x?3

(定义域不同)

⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1与y2 ? ( x ? 1)( x ? 1);
⑶ f1 ( x ) ? ( 2 x ? 5 ) 与f 2 ( x ) ? 2 x ? 5.
2

1、函数值的集合我们叫函数的值域。 2、求函数的值域通常有: (1)直接法; (2)分离常数法; (3)逆求法; (4)图像法; (5)判别式法;(6)配方法; (7)换元法;

方法一、直接法
例1.已知函数f(x)=2x-3, x∈{0,1,2,3,5},

求f(x)的值域

方法二、分离常数法
2x ? 1 例2 : 求函数 y ? x ?3 的值域
(a≠0)函数

cx+d 方法归纳:形如y= ax+b
c ? ? 的值域: ? y y ? , 且y ? R ? a ? ?

方法三、逆求法
3? x 例3.求下列函数的值域: y ? 2x ?1

3? x 练习:求函数 y ? 2 x ? 1 的值域

方法四、图像法
例4.求下列函数的值域:
1 y ? 1? x

练习:求函数 的值域

y ? x2 ? 3x ? 2; x ? (2,5?

方法五、判别式法
例5.求函数y=
x2-x+3 的值域 x2-x+1

a1x2+b1x+c1 方法归纳:形如y= a x2+b x+c(a1≠0或a2 ≠0) 2 2 2

的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。
练习:1 求函数y= 3x 的值域 2 x +4 的值域

2x2+4x-7 2 求函数y= x2+2x+3

方法六、配方法
例6.求函数y=x2+2x+5的值域。

方法归纳:形如y=ax2+bx+c(a≠0)的值域,
均可用此方法求。

练习: 1 求y=-x2-2x+3(-5≤x ≤ -2)的值域。
2 求 y= -x2+x+2 的值域。

方法七、换元法
例7.求下列函数的值域

y ? 5 ? x ? 3x ? 1

1 解:令 t ? 3 x ? 1 , 则x ? (t 2 ? 1) 3 且t ? 0, 1 1 3 65 ? y ? 5 ? ( t 2 ? 1) ? t ? ? ( t ? ) 2 ? 3 3 2 12 3 65 ? ? 0,? ymax ? 2 12 65 ?值 域 为 ( ? ?, ] 12

归纳总结:形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。 练习:求函数y=2x+ 1-2x 的值域。


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