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高考数学二轮复习 专题一 专题整合突破 第1讲 函数与导数 不等式 讲义


第1讲

函数图象与性质及函数与方程

高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体,考 查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性,或者综合 考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面: 一是识图, 二是用图, 即利用函数的图象, 通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托,考 查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想,这是高考考查函数 的零点与方程的根的基本方式.

真 题 感 悟
1.(2015· 安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x C.y=ln x B.y=sin x D.y=x2+1 )

解析 由于 y=sin x 是奇函数;y=ln x 是非奇非偶函数;y=x2+1 是偶函数但没 有零点;只有 y=cos x 是偶函数又有零点. 答案 A ?1+log2(2-x),x<1, 2.(2015· 全国Ⅱ卷)设函数 f(x)=? x-1 则 f(-2)+f(log212) ?2 ,x≥1, =( A.3 ) B.6 C.9 D.12

解析 因为-2<1,log212>log28=3>1,所以 f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+ log24=3,f(log212)= 2log2 =9,故选 C.
12?1 12 1 = 2log2 ×2-1=12×2=6,故 f(-2)+f(log212)=3+6

答案 C 3.(2015· 北京卷)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1) 的解集是( )

A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 解析 如图,由图知:f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.

答案 C 4.(2015· 山东卷)已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1) 的定义域和值域都是[-1, 0],则 a+b=________. 解析 当 a>1 时,f(x)=ax+b 在定义域上为增函数,
1 ?a +b=-1, ∴? 0 方程组无解; ?a +b=0,


当 0<a<1 时,f(x)=ax+b 在定义域上为减函数, 1 -1 ? ?a= , ?a +b=0, 3 ∴? 0 解得? 2 ∴a+b=-2. ?a +b=-1, ? ?b=-2. 3 答案 -2

考 点 整 合
1.函数的性质 (1)单调性:证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和

下结论.可以用来比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性; (2)奇偶性:①若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x);②若 f(x)是奇函数,0 在其定 义域内,则 f(0)=0;③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在 对称的单调区间内有相反的单调性; (3)周期性:①若 y=f(x)对 x∈R,f(x+a)=f(x-a)或 f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立, 则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数;②若 y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线 x =a 对称,则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数;③若 y=f(x)是奇函数,其图象又关 于 直 线 x = a 对 称 , 则 f(x) 是 周 期 为 4|a| 的 周 期 函 数 ; ④ 若 f(x + a) = - 1 ? ? f(x)?或f(x+a)=f(x)?,则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数. ? ? 2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点 法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. 3.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)的图象与函 数 y=g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点.

热点一 函数性质的应用 [微题型 1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性

【例 1-1】 (1)(2015· 全国Ⅰ卷)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a= ________. (2)(2015· 济南三模)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的 是( ) B.ln(x2+1)>ln(y2+1)

1 1 A. 2 > 2 x +1 y +1

C.sin x>sin y

D.x3>y3 )

?2x+2,x<1, (3)设 f(x)=? (a∈R)的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为( ?-ax+6,x≥1 A.-1 B.1 C.2 D.3

解析 (1)f(x)为偶函数,则 ln(x+ a+x2)为奇函数, 所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)=0, 即 ln(a+x2-x2)=0,∴a=1. (2)∵ax<ay,0<a<1,∴x>y,∴x3>y3. (3)由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,得 f(0)=f(2),即 2=-2a+6,解得 a =2.故选 C. 答案 (1)1 探究提高 (2)D (3)C

第(3)小题将对称问题转化为点的对称,从而很容易地解决问题,本

题也可借助于图象的斜率解决. [微题型 2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性 )

【例 1-2】 (1)(2015· 湖南卷)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

(2)(2015· 文登模拟)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0, 则 x 的取值范围是________. 解析 (1)易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函

2 ? 1+x ? 数 f(x)为奇函数, 又 f(x)=ln =ln?-1-x-1?, 由复合函数单调性判断方法知, 1-x ? ? f(x)在(0,1)上是增函数,故选 A.

(2)∵f(x)是偶函数,∴图象关于 y 轴对称. 又 f(2)=0,且 f(x)在[0,+∞)单调递减,

则 f(x)的大致图象如图所示, 由 f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3. 答案 (1)A (2)(-1,3) 探究提高 函数的性质主要是函数的奇偶性、 单调性和周期性以及函数图象的对 称性, 在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推 证函数的性质,根据函数的性质解决问题. 【训练 1】 (2015· 天津卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶 函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b B.a<c<b D.c<b<a )

解析 因为函数 f(x)=2|x-m|-1 为偶函数可知,m=0, 所以 f(x)=2|x|-1,当 x>0 时,f(x)为增函数, log0.53=-log23,∴log25>|log0.53|>0, ∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m),故选 C. 答案 C

热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型 1] 函数图象的识别 ax+b 的图象如图所示,则下列结论 (x+c)2

【例 2-1】 (1)(2015· 安徽卷)函数 f(x)= 成立的是( )

A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 a (2)(2014· 江西卷)在同一直角坐标系中,函数 y=ax2-x+2与 y=a2x3-2ax2+x+ a(a∈R)的图象不可能的是( )

解析 (1)函数定义域为{x|x≠-c}, 结合图象知-c>0, ∴c<0; 令 x=0, 得 f(0) b b b = 2,又由图象知 f(0)>0,∴b>0;令 f(x)=0,得 x=- ,结合图象知- >0, c a a ∴a<0.故选 C. (2)当 a=0 时,两个函数的解析式分别为 y=-x,y=x,故选项 D 中的图象是可 a 1 能的.当 a≠0 时,二次函数 y=ax2-x+2的对称轴方程为 x=2a,三次函数 y= a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的导数为 y′=3a2x2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1), 令 y′=0, 1 1 1 1 1 1 1 1 得其极值点为 x1=3a,x2=a.由于3a<2a<a(a>0),或者3a>2a>a(a<0),即三 次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧,选项 A、C 中的图象有可能,选项 B 中的图象不可能. 答案 (1)C (2)B

探究提高 识图时,可从图象与 x 轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋 势、 对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.在探究两个函数的图象位置关 系时, 要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化,从而确定两个 函数图象的可能位置关系. [微题型 2] 函数图象的应用

【例 2-2】 (1)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2> ? 1? x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,设 a=f?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a, ? ? b,c 的大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b ) B.c>b>a D.b>a>c

(2)(2015· 全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数

x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( ? 3 ? A.?-2e,1? ? ? ? 3 3? C.?2e,4? ? ?

) ? 3 3? B.?-2e,4? ? ? ?3 ? D.?2e,1? ? ?

解析 (1)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称,故 ? 1? ?5? 函数 y=f(x)的图象本身关于直线 x=1 对称,所以 a=f?-2?=f?2?,当 x2>x1>1 ? ? ? ? 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所 以 b>a>c.选 D. (2)设 g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题知存在唯一的整数 x0,使得 g(x0)在直线 y =ax-a 的下方, 1 1 因为 g′(x)=ex(2x+1),所以当 x<-2时,g′(x)<0,当 x>-2时,g′(x)>0,所以当 x 1 1 =-2时,[g(x)]min=-2e-2, 当 x=0 时,g(0)=-1,当 x=1 时,g(1)=e>0,直线 y=a(x-1)恒过(1,0),则 满足题意的唯一整数 x0=0, 故-a>g(0)=-1, 3 且 g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得2e≤a<1,故选 D.

答案 (1)D (2)D 探究提高 (1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的

含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系, 结合图象研究. 【训练 2】 (2015· 泰安诊断)已知 f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x) 时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则 h(x)( A.有最小值-1,最大值 1 )

B.有最大值 1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 解析 由题意得,利用平移变化的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图,

?|f(x)|,|f(x)|≥g(x), 而 h(x)=? ?-g(x),|f(x)|<g(x), 故 h(x)有最小值-1,无最大值. 答案 C 热点三 以函数零点为背景的函数问题 [微题型 1] 函数零点个数的求解

【例 3-1】 (2015· 广东卷)设 a 为实数,函数 f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1). (1)若 f(0)≤1,求 a 的取值范围; (2)讨论 f(x)的单调性; 4 (3)当 a≥2 时,讨论 f(x)+x 在区间(0,+∞)内的零点个数. 解 (1)f(0)=a2+|a|-a2+a=|a|+a,因为 f(0)≤1,所以|a|+a≤1,当 a≤0 时, |a|+a=-a+a=0≤1,显然成立; 当 a>0 时,则有|a|+a=2a≤1, 1 1 所以 a≤2,所以 0<a≤2, 1 综上所述,a 的取值范围是 a≤2.
2 ?x -(2a-1)x,x≥a, (2)f(x)=? 2 ?x -(2a+1)x+2a,x<a.

对于 u1=x2-(2a-1)x,其对称轴为 x= 所以 f(x)在(a,+∞)上单调递增;

2a-1 1 = a - 2 2<a,开口向上,

对于 u2=x2-(2a+1)x+2a,其对称轴为 x= 所以 f(x)在(-∞,a)上单调递减,

2a+1 1 2 =a+2>a,开口向上,

综上,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减. (3)由(2)得 f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,所以 f(x)min=f(a) =a-a2. (ⅰ)当 a=2 时,f(x)min=f(2)=-2,
2 ?x -3x,x≥2, f(x)=? 2 ?x -5x+4,x<2,

4 4 令 f(x)+ x=0,即 f(x)=-x(x>0), 因为 f(x)在(0,2)上单调递减,所以 f(x)>f(2)=-2, 4 而 y=-x 在(0,2)上单调递增,y<f(2)=-2, 4 所以 y=f(x)与 y=- x在(0,2)无交点. 4 当 x≥2 时,f(x)=x2-3x=-x ,即 x3-3x2+4=0,所以 x3-2x2-x2+4=0,所 4 以(x-2)2(x+1)=0,因为 x≥2,所以 x=2,即当 a=2 时,f(x)+ x有一个零点 x =2. (ⅱ)当 a>2 时,f(x)min=f(a)=a-a2, 4 当 x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a2,而 y=- x在 x∈(0,a)上单调递增, 4 4 当 x=a 时,y=-a,下面比较 f(a)=a-a2 与-a的大小,
3 2 ? 4? -(a -a -4) 因为 a-a2-?-a?= a ? ?

-(a-2)(a2+a+2) = <0, a 4 所以 f(a)=a-a2<-a.

4 结合图象不难得当 a>2 时,y=f(x)与 y=- x有两个交点, 4 4 综上,当 a=2 时,f(x)+x有一个零点 x=2;当 a>2 时,y=f(x)与 y=- x有两个 零点. 探究提高 在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时, 要学会掌握转化与化 归思想的运用. 如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大,也不是初 等数学能轻易解决的, 所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的 函数,再利用数形结合求解. [微题型 2] 由函数零点(或方程根)的情况求参数

?2-|x|,x≤2, 【例 3-2】(2015· 天津卷)已知函数 f(x)=? 函数 g(x)=b-f(2 2 ?(x-2) ,x>2, -x),其中 b∈R,若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( ?7 ? A.?4,+∞? ? ? 7? ? C.?0,4? ? ? 7? ? B.?-∞,4? ? ? ?7 ? D.?4,2? ? ? )

解析 记 h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出 f(x)与 h(x)的图象如图,直线 AB: ?y=x+b′, 9 y=x-4, 当直线 l∥AB 且与 f(x)的图象相切时, 由? 解得 b′=-4, 2 ?y=(x-2) , 9 7 -4-(-4)=4,同理,y 轴左侧也有相同的情况. 7 所以曲线 h(x)向上平移4个单位后,y 轴左右各有 2 个交点,所得图象与 f(x)的图 7 象有四个公共点,平移 2 个单位时,两图象有无数个公共点,因此,当4<b<2 时,f(x)与 g(x)的图象有四个不同的交点,即 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点.选 D.

答案 D 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解. 【训练 3】 (2015· 德州模拟)已知函数 f(x)= 取值范围为________. 解析 函数 f(x)有三个零点等价于方程 1 =m|x|有且仅有三个实根. x+2 1 -m|x|有三个零点,则实数 m 的 x+2

1 1 ∵ =m|x|?m=|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图象,如图所示,由图象可知 x+2 1 m 应满足 0<m<1,故 m>1. 答案 (1,+∞)

1 1. 解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域, 如求函数 f(x)=xln x的 定义域时,只考虑 x>0,忽视 ln x≠0 的限制. 2.函数定义域不同,两个函数不同;对应关系不同,两个函数不同;定义域和 值域相同,也不一定是相同的函数. 3.如果一个奇函数 f(x)在原点处有意义,即 f(0)有意义,那么一定有 f(0)=0. 4.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性,偶函数在两个对称的区间上有 相反的单调性. 5.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,它们的实质是相同的,在

解题时经常要互相转化.在解决函数问题时,尤其是较为繁琐的(如分类讨论求 参数的取值范围等)问题时,要注意充分发挥图象的直观作用. 6.不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质.如讨论指数函数 y=ax(a> 0,a≠1)的单调性时,不讨论底数的取值;忽视 ax>0 的隐含条件;幂函数的性 质记忆不准确等. 7.判断函数零点个数的方法有:(1)直接求零点;(2)零点存在性定理;(3)数形结 合法. 8.对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图 象, 然后数形结合, 看其交点的个数有几个, 其中交点的横坐标有几个不同的值, 就有几个不同的零点.

一、选择题 1.(2015· 广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A.y=x+ex 1 C.y=2x+2x 1 B.y=x+x D.y= 1+x2 )

解析 令 f(x)=x+ex,则 f(1)=1+e,f(-1)=-1+e-1,即 f(-1)≠f(1),f(-1) ≠-f(1), 所以 y=x+ex 既不是奇函数也不是偶函数, 而 B, C, D 依次是奇函数、 偶函数、偶函数,故选 A. 答案 A 1 2.函数 f(x)=log2x-x 的零点所在的区间为( 1? ? A.?0,2? ? ? C.(1,2) ?1 ? B.?2,1? ? ? D.(2,3) )

解析 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数. 1 1 ?1? f?2?=log22-1=-1-2=-3<0, ? ? 2 1 f(1)=log21-1=0-1<0,

1 1 1 f(2)=log22-2=1-2=2>0, 1 1 2 f(3)=log23-3>1-3=3>0,即 f(1)· f(2)<0, 1 ∴函数 f(x)=log2x-x 的零点在区间(1,2)内. 答案 C 3.(2014· 山东卷)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相 等的实根,则实数 k 的取值范围是( 1? ? A.?0,2? ? ? C.(1,2) ) ?1 ? B.?2,1? ? ? D.(2,+∞)

解析 由 f(x)=g(x),∴|x-2|+1=kx,即|x-2|=kx-1,所以原题等价于函数 y =|x-2|与 y=kx-1 的图象有 2 个不同交点. 如图:

1 ∴y=kx-1 在直线 y=x-1 与 y=2x-1 之间, 1 ∴2<k<1,故选 B. 答案 B ?3x-1,x<1, 4.(2015· 山东卷)设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a 取值范围 2 , x ≥ 1 , ? 是( ) B.[0,1] D.[1,+∞)

?2 ? A.?3,1? ? ? ?2 ? C.?3,+∞? ? ?

解析 当 a=2 时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),∴a=2 满足题意,排除 2 2 2 ?2? A,B 选项;当 a=3时,f(a)=f?3?=3×3-1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=3满足题意, ? ?

排除 D 选项,故答案为 C. 答案 C 5.(2015· 全国Ⅱ卷)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点, 点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和 表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为( )

π 解析 当点 P 沿着边 BC 运动,即 0≤x≤4时,在 Rt△POB 中,|PB|=|OB|tan∠ POB=tan x, 在 Rt△PAB 中, |PA|= |AB|2+|PB|2= 4+tan2x, 则 f(x)=|PA|+|PB| = 4+tan2x+tan x,它不是关于 x 的一次函数,图象不是线段,故排除 A 和 C; π ?π? 当点 P 与点 C 重合,即 x=4时,由上得 f?4?= ? ? π π 4+tan24+tan4= 5+1,又当

π 点 P 与边 CD 的中点重合,即 x=2时,△PAO 与△PBO 是全等的腰长为 1 的等 ?π? 腰直角三角形,故 f?2?=|PA|+|PB|= 2+ 2=2 2,知 ? ? D.综上,选 B. 答案 B 二、填空题 ?-x+6,x≤2, 6.(2015· 福建卷)若函数 f(x)=? (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+ ?3+logax,x>2 ∞),则实数 a 的取值范围是________. ?π? ?π? f?2?<f?4?,故又可排除 ? ? ? ?

?a>1, 解析 由题意 f(x)的图象如图,则? ∴1<a≤2. ?3+loga2≥4, 答案 (1,2]
x ?2 -a,x≤0, 7.(2015· 青州模拟)若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的 ?ln x,x>0

取值范围是________. 解析 当 x>0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1. 因为函数 f(x)有两个不同的零点,则当 x≤0 时, 函数 f(x)=2x-a 有一个零点,令 f(x)=0 得 a=2x, 因为 0<2x≤20=1,所以 0<a≤1, 所以实数 a 的取值范围是 0<a≤1. 答案 (0,1] 8.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对?x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当 f(x1)-f(x2) x1,x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有 <0,给出下列命题: x1-x2 ①f(2)=0; ②直线 x=-4 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-4,4]上有四个零点; ④f(2 014)=0. 其中所有正确命题的序号为________. 解析 令 x=-2,得 f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得 f(-2)=0,因为函数 f(x)为偶 函数, 所以 f(2)=0, ①正确; 因为 f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x), f(-4-x)=f(- 4-x+4)=f(-x)=f(x),所以 f(-4+x)=f(-4-x),即 x=-4 是函数 f(x)的一条 对称轴,②正确;当 x1,x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有 f(x1)-f(x2) <0,说 x1-x2

明函数 f(x)在[0,2]上是单调递减函数,又 f(2)=0,因此函数 f(x)在[0,2]上只有 一个零点,由偶函数知函数 f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由 f(x+4)=f(x), 知函数的周期为 4,所以函数 f(x)在(2,4]与[-4,-2)上也单调,因此,函数在

[-4,4]上只有 2 个零点,③错;对于④,因为函数的周期为 4,即有 f(2)=f(6) =f(10)=…=f(2 014)=0,④正确. 答案 ①②④

三、解答题 1 a 9.定义在[-1,1]上的奇函数 f(x),已知当 x∈[-1,0]时,f(x)=4x-2x(a∈R). (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 解 (1)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数, ∴f(0)=0,∴a=1, 1 1 ∴当 x∈[-1,0]时,f(x)=4x-2x. 设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0], ∴f(-x)= 1 1 x x -x- -x=4 -2 , 4 2

∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=2x-4x. ∴f(x)在[0,1]上的解析式为 f(x)=2x-4x. (2)f(x)=2x-4x,x∈[0,1], ? 1?2 1 令 t=2x,t∈[1,2],g(t)=t-t2=-?t-2? +4, ? ? ∴g(t)在[1,2]上是减函数, ∴g(t)max=g(1)=0,即 x=0,f(x)max=0. 10.(2015· 太原模拟)已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大 值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-2mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. ①当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, ?f(3)=5, ?9a-6a+2+b=5, ?a=1, 故? ?? ?? ?f(2)=2 ?4a-4a+2+b=2 ?b=0. ②当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,

?f(3)=2, ?9a-6a+2+b=2, ?a=-1, 故? ?? ?? ?f(2)=5 ?4a-4a+2+b=5 ?b=3. ?a=1, ?a=-1, 故? 或? ?b=0 ?b=3. (2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2, g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2. 2+2m 2m+2 若 g(x)在[2,4]上单调,则 2 ≤2 或 2 ≥4, ∴2m≤2 或 2m≥6,即 m≤1 或 m≥log26. 故 m 的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞). e2 11.已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0).
2

(1)若 g(x)=m 有实根,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. e2 解 (1)∵x>0,∴g(x)=x+ x ≥2 e2=2e, 等号成立的条件是 x=e. 故 g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需 m≥2e,

则 g(x)=m 就有实根.故 m∈[2e,+∞). (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根, 即 g(x)=f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图象有两 个不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象. x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2. 故当 m-1+e2>2e, 即 m>-e2+2e+1 时, g(x)与 f(x)有两个交点,

即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).


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